В этом параграфе мы дадим более точную характеристику свойств траекторий, являющихся решениями интегрируемых систем.

Мы начнем с результата Лиувилля. Пусть дана гамильтонова система
\[
\dot{y}_{k}=H_{x_{k}}, \quad \dot{x}_{k}=-H_{y_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где функция $H=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$ аналитична в некоторой области $D$ фазового пространства. Если в обтасти $D^{\prime} \subset D$ известны $n$ общих интегралов $F_{1}, \ldots, F_{n}$, находящихся в инволюции, то в области $D^{\prime}$ система интегрируема, т. е. сводится к квадратурам. Пусть для $i=1, \ldots, n$
\[
F_{i}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})=C_{i}=\mathrm{const} .
\]

В общем случае верно, что замкнутые многообразия, определяемые уравнениями (3.1.2), являются торами, и на них движение является условно-периодическим. В действительности можно показать, что этот вывод всегда верен для систем Лиувилля. Точнее, можно получить следующее утверждение [5].

Теорема. Пусть система (3.1.1) с $n$ степенями свободы имеет $n$ первых общих интегралов $F_{1}, \ldots, F_{n}$, находящихся в инволюции. Уравнения $F_{i}=C_{i}$ определяют компактное многообразие $M=M_{c}$, в каждой точке поторого векторь $\operatorname{grad} F_{i}(i=1, \ldots$ …, $n$ ) линейно независимы в фазовом пространстве размерности 2n. Тогда $M$ – тор размерности $n$ и точка $(\boldsymbol{y}(t), \boldsymbol{x}(t))$, являющаяся решением уравнений (3.1.1) в области $D^{\prime}$, созершает условно-периодическое движение на М.

Эта теорема оправдывает тот факт, что мы всегда рассматриваем в качестве интегрируемой системы систему с гамильтонианом $H=H_{0}(x)$, т. е. с гамильтонцаном, зависящим только от импульсов. В общем случае частоты $\omega_{k}=H_{0 x_{k}}(k=1, \ldots, n)$ будут рационально независимы, так что движение на торах, определяемое параметрами $y_{1}, \ldots, y_{n}$, является эргодическим, в том смысле, что траектории, покрывающие такие торы $T^{n}$, всюду плотны. Другими словами, для данной точки $P^{0} \in T^{n}$ (где $P^{0}=$ $\left.=\left(y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}\right)\right)$ п для произвольного $\varepsilon>0$ всегда можно найти такое $T(\varepsilon)$, что для данного $\bar{t}$ из интервала $0<\bar{t} \leqslant T(\varepsilon)$ соотношения $\left|y_{k}(\bar{t})-y_{k}^{0}\right|<\varepsilon$ удовлетворяются для всех $k$.