Вращения поверхности

Рассмотрим теперь специальный тип преобразований — вращения, оставляющие точки и направление неподвижными. Пусть имеет вид (4.15.41); мы находим, что -мерное пространство распадается на прямую сумму пространств, каждое из которых переходит в себя при вращениях. Размерности этих пространств таковы:

Это можно показать следующим образом. Выразим через И, пользуясь выражением, комплексно-сопряженным выражению (4.15.6),

и подставим это в (4.15.21). Поскольку значит, и формула есть инвариант вращений, это — инвариантная процедура. Удерживая явную зависимость от и, чтобы сохранить инвариантность относительно масштабных преобразований спиновой системы отсчета, мы получаем выражение вида

где

Величина не полностью симметрична. Следуя процедуре гл. 3, § 3, ее можно разложить на вполне симметричные части с различным числом индексов:

и т. д. до тех пор, пока одна из первоначальных групп индексов не будет исчерпана. Мы получаем симметричные нештрихованные

спиноры, имеющие индексов и, соответственно, независимых компонент. Вводя для различных вполне симметричных спиноров в (4.15.47) обозначения

соответственно, находим, что спинор (для удобства вторая группа индексов записана вверху) может быть представлен в виде линейной комбинации величин

Подставляя это в (4.15.45), мы получаем в виде линейной комбинации слагаемых

Слагаемые, содержащие равны нулю, поскольку Фактически оказывается, что

При желании коэффициенты в формуле (4.15.49) можно переписать в первоначальном виде (4.15.41) (т. е. используя спиноры на основании формулы (4.15.7). Они образуют части функции неприводимые относительно вращений, как это указывалось ранее. Они также служат базисом инвариантных подпространств функций со спиновым весом на имеющих, соответственно, размерности — как утверждалось в формуле (4.15.43).

Чтобы определить, к какому из подпространств принадлежит заданная функция этого вида, скажем

нам требуется установить свойство, определяющее возможные представления функции (4.15.51), в которых величина вполне симметрична:

Пусть число индексов величины и равно где — целое или полуцелое, так что мы имеем в выражении индексов и индексов . Отметим, что — целое в том и только том случае, если — целое, и что

Теперь рассмотрим действие оператора на (4.15.51). Из (4.15.27) и (4.15.28) получаем

Действуя оператором на это выражение, с учетом формул (4.15.27), (4.15.28) и (4.15.3) находим

Таким образом, — собственная функция оператора отвечающая собственному значению

Из соотношения (4.15.29) следует, что является также собственной функцией оператора :

отвечающей собственному значению

Эти собственные значения позволяют определить и и поскольку непосредственно вычисляется из коммутатора (4.15.29), а определяется из (4.15.55), что позволяет найти ибо При каждом заданном значении спинового веса мы называем собственные функции (4.15.49) оператора спиновыми сферическими гармониками. Мы рассматривали

вали только полиномиальные выражения вида (4.15.41). Можно показать, что любая (непрерывная) спиновая функция на может быть представлена в виде (бесконечной) суммы таких полиномов, так что спиновые сферические гармоники, определенные здесь, образуют в действительности полную систему. рассмотрен в работе [36]; полнота при может быть доказана из условия полноты при