Аксиоматический подход

Попытаемся подойти к правилам, которым должна удовлетворять наша система, с более формальной точки зрения. Формулируя аксиомы, нужно стараться не связывать себя с какой-нибудь одной частной интерпретацией. В то же время предлагаемая степень общности будет вполне достаточной для исследования всех интересующих нас систем, да и во многих других ситуациях.

Прежде всего из аксиом для системы скаляров следует, что это коммутативное кольцо с единицей. Иными словами, на 0 существуют операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

Аксиомы

В общем случае отсутствуют мультипликативные обратные элементы. (Например, как уже упоминалось ранее, скалярные поля на многообразии могут иметь делители нуля.) Если же у скалярного поля есть мультипликативный обратный элемент, то он единственный. Аддитивный обратный элемент всегда единствен. То же самое можно сказать о нулевом и единичном элементах.

Итак, нам потребуется бесконечное множество меток Договоримся обозначать элементы множества как в формуле (2.2.1). Выберем из элемент а. Тогда система будет -модулем; другими словами, операция сложения, определенная на и операция умножения на скаляр, определенная с помощью отображения из удовлетворяют следующим аксиомам:

Аксиомы

для всех и всех Единственный нулевой вектор записывается как или чаще просто 0. Всякий элемент имеет аддитивный обратный элемент так как Однако принято писать вместо и вместо [В действительности аксиома I является следствием аксиом II—VII. Для доказательства этого достаточно один раз развернуть с помощью аксиомы III и один раз с помощью аксиомы IV, приравнять получившиеся выражения и, воспользовавшись существованием аддитивных обратных элементов, исключить лишние Аналогично можно показать, что аксиома I в (2.2.2) является следствием всех остальных аксиом (2.2.2).]

Теперь выберем другую метку Определим систему так, чтобы она была канонически изоморфна системе в силу чего соответствует соответствует где соответствует соответствует Таким образом, для системы имеют место те же правила (2.2.3), что и для (за исключением того, что всюду следует заменить на а). Точно так же для определим . В любом верном уравнении, где появляется метка а (но не ) можно всюду заменить на и при этом получится новое верное уравнение. Аналогичный результат справедлив и для любых других пар элементов множества 3. Элементы всякой системы называются тензорами валентности Элементы модуля тензоры валентности

Для определения тензоров валентности рассмотрим модули, дуальные по отношению к (так называемые -дуальные модули). Модуль дуальный по отношению к определяется как набор всех -линейных отображений на Другими словами, всякий элемент является отображением таким что

для всех и всех . Таким образом, два элемента равны по определению, если для всякого элемента из элементы — один и тот же элемент из Как правило, мы будем опускать скобки и писать просто Кроме того, иногда мы будем писать Эта операция называется скалярным произведением.

Определим сложение пар элементов из и умножение элементов из на элементы множества следующим образом:

Так, формула (2.2.6), например, означает, что определяется как такой элемент из действие которого на каждый задается правой частью равенства (2.2.6). При наличии этих операций является -модулем, ибо семь аксиом (2.2.3) удовлетворяются элементами из (что не сложно проверить). Нулевой элемент множества записывается как , или просто 0 и определяется соотношением для всех

Аналогичным образом определим множество как дуальное по отношению к множество как дуальное к Вследствие канонического изоморфизма между существует изоморфизм и между Так, элемент соответствует элементам причем для всякого выполняются равенства

(Заметим, что до сих пор мы не можем писать выражения типа так как элементы из не действуют на элементы из Как и раньше, в любом верном уравнении, в котором встречается только один индекс, его всюду можно заменить любым другим, и при этом снова получится верное уравнение.

На этой стадии изложения вполне уместен вопрос: симметрична ли взаимосвязь между Другими словами, действительно ли дуально по отношению к Из (2.2.6) и (2.2.7) следует, что любой элемент определяет -линейное отображение из в задаваемое соотношением Однако не очевидно, что все -линейные отображения могут возникать именно таким путем. К тому же нет уверенности, что знание отображения позволяет однозначно фиксировать или (что эквивалентно), что из условий и для всех обязательно следует равенство . В действительности, если — общий модуль над общим коммутативным кольцом с единицей, то ни одно из этих нужных нам свойств может не оказаться верным. В то же время все те модули, с которыми мы имеем дело здесь, обладают тем свойством, что модуль естественно изоморфен модулю, дуальному а значит, и отождествим с ним. Такой модуль называется рефлексивным. Позднее, когда можно будет говорить о существовании конечного базиса для рефлексивная природа модуля может рассматриваться как некое следствие. Ну, а сейчас мы будем просто предполагать, что модуль рефлексивный. Фактически же мы вскоре наложим на более сильное ограничение, а именно будем считать, что модуль вполне рефлексивный (это понятие мы определим чуть позднее). Причем это свойство опять возникнет как следствие существования конечного базиса. Может оказаться, что вводимая здесь система обозначений представляет реальный интерес лишь в случае вполне рефлексивных модулей.