Приложение. Диаграммная система записи

Одной из проблем, встречающейся каждому, кто работает с тензорами, спинорами и подобными им величинами, является проблема записи различных соотношений. Формулы перегружены многочисленными мелкими индексами, причем каждая буква, используемая в данном выражении, сама по себе не существенна, а значение имеет лишь соответствие между символами, стоящими в различных местах. Конечно, эта особенность обозначений характерна и для многих других типов выражений, встречающихся в математике: например, в интеграле

у — «немая» переменная и буква х не имеет особого значения для выражения в делом. Однако в сложных тензорных выражениях может встретиться очень много таких «не имеющих смысла» символов. Это в особенности относится ко многим предварительным вычислениям, которые (вполне справедливо) обычно не публикуются. Индексы становятся все мельче и мельче, так что они едва различимы один от другого. Вместе с тем взаимоотношение между положениями отдельных индексов, которое именно и является важным, порой трудно понять без тщательного разбора такого выражения.

Один из путей обхода этой трудности с обозначениями, часто предлагавшийся, состоит в том, чтобы использовать некие безындексные обозначения для определенных операций (например, сверток или антисимметризованных произведений), а к ним сводить и другие представляющие интерес операции. Примером может служить известная трехмерная векторная алгебра, содержащая скалярные и векторные произведения. Другим примером может служить грассманово (или картаново) исчисление кососимметричных форм (гл. 4, § 3, 13). Но пределы применимости такой записи тензорных и спинорных соотношений, вообще говоря, довольно ограничены, а кроме того, теряется прозрачность

основных правил тензорной (спинорной) алгебры. Ниже описывается другая, диаграммная, система записи [141, 38, 39]. В ней индексы как таковые не используются, однако сохраняется ясный смысл основных правил действий с ними. Эта система записи оказалась очень полезной на практике, так как она сильно упрощает вид сложных тензорных или спинорных уравнений, делая понятными с первого взгляда взаимоотношения между входящими в них величинами. К сожалению, эта система записи, по-видимому, пригодна лишь для предварительных расчетов, поскольку диаграммы не могут быть набраны обычными типографскими средствами.

Сначала мы опишем общую схему представления тензорных формул согласно этой системе. Затем следуют некоторые специальные предписания для спиноров, хотя возможны вариации в отдельных случаях. Основная идея состоит в том, чтобы представлять свертку не парой одинаковых букв, стоящих в разных местах в данном выражении, а линией, соединяющей соответствующие места в символах, изображающих тензор. При этом каждый член превращается в некоторую диаграмму.

Чтобы предельно упростить такие диаграммы, произведения тензоров или спиноров можно изображать, не только располагая соответствующие символы по горизонтали, - но используя также вертикальное или косое расположение. (Непротиворечивость такой записи гарантируется законами коммутативности и ассоциативности умножения.) Индексы, по которым свертка не производится, изображаются линиями со свободными концами; верхние (контравариантные) индексы можно изображать линиями, обрывающимися в верхней части диаграммы («руки»), а нижние -линиями, обрывающимися в нижней части диаграммы («ноги»). Перестановка индексов представляется перекрещиванием линий. Сложение и вычитание, как правило, удобно - записывать с помощью обычных символов плюс и минус между диаграммами. Чтобы разобраться, какие линии индексов соответствуют друг другу в сумме, достаточно представить себе диаграммы, изображающие отдельные слагаемые, наложенными друг на друга. Пример приведен на рис. П. 1.

Очень характерны диаграммы, изображающие дельта-символы Кронекера и выражения, построенные из дельта-символов. Символ Кронекера изображается просто линией (не прикрепляющейся ни к какому символу тензора или спинора), проводимой примерно в вертикальном направлении. В таком представлении заложены правила

поскольку для записи левых частей достаточно продолжить уже имеющиеся линии. Операторы перестановки получают

Рис. П.1. Диаграммное изображение тензорного равенства.

естественное изображение в виде пересекающихся прямых («диаграммы Эйткена» [6]). Чтобы получить произведение двух перестановок, достаточно поместить одну диаграмму над другой, соединить соответствующие линии, а затем распрямить их (рис. П.2). Таким путем изображается произведение вида

где и — перестановки — их произведение. Перестановка является четной или нечетной в зависимости от того, имеет ли диаграмма четное или нечетное число простых пересечений.

Операторы симметризации и антисимметризации представляются в виде сумм и разностей таких выражений. Удобно иметь специальные символы для обозначения этих операций, вместо того чтобы записывать суммы в явном виде. Совокупность

Рис. П.2. Операторы перестаиовок как произведения дельта-символов Кронекера.

Рис. П.3. Симметризаторы и антисимметризаторы.

вертикальных прямых, перечеркнутых одной волнистой линией, будет изображать сумму всех перестановок с теми же концами (рис. П.3). Таким образом, это оператор симметризации. Аналогично, если вместо волнистой линии проведена горизонтальная прямая линия, диаграмма будет означать оператор антисимметризации. Это есть сумма всех четных перестановок минус сумма всех нечетных перестановок, обычно записываемая как «обобщенный символ Кронекера»

Чтобы изобразить симметричную часть тензора с индексами, перечеркиваем соответствующие индексные линии волнистой чертой и делим получившееся выражение на (При желании множитель можно включить в определение соответствующего символа. Форма, выбранная здесь, дает некоторые преимущества при разложении диаграмм на составные части.) На рис. П.4 изображены некоторые простые тождества, существенные при вычислениях с диаграммами. Размерность пространства предполагается равной Иногда необходимо выражать симметрию или антисимметрию выражения по отдельным группам, индексов (см. стр. 174). В этом случае волнистая или прямая горизонтальная линия должна проводиться только между группами, без пересечения с линиями внутри группы (рис. П.5). Удобное обозначение для полностью антисимметричных единичных тензоров — горизонтальная прямая, из которой исходит вертикальных прямых (рис. П.6). В ковариантном случае вертикальные прямые идут вниз, а в контравариантном — вверх.

Если задан (симметричный, невырожденный) метрический тензор то его удобно представлять в виде крокетных ворот, как показано на рис. П.7. Это дельта-символ Кронекера, но

Рис. П.4. Некоторые свойства симметризующего и антисимметризующего тензоров.

«изогнутый», а обратный тензор удобно представить тем же символом в перевернутом виде. Тогда соотношение просто будет изображаться «выпрямлением» линии дельта-символа Кронекера. Наличие метрики фактически превращает систему тензоров в «декартову», для которой не имеет смысла различать верхние и нижние индексы, т. е. «руки» и «ноги» на диаграммах. Линии индексов могут выходить теперь в произвольном направлении, и внутренние линии даже не обязательно изображать вертикальными прямыми. Если же метрика не задана, то, напротив, целесообразно изображать индексы вертикальными линиями, чтобы иметь возможность четкого разграничения между ковариантными и контравариантными индексами. Можно также помечать линии стрелками, но это требует больше времени на вычерчивание диаграммы.

Ковариантную производную удобно обозначать, обводя дифференцируемое выражение кружком, к которому прикрепляется идущая вниз внешняя линия, изображающая индекс производной. Это иллюстрируется на рис. П.8, где также приведены

Рис. П.5. Групповые симметризаторы и антисимметризаторы, некоторые простые свойства.

Рис. П.6. Альтернирующий тензор и его свойства.

диаграммные изображения тензоров, кручения и кривизны. На рис. П.9 с целью демонстрации компактности такой записи дается прямой вывод тождеств Бианки при наличии кручения. На рис. П. 10 изображены свойства тензора Римана в стандартной (псевдо) римановой геометрии (включая симметрию, отвечающую схеме Юнга, стр. 186).

Для спиноров возможны различные обозначения, в которых, однако, должно проводиться четкое различие между штрихованными

Рис. П.7. Метрический тензор.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. П.14. Спиноры, описывающие кривизн.

Рис. П.15. Спинорные тождества Риччн и Бианки.

и нештрихованными индексами, например с помощью линий, проводимых под разными углами к вертикали (рис. П.11), или с помощью двух цветов. На практике, правда, в этом зачастую нет необходимости, так как обычно нештрихованные индексы располагаются слева в каждом выражении, а штрихованные справа, и можно использовать одинаковые линии индексов, не боясь путаницы. Тензорные индексы всегда можно представить в виде пары спинорных индексов, т. е. изобразить парой линий. Комплексное сопряжение удобно рассматривать как отражение в вертикальной плоскости. Отсюда следует требование,

Рис. П.16. Диаграммные обозначения для твисторной теории.

чтобы линии, изображающие индексы следовали в рядке, противоположном порядку следования линий, изображающих индексы в представлении спинора Если такой спинор соответствует действительному тензору то его изображение в соответствии с указанным требованием будет право-левосимметричным. Для согласования нужно также условиться, чтобы упорядочение концевых точек «нештрихованных рук» и «штрихованных ног» было тем же, что и порядок следования индексов в буквенном выражении, а для «штрихованных рук» и «нештрихованных ног» — противоположным (рис. П.12). Описанные выше (рис. П.6) обозначения для операции альтернирования можно применять и для -спиноров, но удобнее пользоваться символами, изображенными на рис. П. 12, которые приводят к более компактной записи и делают легче запоминающимся довольно неуклюжее правило поднятия и опускания спинорных индексов.

На рис. П. 13 показаны обозначения для спинорных ковариантных производных, а на рис. П.14 предложены символы для спиноров, описывающих кривизну. Тождества Риччи и Бианки изображены на рис. П. 15.

В отдельных случаях может оказаться удобным отклониться от предлагаемых правил, которые лишь указывают принцип построения. Например, в теории твисторов, к которой мы обратимся в т. 2, комплексное сопряжение соответствует перестановке верхних и нижних индексов, а потому его удобнее рассматривать как отражение в горизонтальной плоскости. Если имеются и спинорные, и твисторные индексы, то иногда удобнее проводить линии спинорных индексов горизонтально, а не вертикально. Возможные диаграммы показаны на рис. П.16.