Инфинитезимальные преобразования
Мы закончим данный параграф кратким описанием инфинитезимальных спиновых преобразований и ассоциированных с ними преобразований Лоренца. Хорошо известно, что инфинитезимальным преобразованиям Лоренца отвечают двухиндексные антисимметричные тензоры. Это можно получить следующим образом. Пусть 
однопараметрическое свойство преобразований Лоренца, гладко зависящих от параметра X, причем значению 
отвечает тождественное преобразование
Инфинитезимальное преобразование Лоренца 
отвечающее этому семейству, имеет вид
Вычислив с учетом формул (3.6.52) и (3.6.53) производную по X выражения (3.6.5)
мы получим
откуда
Чтобы восстановить конечное преобразование Лоренца из бесконечно малого, выполним «экспоненцирование». По определению
Тогда, если
то формально получаем
Далее, для любого заданного кососимметричного тензора 
определим
что дает
Таким образом, 
есть преобразование Лоренца.
Аналогично, рассматривая гладкое однопараметрическое семейство спиновых преобразований 
для которых
можно определить инфинитезимальное спиновое преобразование 
соотношением
Дифференцируя обе части равенства
[формула (3.6.6)], получаем
следовательно, матрица 
симметрична. Если, наоборот, задана некоторая симметричная матрица 
то, полагая
получаем
[При переходе ко второй строке использовано соотношение 
Таким образом, 
есть спиновое преобразование.
Чтобы найти соотношение между инфинитёзимальным преобразованием Лоренца и инфинитезимальным спиновым преобразованием, рассмотрим производную по к выражения
Получаем
[Ср. с формулой (3.4.20).] Наоборот, пусть 
связаны соотношением (3.6.69) или, что эквивалентно, соотношением
Поскольку слагаемые в его правой части «коммутируют», переходя к экспонентам левой и правой частей и используя равенство (3.6.59), получаем требуемое соотношение
где 
— величина (3.6.60), а 
— величина (3.6.66).
Выразим 
через стдв. Для этого положим
Тогда
так что
(временно считаем, что 
. Произведение 
формально ведет себя как 
, а потому имеем
Полагая
получаем
Если заменить произведение 
его предельным значением при 
а именно величиной X, то можно воспользоваться выражением (3.6.77) и в случае 
Таким образом, имеем
[Отметим, что 
— четные функции и, следовательно, не зависят от выбора знака величины 
в формуле (3.6.72).] Соответствующее преобразование Лоренца 
нам даст формула (3.6.35), если подставить в 
Случай 
[т. е. (3.6.78)] соответствует изотропным вращениям [формулы (3.6.40) и (3.6.47)].
