2.1. Содержание теоремы Арнольда-Лиувилля

Вернемся к симплектическому многообразию $V$ и рассмотрим на нем интегрируемую систему. С геометрической точки зрения это означает следующее: в любой точке $x$ открытого всюду плотного подмножества, где интегралы $H_{i}$ независимы, мы имеем $n$ независимых векторов. Они порождают лагранжево подпространство ${ }^{7}$ в пространстве $T_{x} V$, которое является касательным к совместной поверхности уровня $H_{1}, \ldots, H_{n}$ в точке $x$. Если потоки векторных полей полны, то можно рассмотреть действие группы $\mathbf{R}^{n}$ (напомним, что векторные поля коммутируют) на любом регулярном уровне, которое является (в силу независимости векторов) локально свободным. Тогда на регулярных уровнях возникает аффинная структура, относительно которой указанные поля линейны. Это и есть утверждение теоремы АрнольдаЛиувилля.
Теорема (Арнольд [9]). Пусть $h=\left(h_{1}, \ldots, h_{n}\right) \in \mathbf{R}^{n}$ – регулярное значение отображения ( $\left.H_{1}, \ldots, H_{n}\right): V \rightarrow \mathbf{R}^{n}$. Обозначим через $\mathcal{T}_{h}$ соответствующий регулярный уровень, так что $\mathcal{T}_{h}$ является лагранжевым подмногообразием. Іусть $x-$ точка из $\mathcal{T}_{h}$. Если потоки векторных полей $X_{1}, \ldots, X_{n}$, выходящие из $x$, полны, то связная компонента $\mathcal{T}_{h}$, содержащая $x$, является однородным пространством группы $\mathbf{R}^{n}$. В частности, существуют координаты $\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$, в которых векторные поля $X_{i}$ можно записать в виде
\[
\sum_{j=1}^{n} \omega_{j}^{i}(h) \frac{\partial}{\partial \varphi_{j}} .
\]
${ }^{7}$ т. е. подпространство максимальной размерности, изотропное по отношению к симплектической форме

Замечание. В действительности, мы сформулировали только легкую половину теоремы Арнольда-Лиувилля. Наиболее простой способ убедиться в том, что потоки полны, – это потребовать, чтобы связная компонента, содержащая $x$, была компактной (это будет действительно так, если один из интегралов является собственным). Разумеется, в этом случае мы имеем тор (один из знаменитых торов Лиувилля), a $\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$ можно рассматривать как координаты по модулю $2 \pi$. Поэтому их называют координатами угол. Теорема Арнольда-Лиувилля утверждает, что существуют дополнительные координаты, координаты действия ${ }^{8}$ : они связаны с другой аффинной структурой, трансверсальной к поверхностям уровня. Мы не будем здесь касаться координат действия, хотя они и имеют исключительную важность.

2.2. 0 чем умалчивает теорема Арнольда-Лиувилля

С топологической точки зрения сформулированная теорема может показаться достаточно бедной: она говорит только о том, что решения дифференциальных систем уравнений выглядят как прямолинейные обмотки торов, однако не дает ответа на некоторые нетривиальные вопросы.
1) Каким образом можно узнать аналитически (т. е. не углубляясь в вычисления), что конкретная поверхность уровня $h$ является регулярной? В простом случае вращающихся волчков, как мы увидим, речь пойдет о совместной поверхности уровня четырех полиномов от шести переменных …
2) Как мы можем проверить, что потоки полны?
3) Сколько торов Лиувилля содержит поверхность уровня, если мы знаем, что она компактна?
4) Что происходит при переходе через критическое значение?
${ }^{8}$ Существование координат действия означает, что дифференциальная система уравнений «интегрируема в квадратурах».

5) Утверждать, что потоки линейны относительно аффинной структуры, которую они сами же определяют, – это до некоторой степени тавтологично. Существует ли какое-нибудь утверждение о линеаризации потоков относительно более канонической аффинной структуры?
Опишем вкратце метод, который мы собираемся обсудить и проиллюстрировать в настоящей книге. Его главной особенностью является то, что в рамках этого метода можно предложить естественные подходы к исследованию гамильтоновых систем и даже ответить на все перечисленные выше вопросы. Идея этого метода заключается в том, что мы моделируем поверхности уровня вместе с их неявной аффинной структурой при помощи достаточно жестких объектов, которые наделены канонической аффинной структурой. Это абелевы многообразия. Даже если мы их не замечаем, они все равно неявно присутствуют при упоминании об эллиптических функциях и/или абелевых интегралах.