§ 12. Явные полевые интегралы

Существуют интегральные выражения, которые позволяют выразить поля явно через изотропные данные, когда (изотропная) гиперповерхность на которой задаются начальные данные, не обязательно представляет собой световой конус. Прототипом этих выражений служит интегральная формула Кирхгофа — Дадемара для безмассового скалярного поля, удовлетворяющего уравнению Даламбера в пространстве-времени Минковского М. Эта формула допускает естественное обобщение на безмассовые поля с любым спином. В данном параграфе мы выведем эту общую формулу сначала для М, а затем покажем, как ее применить к случаю конформно-плоского пространства-времени. Ниже будет указано, каким образом повторное применение этой формулы позволяет получить соответствующее выражение для некоторых точных систем взаимодействующих полей в М а именно для (классической) системы Максвелла — Дирака.

Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара

Пусть Р — некоторая точка в М, и предположим, что световой конус с вершиной в точке Р имеет с гладкое пересечение (рис. 5.4), лежащее либо в прошлом, либо в будущем от точки Р. Пусть — типичная точка пересечения рассмотрим спиноры в точке флагштоки которых указывают вдоль образующих соответственно, так что они ортогональны пересечению в точке Пусть есть элемент поверхности (-форма) около точки [формула (4.14.65)]. Предположим, что спиноры нормированы условием

Если написать

то действительное число будет мерой протяженности отрезка оно положительно или отрицательно в зависимости от того, лежит ли точка на световом конусе прошлого или будущего точки Р.

Рис. 5.4. Обобщенная формула Кирхгофа — Дадемара (5.12.6) выражает безмассовое поле в точке Р в виде интеграла по пересечению гиперповерхностей и от выражения, определяемого изотропным значением поля на

Рассмотрим теперь — безмассовое свободное поле спином

или с нулевым спином:

{член существен в случае искривленного пространства-времени] в некоторой окрестности соединения (т. е. области, заметаемой изотропными отрезками ). Построим изотропное значение для на в точке

Мы хотим показать, что этой величиной, а также ее производной в изотропном направлении на в области 9 определяется поле в точке Р [136]:

где — конформно-инвариантная модифицированная форма (5.6.33) спинового оператора причем спиновая система отсчета определена так:

Будем имеют конформные веса —1, 0 соответственно [случай IV в формуле (5.6.26)], хотя допустим и другой выбор. Поскольку поле есть -скаляр конформного веса имеем при действии на Ф

где

Образующие светового конуса являются геодезическими при следующем условии:

[формула (5.11.3), а также (7.1.8)]. В гл. 7, § 1 будет показано, что изотропные гиперповерхности всегда порождаются изотропными геодезическими. Здесь же мы просто включим эта условие в наши предположения относительно характера гиперповерхности Таким образом,

откуда [формулы (7.1.16) и (7.1.17)]

Хотя величина а непосредственно не входит в выражение (5.12.6), она появится в обобщенных выражениях (5.12.50) и (5.12.54) ниже. Позже мы убедимся также в том [формулы (7.1.58) и (7.1.61)], что для изотропных гиперповерхностей выполняется равенство

хотя по существу мы уже установили это в формуле