Собственные преобразования

Теперь перейдем к собственным преобразованиям Лоренца. Они задаются формулой (3.6.15):

где — спиновое преобразование, удовлетворяющее условию (3.6.18) и условию

Выделим симметричную и антисимметричную части величины :

где

Подставляя (3.6.31) в (3.6.30), получаем

где

Таким образом, с точностью до знака в определении (эта неопределенность исчезает только при спиновое преобразование однозначно определяется произвольным симметричным спинором

Если подставить (3.6.31) в (3.6.29), то мы получим для разложение

где действительны и определяются следующим образом:

причем тензор симметричен и имеет нулевой след, а тензор кососимметричен. Тензор так же связан с тензором

как тензор напряженности электромагнитного поля с тензором энергии-импульса того же поля [формула (5.2.4)]. Этого достаточно, чтобы обеспечивалась форма (3.6.36), а отсюда следует, что преобразование записанное в виде (3.6.35), пропорционально собственному преобразованию Лоренца. Если, кроме того, эквивалентно нормировке (3.6.33) ], то есть собственное преобразование Лоренца, причем ортохронное, если в (3.6.35) выбран знак плюс и

В силу предложения можно записать в виде симметризованного произведения одноиндексных спиноров, скажем

так что с учетом определения (3.6.34) можно положить

Имеем , а потому при условии из (3.6.31) следует выражение

Если же то пропорциональны друг другу и можно положить откуда

Отметим, что в обоих случаях (3.6.39) и (3.6.40) величина есть собственный спинор спинора в том смысле, что произведение пропорционально

причем соответствующее собственное значение равно в случае (3.6.40)]. Если выполняется (3.6.39), то также есть собственный спинор спинора отвечающий собственному значению (х. Если справедливо выражение (3.6.40), то единственным собственным спинором спинора (с точностью до численного множителя) будет другими словами, два главных направления спинора совпадают друг с другом. Таким образом, ясно, что ГИН спинора совпадают с главными направлениями спинора

Это можно показать, не используя каноническое разложение спинора Легко видеть, что при заданном спинор можно представить в одной из форм (3.6.39) и (3.6.40), поскольку из равенства следует, что Тогда в силу утверждения (3.5.17) мы имеем для некоторого Если спинор у пропорционален спинору то мы приходим к случаю (3.6.40). В противном случае

выражаем через и получаем представление (3.6.39), в котором величина пропорциональна

Собственные спиноры спинового преобразования важны потому, что направления их флагштоков есть изотропные направления, инвариантные относительно соответствующих преобразований Лоренца. Из (3.6.29) и (3.6.41) имеем

где — изотропный вектор, который определяется соотношением

Если два изотропных инвариантных направления не совпадают друг с другом, можно выбрать спиновую систему отсчета так, чтобы ее флагштоки совпадали с этими направлениями, т. е.

Тогда матрица спинового преобразования принимает следующий вид:

[где в силу равенства (3.6.33) мы имеем ]. Сравнение с формулами (1.2.31) и (1.2.37) показывает, что это есть «вращение вокруг оси на угол если где — действительно; если же , где — действительно, то это будет «буст в направлении оси со скоростью ; в общем случае это — «четырехмерный поворот относительно оси [формула (1.3.4)].

Когда два инвариантных изотропных направления совпадают, мы имеем изотропный поворот. Тогда можно выбрать спиновую систему отсчета так:

а произвольно. В этом случае матрица спинового преобразования (3.6.40) принимает вид

(При необходимости можно выбрать масштаб так, чтобы выполнялось равенство Сравнивая (3.6.47) с (1.3.7), мы убеждаемся, что это есть «изотропное вращение вокруг оси Отметим, что собственное значение оператора равно единице. Таким образом, изотропное вращение оставляет инвариантным и флагшток, и полотнище флага любого спинора,

направление флагштока которого совпадает с инвариантным изотропным направлением.

Особый интерес представляют собственные инволютивные преобразования Лоренца, поскольку они отвечают отражениям относительно 2-плоскостей в пространстве-времени. Применяя условие инволютивности [формула (3.6.26)] к выражению (3.6.35), получаем, что откуда либо либо Случай не интересен, поскольку тогда спинор сводится к Таким образом, общее инволютивное преобразование Лоренца записывается в виде

где, как отмечалось выше (и подробнее будет показано в гл. 5, § 2), бесследовый симметричный тензор имеет вид электромагнитного тензора энергии-импульса. Выбор знака плюс в (3.6.48) приводит к ортохронному преобразованию которое можно охарактеризовать как «отражение пространства относительно прямой линии» или, более корректно, отражение относительно времениподобной 2-плоскости. Неортохронное преобразование отвечает отражению относительно пространствеино-подобной 2-плоскости. Упомянутая времениподобная 2-плоскость натянута на инвариантные изотропные направления (т. е. на флагштоки спиноров а пространственноподобная плоскость является её ортогональным дополнением.

Поскольку формула (3.6.33) дает Таким образом, в силу определения (3.6.34) имеем Отметим, что, как и в формуле (3.6.20), отсюда вытекает равенство

Иногда оказывается удобным изображать элемент 2-плоскости с помощью симметричного спинора, такого, как Если элемент 2-плоскости не является изотропным [т. е. в формуле (3.6.34), так что направления флагштоков спиноров и не совпадают], то удобно выбрать нормировку (3.6.49) или

Точно так же элемент ортогонального дополнения к гиперплоскости можно изображать с помощью эрмитова спинора используя нормировку

Величины типа и оказываются очень удобными для описания локальной геометрии в окрестности выбранной точки,

поскольку их «матричные произведения» соответствуют простым геометрическим операциям, а именно последовательным отражениям относительно прямых, плоскостей и т. д. Указанные нормировки означают, что квадраты этих матриц равны тождественному оператору или со знаком плюс или минус.