§ 10. Спинорная форма тождеств Бианки

Напомним, что оператор ковариантной производной согласован с тензором кривизны, если выполняются тождества Бианки (4.2.42). Перепишем их в спинорном виде. С учетом формулы (3.4.26) тождества Бианки

переписываются в виде эквивалентного соотношения

Подставляя сюда соответствующее выражение (4.6.11), получаем

Отделив симметричную и кососимметричную части по мы получим, что это соотношение эквивалентно равенству

и его комплексно-сопряженному. Таким образом, соотношение (4.10.3) будет спинорной формой записи тождеств Бианки.

Это соотношение можно получить аналогично соотношению (4.2.42) как условие согласования кривизны и коммутатора, введенное в § 9. Для этого удобно воспользоваться тождеством

которое доказывается на основании -тождества (2.5.20), записанного в виде

Сворачивая (4.10.4) с

и используя (4.9.2) и (4.9.8), получаем

ввиду произвольности «с отсюда следует (4.10.3).

На основании (4.6.34) можно переписать (4.10.3), используя :

Иногда полезно представить это соотношение в виде двух неприводимых, разделив симметричную и антисимметричную части по Заметим, что оно уже симметрично по Получаем

а также после свертки с кососимметричной частью

Из (4.6.24) следует, что последнее уравнение есть спинорная форма важного соотношения для тензора Эйнштейна — равенства нулю его дивергенции:

Если выполняются вакуумные полевые уравнения Эйнштейна [с Л-членом, формула (4.6.29)], то мы имеем ; тогда первое уравнение Бианки (4.10.7) принимает вид

Это «полевое уравнение» совместно с полевыми уравнениями Эйнштейна

описывает распространение кривизны в вакууме. В частности, уравнение (4.10.9), включающее информацию, содержащуюся в (4.10.10), в известном смысле аналогично настоящему полевому уравнению. Важно, что формально совпадает с полевым уравнением для безмассовой (масса покоя равна нулю) частицы со спином 2 (в нашем случае это «гравитон»), С этой точки зрения мы подробнее обсудим его в гл. 5, § 7. Здесь мы отметим Одно простое следствие этого уравнения: тензор Беля — Робинсона

(4.8.9) имеет нулевую дивергенцию:

В присутствии метрики, когда уравнения Эйнштейна (4.6.31) содержат тензор энергии-импульса , соотношение (4.10.7) принимает вид

так что производную от можно рассматривать как источник гравитационного спинорного поля .