§ 10. Спинорная форма тождеств Бианки
Напомним, что оператор ковариантной производной согласован с тензором кривизны, если выполняются тождества Бианки (4.2.42). Перепишем их в спинорном виде. С учетом формулы (3.4.26) тождества Бианки
переписываются в виде эквивалентного соотношения
Подставляя сюда соответствующее выражение (4.6.11), получаем
Отделив симметричную и кососимметричную части по 
мы получим, что это соотношение эквивалентно равенству
и его комплексно-сопряженному. Таким образом, соотношение (4.10.3) будет спинорной формой записи тождеств Бианки.
Это соотношение можно получить аналогично соотношению (4.2.42) как условие согласования кривизны и коммутатора, введенное в § 9. Для этого удобно воспользоваться тождеством
которое доказывается на основании 
-тождества (2.5.20), записанного в виде
Сворачивая (4.10.4) с
и используя (4.9.2) и (4.9.8), получаем
ввиду произвольности «с отсюда следует (4.10.3).
На основании (4.6.34) можно переписать (4.10.3), используя 
:
Иногда полезно представить это соотношение в виде двух неприводимых, разделив симметричную и антисимметричную части по 
Заметим, что оно уже симметрично по 
Получаем
а также после свертки с кососимметричной частью
Из (4.6.24) следует, что последнее уравнение есть спинорная форма важного соотношения для тензора Эйнштейна — равенства нулю его дивергенции: 
Если выполняются вакуумные полевые уравнения Эйнштейна [с Л-членом, формула (4.6.29)], то мы имеем 
; тогда первое уравнение Бианки (4.10.7) принимает вид
Это «полевое уравнение» совместно с полевыми уравнениями Эйнштейна
описывает распространение кривизны в вакууме. В частности, уравнение (4.10.9), включающее информацию, содержащуюся в (4.10.10), в известном смысле аналогично настоящему полевому уравнению. Важно, что 
формально совпадает с полевым уравнением для безмассовой (масса покоя равна нулю) частицы со спином 2 (в нашем случае это «гравитон»), С этой точки зрения мы подробнее обсудим его в гл. 5, § 7. Здесь мы отметим Одно простое следствие этого уравнения: тензор Беля — Робинсона
(4.8.9) имеет нулевую дивергенцию:
В присутствии метрики, когда уравнения Эйнштейна (4.6.31) содержат тензор энергии-импульса 
, соотношение (4.10.7) принимает вид
так что производную от 
можно рассматривать как источник гравитационного спинорного поля 
.
