Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Изотропные флаги и комплексные изотропные векторыВыше всякий раз, когда мы хотели интерпретировать спинор (или спинорную операцию) на основе представления о пространстве-времени, мы должны были полагаться на подробное геометрическое рассмотрение, проведенное в гл. .1. Но мы можем выбрать и другой путь рассуждений, основанный на предположении об абстрактном существовании спиноров, образующих алгебру, описанную в гл. 2, § 5. Содержащиеся среди этих спиноров действительные спиноры (§ 1) идентифицируются с мировыми тензорами. Представляется небезынтересным, что при использовании спинорной алгебры можно очень быстро получить геометрическую интерпретацию спин-вектора как изотропного флага на основе упомянутых выше мировых тензоров. Приводимое ниже рассмотрение представляет собой частный случай общего метода интерпретации спиноров на основе мировых тензоров, который будет изложен в § 4. В дальнейшем предположим для простоты рассуждений, что наборы состоят из спиноров, взятых только в одной точке
Тогда наиболее простым мировым тензором, который может быть построен из одного лишь спинора
Действительность вектора
По существу, всякий действительный изотропный мировой вектор имеет либо вид (3.2.2), либо вид
Этот вывод следует из утверждения о том, что произвольный комплексный мировой вектор
в том и только в том случае, если он представим в виде
Действительно, принимая (3.2.6), имеем Обратно, заметим, что уравнение (3.2.5) может быть переписано в спинорной форме
левая часть которой представляет собой удвоенный определитель матрицы Заметим, далее, что наличие спинорной системы порождает абсолютное различие двух изотройных конусов в рассматриваемой точке Р. Действительно, мы можем определить направленные в будущее и направленные в прошлое изотропные векторы как такие, для которых, соответственно выполняется условие (3 2.2) или (3.2.4) произведение двух направленных в будущее изотропных векторов или двух направленных в прошлое изотропных векторов должно быть положительным (либо равным нулю, если они пропорциональны), а скалярное произведение двух изотропных векторов, относящихся к различным классам, должно быть отрицательным (либо равным нулю, если они пропорциональны), как это и требуется (гл. 1, § 1). [Указанный выбор согласован с тем, что вектор Соотношение (3.2.2) показывает, что произвольным отличным от нуля спин-вектором единственным образом определяется направленный в будущее изотропный вектор, который мы называем его флагштоком. При этом, однако, много различных спин-векторов имеют один и тот же флагшток, поскольку мировой вектор
Чтобы получить более полную тензорную реализацию спинора
При этом будем иметь
Далее, тензор
где — произвольный вектор вида
прячем
Чтобы убедиться в справедливости соотношения (3.2.11), заметим, что, поскольку
Теперь (3.2.11) получается в результате подстановки (3.2.14) в (3.2.9). Вектор
Он задается тензором
[преобразование вектора
Векторы, отличающиеся от таких векторов Фазовое преобразование (3.2.8) может рассматриваться как преобразование, отвечающее повороту полотнища флага вокруг флагштока на угол 20. Действительно, полагая
мы видим, что
Таким образом, в результате преобразования (3.2.8) [которое, чтобы сохранить (3.2.13), должно быть дополнено преобразованием
Рис. 3.1. Изотропный флаг, представляющий спинор Небезынтересно отметить, что это дает нам прямой способ получить конформную структуру пространства Упомянутая конформная структура дает также инвариантно определенную ориентацию пространства и, следовательно, пространства-времени пространство-время Заметим, что каждое из соотношений (3.2.2) и (3.2.9) инвариантно относительно преобразования
Если это преобразование осуществляется непрерывным образом за счет изменения
|
1 |
Оглавление
|