Геометрическая интерпретация сложения

Геометрическая интерпретация суммы двух спин-векторов в действительности неявно содержится в геометрической интерпретации внутреннего произведения. В самом деле, соотношение

очевидно, эквивалентно соотношению

справедливому при всех Подобным же образом мы могли бы рассматривать произвольную линейную комбинацию вместо простой суммы в (1.6.32). Поскольку пространство двумерно, равенство (1.6.33) достаточно рассмотреть лишь для двух не пропорциональных друг другу спиноров . В качестве указанных спиноров мы можем выбрать сами спин-векторы и [если они не пропорциональны друг другу; в противном случае сложение (1.6.32) сводится по существу к умножению на скаляр]. Таким образом, равенство (1.6.32) эквивалентно равенству

Взяв модуль величин (1.6.34), мы видим, что в силу интерпретации внутреннего произведения пространственные интервалы между концами флагштоков должны быть равны друг другу. Другими словами, концы флагштоков суть вершины равностороннего треугольника в пространстве-времени. Что касается полотнищ флагов, то на основе соотношений (1.6.34) получаем

Рассмотрим представление с использованием сферы Пусть точки на отвечающие направлениям соответствующих флагштоков спин-векторов и пусть — касательные векторы к в точках дополняющие представление флагов, определяемых спин-векторами . В силу выполненного нами ранее построения величины на

Рис. 1.21. Построение суммы двух спин-векторов с использованием сферы S+ [формулы (1.6.36) и (1.6.37]. Все обозначенные углы равны

углы, которые образуют векторы с ориентированной окружностью с, проходящей через точки и должны давать в сумме X. В силу (1.6.35) то же самое справедливо для и М и для Следовательно, углы, которые каждый из векторов и образует с с, должны быть равны друг другу, причем фактически они равны либо либо в зависимости от выбора ориентации с. Таким образом, в пространстве-времени полотнища флагов спин-векторов их в должны быть одинаково наклонены к окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника с вершинами в концах флагштоков (а следовательно, и к самому треугольнику).

То обстоятельство, что рассматриваемая конфигурация флагов совершенно симметрична по и не должно нас удивлять. Флаги сами по себе не определяют знаков спин-векторов, так что конфигурация флагов для и является той же самой, что и для симметричного соотношения

Более того, оба эти соотношения неотличимы от если мы смотрим только на флаги. Таким образом, если флаги спин-векторов х и заданы, то приведенный выше способ построения флага суммы не будет фиксировать его однозначным образом, поскольку при таком способе построения его нельзя будет отличить от флага разности Но, как мы сейчас увидим, эти два флага являются единственно возможными в рамках нашего построения.

Вернемся к представлению на (рис. 1.21). Предположим, что и М заданы, и попытаемся построить и Построим сначала окружность с как единственную окружность на

проходящую через Р и таким образом, что каждый из векторов и М составляет угол с с [формула (1.6.35)]. Чтобы определить местоположение точки на с, воспользуемся формулой (1.6.31) и применим ее к (1.6.34)

Согласно хорошо известной теореме, геометрическое место точек в евклидовом 3-пространстве, для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек постоянно, есть сфера. Таким образом, равенство (1.6.36) означает, что точка лежит на некоторой сфере, задаваемой точками и и векторами и М. Эта сфера пересекает окружность С в двух точках Поскольку точки Р и отделены друг от друга сферой, точки и разделяют Р и на окружности с (в действительности гармонически). Теперь одна из точек (скажем, будет соответствовать сумме а другая (скажем, ) — разности Чтобы иметь возможность выбрать, которая из точек пересечения есть и которая есть мы должны рассматривать и как спинорные объекты, а не просто как касательные векторы к Переместим непрерывно из Р в по дуге с, сохраняя постоянным угол, который он образует с При перемещении вектора в точку он растягивается в раз, так что и М совпадают как векторы. Если они тогда совпадают и как спинорные объекты, то лежит между исходными и М на дуге рассматриваемой окружности на оставшейся части этой окружности. Если же они тогда не совпадают как спинорные объекты, то именно лежит между исходным и М на на оставшейся части окружности с.

Определив местоположение точки на мы можем задать № соотношением

тогда как направление вектора фиксировано условием, что он составляет угол с окружностью с. Наконец, как спинорный объект вектор определен таким образом, что выполняется следующее условие: если его непрерывно перемещать по окружности с до первой из точек Р или сохраняя постоянным угол, который он образует с окружностью с, а затем растянуть до совпадения его как вектора с вектором или М (в зависимости от ситуации), то указанное совпадение должно также быть совпадением спинорных объектов (рис. 1.21).

Рис. 1.22. Два спин-вектора и их сумма, представленная в аргандовой плоскости относительно специальной системы, приводящей к симметрии (1.6.38).

Рис. 1.23. Представление в аргандовой плоскости относительно системы, приводящей к симметрии (1.6.39).

Имеются две специальные системы отсчета Минковского, удобные для наглядного представления всего изложенного выше. Поскольку мы можем выбрать произвольные три точки сферы в произвольных трех (отличающихся друг от друга) заранее заданных положениях (§ 3) путем надлежащего выбора системы отсчета, выберем точки и таким образом, чтобы они были равноудалены друг от друга и находились на экваторе сферы Тогда они будут вершинами равностороннего треугольника. Векторы и имеют теперь одинаковую длину и одинаковым образом наклонены к окружности Из симметрии ясно, что поворот на вокруг оси, перпендикулярной переведет рассматриваемую конфигурацию саму в себя. При этом мы будем также иметь

(или наоборот), что устанавливается указанным выше способом определения знаков спинорных объектов (рис. 1.22). Нетрудно видеть, что преобразование (1.6.38) получается как результат (однозначно определенного) спинового преобразования. Фактически мы можем воспользоваться этим, чтобы установить правильность указанного выше предписания для знаков.

С другой стороны, мы можем выбрать нашу ось таким образом, что четыре точки будут равноудалены друг от друга и расположены на экваторе сферы образуя вершины квадрата. А именно, предпишем определенные положения точкам и тогда ввиду симметрии точка займет положение, диаметрально противоположное точке поскольку откуда так что Теперь вращение на вокруг оси, перпендикулярной приводит к

преобразованию (рис. 1.23)

которое опять может быть получено посредством однозначно определенного спинового преобразования. Множитель возникает благодаря тому, что теперь е. благодаря тому, что -значение флагштока для в 2 раза больше, чем для

То обстоятельство, что мы получили геометрические описания всех трех основных спинорных операций, открывает путь для последовательного полностью геометрического определения основной алгебры спин-векторов. Остается лишь геометрическая проверка основных свойств (1.6.8) — (1.6.19). Мы не будем на ней здесь останавливаться, а просто оставим в качестве упражнения для заинтересованного читателя. Некоторые из упомянутых свойств проверяются тривиально, а проверка других довольно утомительна, если действовать напрямую. Отметим, что равенство (1.6.19) почти прямо вытекает из приведенных выше построений для внутреннего произведения и для сложения. Указанное равенство полезно при проверке некоторых других свойств.