В предыдущих параграфах мы описали несколько способов получения канонического преобразования в виде ряда по степеням параметра $\epsilon$. Такие преобразования можно записать в виде
$$\mathit{y}=\mathit{y}(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon ),\mathit{x}=\mathit{x}(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon )$$

или
$$z=z(\zeta ,\epsilon )$$

где $\mathit{x},\mathit{y},\mathit{\eta },\mathit{\xi }-n$-мерные векторы, а $\mathit{z},\mathit{\zeta }-2n$-мерные векторы. С помощью генератора, удовлетворяющего уравнению Гамильтона-Якоби, т. е. с помощью генератора, который требуется в методе теории возмущений Пуанкаре, преобразование (1.6.1) можно записать так:
$$\mathit{y}=\mathit{\eta }+{\left(\frac{\partial W}{\partial \mathit{x}}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathit{y}(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon ),\mathit{\xi }=\mathit{x}+{\left(\frac{\partial W}{\partial \mathit{\eta }}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathit{\xi }(\mathit{\eta },\mathit{x},\mathit{\epsilon }),$$

где $W=W(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon )$ — производящая функция. Устовие
$$W(\mathit{\eta },\mathit{x},0)=0$$

указывает на то, что преобразование (1.6.1) является преобразованием, близким к тождественному при достаточно малых $\epsilon$.

Преобразование аналогичного типа, как было видно, осуществляется с помощью генератора $S=S(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )$, которому соответствует решение такой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений:
$$\frac{dy}{d\epsilon }={\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}^{\mathbf{T}},\frac{dx}{d\epsilon }=-{\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)}^{\mathbf{T}}$$
1) Гамильтониан со знаком минус (прим. перев.).

с начальными условиями $\mathit{y}=\mathit{\eta },\mathit{x}=\mathit{\xi }$ при $\epsilon =0$. Справедливо следующее основное утверждение об эквивалентности преобразований.

Теорем а (Шнайад [63]). Генераторы $W$ и $S$, удовлетворяющие описанным выше условиям, удовлетворяют также соотношению
$$S(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )=\frac{\partial W}{\partial \epsilon }(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon ),$$
əде
$$\mathit{y}=\mathit{\eta }+{\left(\frac{\partial W}{\partial \mathit{x}}\right)}^T=\mathit{y}(\mathit{\eta },\mathit{x},\mathit{\epsilon }).$$

В самом деле, после применения преобразования (1.6.3) к системе (1.6.5) новый гампльтонисн $S^{\prime }(\eta ,\xi ,\epsilon )$ в соответствии с теорией Гамильтона-Якоби определяется формулой
$$S^{\prime }(\mathit{\eta },\mathit{\xi }(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon ),\epsilon )=S(\mathit{y}(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon ),\mathit{x},\epsilon )-\frac{\partial W}{\partial \epsilon }(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon ).$$

С другой стороны, величины $\eta$ и $\xi$ по определению должны быть постоянными, и, следовательно, гамильтониан $S^{\prime }(\eta ,\xi ,\epsilon )$ должен быть тождественно равен нулю, что и доказывает теорему.

Теперь, вспомнив, что в общем случае функции $W$ п $S$ представляются степенными рядами по $\epsilon$, найдем связь между коэффициентами этих двух рядов. Действительно, так как функция $S^{\prime }$ тождественно равна нулю, то соотношение
$$S(\mathit{\eta }+{\left(\frac{\partial W}{\partial \mathit{x}}\right)}^{\mathrm{T}},\mathit{x},\epsilon )-\frac{\partial W}{\partial \epsilon }(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon )=0$$

должно удовлетворяться тождественно при любых значениях $2n+1$ независимых переменных $\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon$.
Запишем $S$ и $W$ в виде рядов
$$\begin{array}{rl}S(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_{n+1}(\mathit{y},\mathit{x}){\epsilon }^n,\\ W(\mathit{\eta },\mathit{x},\epsilon )& =\sum _{\mathit{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{W}_n(\mathit{\eta },\mathit{x}){\epsilon }^n,\end{array}$$

где переменные $y$ определяются формулами (1.6.7).
Подстановка рядов (1.6.10) и (1.6.7) в (1.6.9) приводит к рекуррентным соотношениям
$$\begin{array}{rl}{W}_1& =S_1,\\ 2W_2& =S_2+\left(\frac{\partial S_1}{\partial \eta }\right){\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)}^{\mathrm{T}},\\ 3W_3& =S_3+\left(\frac{\partial S_1}{\partial \eta }\right){\left(\frac{\partial W_2}{\partial x}\right)}^{\mathrm{T}}+\left(\frac{\partial S_2}{\partial \eta }\right){\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)}^{\mathrm{T}}+\frac{1}{2}\frac{\partial W_1}{\partial x}\frac{{\partial }^2{S}_1}{\partial {\eta }^2}{\left(\frac{\partial W_i}{\partial x}\right)}^{\mathrm{T}},\end{array}$$

к т. д. Здесь $\partial S_n/\partial \eta$ и производные высших порядков вычисляются по формуле $\partial S_n/{\partial \eta |}_{y=\eta }$. В общем случае в работе Мерсмана [51] пайдено, что
$$\begin{array}{c}{W}_1=S_1\\ (n+1)W_{n+1}=S_{n+1}+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}\sum _p\frac{{\partial }^k{S}_{p_0}}{\partial {\eta }_{i_1}\dots \partial {\eta }_{i_k}}\cdot \frac{\partial W_{p_1}}{\partial x_{i_1}}\dots \frac{\partial W_{p_k}}{\partial x_{i_k}}\end{array}$$

где второе суммирование осуществляется по всем наборам из $k+1$ целых положительных чисел $p_0,p_1,\dots ,p_k$, таких, что $p_0+$ $+p_1+\dots +p_k=n+1$. Соотношения (1.6.11) полностью эквивалентны соотношениям, первоначально полученным в работе [28] при нахождении явных формул для метода Цейпеля (Пуанкаре). Рекуррентные формулы (1.6.11) теперь можно использовать для установления явной связи между генераторами, определяемыми методом Пуанкаре и методом Хори и Депри с помощью рядов Ли. Эти соотношения детально исследованы в работе [51]. Эквивалентность формул Хори и Депри устанавливается косвенным образом при внимательном изучении того факта, что при оригинальном подходе Хори генератор $S$ может на самом деле считаться функцией $\epsilon$, хотя в этом случае приведенное доказательство теоремы Ли не годится. Вшервые дискуссия по этому вопросу была открыта в работе [10] в связи с обсуждением некоторых отрицательных замечаний Депри [17] о теории Хори. Аргументация авторов этой работы го существу сводится к тому, что они считают геператор $S$ принадлежащим некоторому однопараметрическому семейству (параметр семейства ${\epsilon }_0$ ), затем строится преобразование при фиксированном значении параметра и показывается справедливость построений для любого значения $\epsilon$ параметра ${\epsilon }_0$. Аналогичный прнем весьма успешно примения Пуанкаре [58] в задаче, в которой одному иा тому же параметру фиктивно присваивалось два разных наименования; Пуанкаре проводил разложение по двум параметрам, а на последнем этапе опять употреблял одно наименование параметра.
Для примера вслед за Пуанкаре рассмотрим функцию
$$f(\epsilon )=\sin \frac{\epsilon }{1-\epsilon }$$

и ее разложение в ряд Тейлора вблизи $\epsilon =0$. Можно провести это разложение следующим образом. Пусть
$$\sin \frac{\epsilon }{1-\epsilon }=\sin \frac{\epsilon }{1-\mu }.$$

Тогда разложение в ряд Тейлора имеет вид
$$\begin{array}{rl}\sin \frac{\epsilon }{1-\mu }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{2n!}\frac{1}{(1-\mu {)}^n}& [1-(-1{)}^n]=\\ =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{2n!}[1-(-1{)}^n]\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{-n}^m(-1{)}^m{\mu }^m.\end{array}$$

Вспоминая, что $\mu$ равно $\epsilon$, получим выражение
$$\sin \frac{\epsilon }{1-\epsilon }=\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}\{\sum _{n=0}^p\frac{1}{2n!}{C}_{-n}^{p-n}(-1{)}^{p-n}[1-(-1{)}^n]\}{\epsilon }^p,$$

которое, как нетрудно проверить, по существу является точным разложением функции $f(\epsilon )$ в ряд Тейлора.
В рассматриваемом случае, возвращаясь к оператору
$$\exp \left(\epsilon L_S\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{n!}{L}_S^n$$

находим, что свойство
$$\exp \left(\epsilon L_{\mathrm{S}}\right)(f,g)=(\exp \left(\epsilon L_{\mathrm{S}}\right)f,\exp \left(\epsilon L_{\mathrm{S}}\right)g)$$

не зависит от того, будет ли функция $S$ зависеть от $\epsilon$ или нет. Следовательно, в силу того, что вышеприведенное свойство является основой доказательства каноничности преобразования
$$z=\exp \left(\epsilon L_S\right)\zeta ,$$

находим, что его можно применить и при доказательстве в случае Хори.