В заключение этой главы рассмотрим пример неавтономных линейных возмущений. В частности, мы будем иметь дело с уравнением
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon F(t) z,
\]

где $F(t)=F(t+2 \pi)$ для всех $t$ и $F(t)$ является аналитической функцией для всех конечных $t$ и имеет нулевое среднее значение. Проблемы, связанные с этим уравнением, были детально изучены сначала Чезари [16], а затем Гәмбиллом [18], Хейлом [21] и некоторыми другими авторами ${ }^{2}$ ). Здесь эту задачу мы будем рассматривать с помощью методов теории возмущений, специально приспособленных для ее решения, но отличающихся от методов, рассмотренных выше в § 9 главы II.
Введем преобразование
\[
z=\sqrt{\frac{2 x}{\omega}} \sin y, \quad \dot{z}=\sqrt{2 \omega x} \cos y
\]

и получим систему
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\frac{2 \varepsilon}{\omega} x \sin y \cos y F(t), \\
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{\omega} \sin ^{2} y F(t),
\end{array}
\]

уже рассмотренную для автономного случая. Далее, рассмотрим преобразование
\[
\begin{array}{l}
x=\xi+\varepsilon v(\eta, t, \varepsilon)+\varepsilon V(\eta, t, \varepsilon) \xi, \\
y=\eta+\varepsilon u(\eta, t, \varepsilon)
\end{array}
\]
1) В схучае, когда все $\mathrm{Re} \lambda_{k}$ нмеют одинаковые знаки и выполнено условие (3.4.32), доказательство сходимости проведено Пуанкаре [88.2]. Доказательство сходимости при невыполнении условий (3.4.32) проведено Дюляком [21*] (прим. ред.).
2) Подробную библиографию работ, носвященных исследованию таких систем, см. в [22*] (прим. перев.).

и покажем, что существуют $2 \pi$-периодические по $y$ и $t$ функции $v, V, u$, такие, что уравнения (3.5.3) приводятся к виду
\[
\dot{\eta}=\Omega(\varepsilon, \omega)
\]

при $\xi=0$. Это позволит определить характеристические показатели Хилла в этой задаче. Следуя той же процедуре, что и в предыдущем параграфе, легко находим
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon\left(\Omega \frac{\partial u}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial t}\right)=\omega-\Omega-\frac{\varepsilon}{\omega} \sin ^{2}(\eta+\varepsilon u) F(t), \\
\varepsilon\left(\Omega \frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{\partial v}{\partial t}\right)=\frac{2 \varepsilon^{2}}{\omega} v \sin (\eta+\varepsilon u) \cos (\eta+\varepsilon u) F(t), \\
\varepsilon\left(\Omega \frac{\partial V}{\partial \eta}+\frac{\partial V}{\partial t}\right)=\frac{2 \varepsilon}{\omega}(1+\varepsilon V) \sin (\eta+\varepsilon u) \cos (\eta+\varepsilon u) F(t) .
\end{array}
\]

Отсюда, полагая $\omega-\Omega=\varepsilon \lambda$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\Omega \frac{\partial u}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial t}=\lambda-\frac{1}{\omega} \sin ^{2}(\eta+\varepsilon u) F(t) \\
\Omega \frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\varepsilon}{\omega} v \sin (2 \eta+2 \varepsilon u) F(t) \\
\Omega \frac{\partial(1+\varepsilon V)}{\partial \eta}+\frac{\partial(1+\varepsilon V)}{\partial t}=\frac{\varepsilon}{\omega}(1+\varepsilon V) \sin (2 \eta+2 \varepsilon u) F(t)
\end{array}
\]

Предположим, что из уравневия (3.5.6) можно определить величину $\lambda$ и $2 \pi$-периодическую по $t$ и $\eta$ функцию $u$. Тогда правые части уравнений (3.5.7) и (3.5.8), поделенные на $v$ и $1+\varepsilon V$ соответственно, будут известными $2 \pi$-периодическими функциями $t$ и $\eta$. Если $v$ и $1+\varepsilon V$ удовлетворяют одинаковым начальным (или граничным) условиям, то, очевидно,
\[
v=1+8 V .
\]

С другой стороны, взяв частные производные по $\eta$ от обеих частей уравнения (3.5.6), находим
\[
\begin{array}{l}
\qquad \Omega \frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial u}{\partial \eta}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial \eta}\right)=-\frac{1}{\omega} \sin (2 \eta+2 \varepsilon u) F(t) \cdot\left(1+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) \\
\text { r. e. } \\
\Omega \frac{\partial}{\partial \eta}\left(1+8 \frac{\partial u}{\partial \eta}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(1+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta}\right)=-\frac{\varepsilon}{\omega}\left(1+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) \sin (2 \eta+2 \varepsilon u) F(t) .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает, что уравнение для $1+\varepsilon \partial u / \partial \eta$, правая часть которого берется со знаком минус, такое же, что и уравнение (3.5.7) или (3.5.8). В частности, отсюда следует, что необходимо выполнение равенства
\[
\ln \left(1+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta}\right)+\ln v=f(\eta-\Omega t),
\]

где $f$ — произьольная функция. Положим $f=\ln [g(\eta-\Omega t)]$, так что
\[
\left(1+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) v=g(\eta-\Omega t),
\]

где $g$-произвольная функция. Если удастся найти функцию, $u(\eta, t)$, то с помощью алгебраических операций легко получатся функции $v$ и $1+\varepsilon V$, но с точностью до некоторой произвольной функции. Если функция $и$ является $2 \pi$-периодической по $\eta$ и $t$ и требуется, чтобы этими же свойствами обладали функции $v$ и $V$, то за функцию $g(\eta-\Omega t)$ необходимо принять какое-нибудь постоянное число, если только величина $\Omega$ не окажется рациональной. Тем не менее, как мы вскоре увидим, этот последний случай надо исключить из рассмотрения, если функцию $u$ необходимо определять из уравнения (3.5.6). Следовательно, необходимо, чтобы
\[
v\left(1+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta}\right)=k(\varepsilon, \omega)=\text { const. }
\]

После учета этого равенства преобразование (3.5.4) при $\xi=0$ принимает вид
\[
x=\varepsilon v(\eta, t, \varepsilon), \quad y=\eta+\varepsilon u(\eta, t, \varepsilon)
\]

или
\[
\begin{array}{l}
x=\varepsilon v\left(\Omega t+\eta_{0,} t, \varepsilon\right), \\
y=\Omega t+\eta_{0}+\varepsilon u\left(\Omega t+\eta_{0}, t, \varepsilon\right),
\end{array}
\]

где $u, v-2 \pi$-периодические функции по $\eta=\Omega t+\eta_{0}$ п $t$. Эти функции не могут быть периодическими по $t$, если только не исключить случаи, когда величина $\Omega$ является рациональным числом. Принимая во внимание (3.5.2) и (3.5.12), легко видеть, что
\[
z=\alpha(t) \cos \Omega t+\beta(t) \sin \Omega t,
\]

так что в действительности величина $\Omega$ является характеристическим показателем Хилла. Применение описанного метода к уравнению Хилла в работе Джакальи [20] показало его преимущества по сравнению с классической процедурой вычисления бесконечного определителя.

Таким образом, осталось показать, что из уравнения (3.5.6) можно определить величину $\lambda=\lambda(\Omega, \omega, \varepsilon)$ и $2 \pi$-периодическую по $\eta$ и $t$ функцию $u(\eta, t)$. Действительно, рассмотрим разложения
\[
\begin{array}{l}
u=u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots, \\
\lambda=\lambda_{0}+\varepsilon \lambda_{1}+\varepsilon^{2} \lambda_{2}+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
u_{k}=u_{k}(\eta, t)=u_{k}(\eta+2 \pi, t)=u_{k}(\eta, t+2 \pi)
\]

и
\[
\int_{0}^{2 \pi} d t \int_{0}^{2 \pi} u_{k} d \eta=0 .
\]

Для коэфффициентов при $\varepsilon^{0}$ находим
\[
\Omega \frac{\partial u_{0}}{\partial \eta}+\frac{\partial u_{0}}{\partial t}=\hbar_{0}-\frac{1}{\omega} \sin ^{2} \eta F(t)
\]

и, следовательно, $\lambda_{0}=0$. В силу сделанных предположений, можно написать
\[
F(t)=\sum_{k} F_{k} e^{i k t}, \quad F_{0}=0
\]

что дает возможность определить $u_{0}$ при условии, что
\[
|k \Omega-j| \geqslant \varepsilon|k|^{-p},
\]

где $k$— не равное нулю целое число, $p$ — выбранное соответствующим образом положительное число, а $j$-произвольное целое число. Это утверждение будет рассмотрено в следующей главе в связи с полученными Мозером [33] результатами об отображениях кольца, сохраняющих площадь. В теории Мозера, кроме того, будет рассмотрена и проблема сходимости. Функции $u_{k}$, получающиеся при $k$-м приближении по $\varepsilon$, определяются как репение уравнений вида
\[
\Omega \frac{\partial u_{k}}{\partial \eta}+\frac{\partial u_{k}}{\partial t}=\lambda_{k}+\sum_{p, q} A_{p q}^{(k)} e^{i(p \eta+q t)},
\]

если определить $\lambda_{k}=-A_{00}^{(k)}$, что является типичным для методов усреднения. В результате получим
\[
\lambda=\varepsilon \lambda_{1}+\varepsilon^{2} \lambda_{2}+\ldots=\varepsilon G(\varepsilon, \Omega, \omega),
\]
т. e.
\[
\omega-\Omega=\varepsilon^{2} G(\varepsilon, \Omega, \omega),
\]

откуда находим характеристический показатель в виде
\[
\Omega=\Omega(\varepsilon, \omega)=\omega+\varepsilon^{2} \Omega_{2}(\omega)+\varepsilon^{3} \Omega_{3}(\omega)+\ldots
\]

Если уравнение (3.5.1) рассматривается для $n$-мерного случая, т. е.
\[
\ddot{z}+A z=\varepsilon B(t) z,
\]

где $z=\operatorname{col}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right), A$ — постоянная $n \times n$-матрица, а $B(t)$ периодическая $n \times n$-матрица, то вышеописанная процедура может быть применена в случае, когда все собственные числа матрицы $A$ различны (и, следовательно, не равны нулю). Необходимо отметить рии этом существенную трудность, заключающуюся в том, тто уравнения, соответствующие уравнениям (3.5.6), не будут уравнениями только относительно неизвестной $u_{k}$, а являются уравнениями относительно всех других компонент вектора $u$ и вектора $v$. Однако этот факт не мешает одновременному определению функций $u$ и $v$ с помощью метода последовательных приближений и обобщенной процедуры усреднения.