Тензор поля Янга — Миллса

Предположим теперь, что кручение отсутствует (т. е. можно использовать оператор в качестве оператора рассмотрим коммутатор . Имеем

где

есть тензор поля Янга — Миллса (здесь принято очевидно допустимое соглашение о том, что ЯМ-индексы и пространственно-временные индексы можно переставлять друг с другом). Соответствующие компонентные поля определяются соотношением

Если свернуть обе части этого равенства с произвольной парой векторов то каждый член в правой части станет матрицей, принадлежащей алгебре Ли Это вытекает из формул (5.5.11), (5.5.12) и из того, что квадратичный член есть коммутатор

элементов . Таким образом, что справедливо и для левой части, т. е. для компонент тензора поля Янга — Миллса.

Из записи (5.5.26) следует, что теизор не зависит от выбора калибровки Поэтому соответствующие компонентные поля претерпевают стандартное калибровочное преобразование

Заметим, что в противоположность электромагнитному случаю, тензор поля Янга — Миллса является ЯМ-заряженным объектом. Из соотношения (5.5.26) следует также, что

и, например,

Мы имеем

и, если группа образована унитарными матрицами, то

Далее, из (5.5.26) [аналогично (5.1.36)] следует соотношение

Таким образом, как и в максвелловском случае, первая «половина» полевых уравнений автоматически вытекает из развитого формализма. Вторая же «половина» уравнений Янга — Миллса (без источников) имеет вид

и, как и в максвелловском случае, это условие следует наложить. Можно также ввести отличную от нуля правую часть в уравнении (5.5.35), которая будет представлять собой янг-миллсовский ток.