§ 2. Формализм абстрактных индексов и тензорная алгебра

В этом формализме, скажем, символ означает не набор компонент а единственный элемент некоторого абстрактного векторного пространства или модуля. Конечно, иногда бывает удобно выбрать определенный базис и записать в нем вектор Но при этом должен использоваться другой тип буквы-индекса: индексы, обозначающие компоненты тензора, будут печататься прямым жирным шрифтом. Так символ будет обозначать набор компонент Индексы, напечатанные прямым жирным шрифтом, будут использоваться обычным образом, но в общем случае мы будем стремиться их избегать. Присутствие в рассматриваемом выражении индексов, напечатанных жирным шрифтом, может указывать на два следующих обстоятельства. Во-первых, это будет означать, что в дополнение ко всем тензорам или скалярным, присутствующим в некотором выражении явно, в него косвенным образом введен (по возможности произвольный) базис. Во-вторых, такие индексы будут подчиняться правилу суммирования Эйнштейна с формулой (1.1.4)]. В применении же к индексам, напечатанным светлым курсивом, правило суммирования в том виде, в котором его обычно принято понимать, было бы бессмысленным. Однако свертывание (как и другие тензорные операции) для абстрактных тензоров будет определено. Мы должны определить безбазисные операции так, чтобы они вобрали в себя знакомые правила манипулирования тензорными компонентами.

Существует, однако, одно малоприятное свойство, которое проявляется с самого начала и к которому следует привыкнуть.

В классической тензорной алгебре, где используются обычные обозначения, часто рассматриваются выражения вроде или Если мы захотим перенести это на язык абстрактных индексов, т. е. записать то в дополнение к нам понадобятся объект причем оба они должны символизировать один и тот же вектор V. Ясно, что и должны быть различными объектами, ибо, если справедливы равенства то мы придем к равенству Кроме того, равенство должно было бы отображать несостоятельное классическое выражение Поэтому с любым вектором V должен быть ассоциирован бесконечный набор разных копий (поскольку следует допускать выражения произвольной протяженности). Таким образом, полный модуль к которому относится V, должен допускать бесчисленное множество своих совершенно отдельных копий. Будем обозначать их символами Модули должны быть канонически изоморфны друг другу и модулю причем соответствует Таким образом, в том и только в том случае, если и если где — элементы кольца скаляров

Необходимость бесконечного числа отдельных математических объектов для описания чего-то на самом деле единственного, без сомнения, выглядит довольно неестественно. И тем не менее к этому следует привыкнуть. Но возможна и несколько иная точка зрения на эту ситуацию, которая может показаться не столь неестественной. Согласно такой точке зрения, множество абстрактных меток

имеет только организующее значение. Это множество должно удовлетворять единственному требованию — быть бесконечным. Векторы и векторные поля, с которыми нам приходится все время иметь дело, образуют модуль Элементы всевозможных множеств — это просто элементы из где, например — это Иначе говоря, , — это пара Следовательно, всякий абстрактный индекс вроде является просто своего рода «адресной» меткой для «занесения» вектора V в «ячейку памяти