Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Геометрия мировых векторов и спин-векторов§ 1. Векторное пространство МинковскогоВ данной главе мы остановимся на геометрии пространства мировых векторов. Такое пространство называется векторным пространством Минковского. Оно представляет собой множество «векторов положения» в пространстве-времени специальной теории относительности, исходящих из некоторого события, произвольно выбранного в качестве начала отсчета. В искривленном пространстве-времени общей теории относительности векторные пространства Минковского реализуются как касательные пространства в точках (событиях) пространства-времени. Другим примером служат пространства, заметаемые 4-скоростями или 4-моментами. Векторное пространство Минковского есть четырехмерное векторное пространство V над нолем (Ниже мы кратко остановимся на значении этих терминов.) Таким образом, как и в случае всякого векторного пространства, мы располагаем операциями сложения и умножения на скаляры, удовлетворяющими соотношениям
при всех Четырехмерность пространства V эквивалентна существованию базиса, состоящего из четырех линейно независимых векторов можно единственным образом представить в виде
где
В таких обозначениях выражение (1.1.2) приобретает вид
Здесь и далее мы пользуемся правилом суммирования Эйнштейна: подразумевается суммирование по всякому численному индексу, который встречается в одном члене дважды: один раз вверху, а другой внизу. Индексы в виде жирных прямых строчных букв латинского алфавита Рассмотрим два базиса в пространстве V, скажем
Шестнадцать чисел g образуют действительную невырожденную матрицу размерности
V его ориентацию. Операция скалярного произведения на V ставит в соответствие каждой паре векторов
выражающие симметрию и билинейность операции скалярного произведения. Мы также потребуем, чтобы скалярное произведение имело сигнатуру
Если в соответствии со схемой (1.1.3) обозначить эту тетраду через
где
Вариант записи Задавшись произвольной тетрадой Минковского
Заметим, что
Частным случаем скалярного произведения является лоренцева норма
Полезно отметить, что скалярное произведение может быть выражено через лоренцеву норму:
Вектор
Вектор
в котором равенство относится к случаю изотропного V. Если оба вектора V и V причинны, то, применяя последовательно (1.1.16) и неравенство Шварца, получаем
Следовательно, если исключить случаи, когда оба вектора изотропны и пропорциональны один другому или один из них нулевой (единственные случаи, когда оба неравенства сводятся к равенствам), то знак произведения Как следствие мы получаем, что причинные векторы распадаются на два несвязанных класса, обладающих следующим свойством: скалярное произведение любых двух непропорциональных один другому векторов одного и того же класса положительно, а скалярное произведение непропорциональных векторов из разных классов отрицательно. Эти два класса различаются знаком величины Задание пространственной ориентации пространства V состоит в приписании трем пространственноподобным векторам каждой тетрады Минковского «правого» или «левого» характера. Это задание может быть осуществлено на основе ориентации и временной ориентации пространства V. А именно, триада V — определяется третье, причем, если какие-либо два свойства меняются на противоположные, третье должно оставаться неизменным. Производя указанный выбор двух свойств для пространства-времени, в котором мы живем, более предпочтительно, по-видимому, начать с выбора триады Пространство-время МинковскогоМы уже отмечали, что векторное пространство Минковского V можно рассматривать как пространство векторов положений точек (событий) относительно некоторого произвольно выбранного начала отсчета. Такие точки образуют пространство-время Минковского
при котором
откуда
Стандартное введение координат на замены Q на О мы получаем следующее выражение для координат вектора
откуда ясно видна независимость координат от выбора начала отсчета. Подстановка выражений (1.1.21) и (1.1.20) в (1.1.13) дает
Линейное преобразование V в себя, сохраняющее лоренцеву норму и, следовательно, в силу (1.1.14), также скалярное произведение, называется (активным) преобразованием Лоренца. Если такое преобразование сохраняет и ориентацию, и временную ориентацию пространства V, то оно называется ограниченным преобразованием Лоренца. Очевидно, что (ограниченные) преобразования Лоренца образуют группу; она называется (ограниченной) группой Лоренца. Аналогично преобразование Любой физический эксперимент в пространстве-времени Минковского (где протекает наша практическая деятельность) может быть подвергнут преобразованию Пуанкаре — т. е. повороту в пространстве, смещению в пространстве и времени и прямолинейному равномерному движению — без изменения его существенных результатов. На этом положении, которое может быть установлено независимо от координат или других правил физики, основана специальная теория относительности. Замена координатВ данной книге преобразования Лоренца и Пуанкаре, если не сделано оговорок, будут пониматься как активные преобразования. Но иногда бывает полезно рассмотреть «пассивные» преобразования Лоренца (и Пуанкаре). Они представляют собой преобразования координатного пространства переопределение координат V (или М). Любая тетрада Минковского
называется пассивным преобразованием Лоренца (Пункаре). Оно называемся ограниченным, если может порождаться двумя ограниченными тетрадами Минковского Если упомянутые две опорные тетрады связаны между собой соотношением
то
и, следовательно, пассивное преобразование (1 1.23) в явном виде записывается следующим образом:
откуда ясно видна его линейность. Это преобразование полностью определяется матрицей Даже активное преобразование Лоренца часто бывает удобно описывать посредством координат (Это несколько дезориентирует, поскольку активное преобразование Лоренца существует независимо от всех координат, тогда как пассивное преобразование Лоренца независимо от координат не существует.) Итак, при заданном активном преобразовании Лоренца
Рис. 1.1. Активное преобразование Пуанкаре переводит мировой вектор V в точке О в мировой вектор V в точке где в виде исключения из общего правила мы предполагаем суммирование по паре различных индексов
где
Таким образом, активное преобразование Лоренца Если
Рассматривая (1.1.29) как матричное уравнение, мы заключаем, что
В силу формулы (1.1.28) те же самые условия применимы к матрице пассивного ограниченного преобразования Лоренца. Ясно, что эти условия могут быть также выведены непосредственно из определений
|
1 |
Оглавление
|