Проблемы нормализации гамильтоновой системы дифференциальных уравнений и сохраняющих меру отображений в окрестности положения равновесия или неподвижной точки соответственно аналогичны друг другу и имеют одинаковые трудности, приводящие в общем случае к расходимости асимптотических рядов, представляющих преобразование. Однако это не указывает на то, что нормальная форма не существует, а только в худшем случае на то, что такая форма не может быть получена с помощью степенных рядов. Основная идея, лежащая в основе нормализации Биркгофа в гамильтоновых системах, заключается в описании всех движений в окрестности положения равновесия с помощью естественного обобщения ляпуновской процедуры построения периодических движений в этой окрестности.

Основная теорема Биркгофа [5] утверждает, что если характеристические показатели (частоты нормальных колебаний в окрестности положения равновесия) рационально независимы, то в формальном смысле существует нормальная форма, и гамильтониан
в соответствующих координатах $y$ и импульсах $x$ может быть записан в виде формального ряда (стешенно́го) относительно $\zeta_{1}, \ldots$ $\ldots, \zeta_{n}$, где $\zeta_{k}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2}$. Как уже отмечалось выше, в этом случае ясно, что все $\zeta$ становятся интегралами движения. В общем случае они являются только формальными интегралами, так как преобразование от исходной формы к нормальной форме описывается формальными рядами, вообще говоря, расходящимися.

В резонансных случаях, т. е. когда есть рациональная зависимость между частотами нормальных колебаний, ситуация не изменяется, и в общем случае нормальная форма, полученная Густавсоном $[10]$, также расходится, на что также указывают его численные эксперименты, а также схожие эксперименты Хенона и Хейлеса [13]. Точные результаты о плотности множества гамильтонианов, для которых приведение к нормальной форме может быть осуществлено сходящимися рядами, были получены Зігелем [33].

Для систем с двумя степенями свободы тейлоровское разложение функции $H$ вблизи положения равновесия эллиптического тнпа имеет вид
\[
\boldsymbol{H}=\sum_{k=1}^{2} \frac{1}{2} v_{k}\left(y_{k}^{2}+x_{k}^{2}\right)+H_{3}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\ldots+H_{n}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\ldots,
\]

где
\[
H_{n}=\sum_{k, l} c_{k, l} x^{k} \boldsymbol{y}^{l}=\sum_{h_{1}} \sum_{l_{2}} \sum_{l_{1}} \sum_{l_{2}} c_{k_{1} k_{2} l_{1} l_{2}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} y_{1}^{l_{1}} y_{2}^{l_{2}},
\]

и из сходимости разложения длн $H$ соответствующей перенормировкой фазовых переменных и времени можно получить
\[
\left|c_{k l}\right| \leqslant 1 \text {. }
\]

Пусть $S$ – множество всех функций $H$ вида (4.6.1), удовлетворяющих условиям (4.6.2). Зигель показал, что гамильтонианы с иррациональными значениями $v_{1} / v_{2}$, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме расходится, плотны в $S$ при топологии, определяемой выбором окрестностей, задаваемых неравенствами $\left|c_{k, l}-c_{k, l}^{0}\right|<\varepsilon_{k, l}$ для всех $k, l$ и для данных $\varepsilon_{k, l}$. Скорость уменьшения чисел $\varepsilon_{k, l}$ с увеличением $k, l$ произвольна.

Следовательно, для решения вопроса о сходимости или расходимости преобразования необходимо точно знать все коэффициенты функции $H$, что придает процедуре приведения к нормальной форме очень небольшое физическое значение, так как параметры системы никогда не бывают известны абсолютно точно. Более строгий результат Зигеля [34] указывает, что случаи, при которых имеет место сходимость преобразования Биркгофа, оказываются исключительными в том смысле, что они образуют множество, которое является объединением бесконечного числа нигде не плотных множеств. Стоит упомянуть результат Рюсмана [32], который показал, что если система дифференциальных уравнений, соответствующих гамныьтониану (4.6.1), допускает аналитический интеграл
\[
G=\sum_{k=1}^{2} \beta_{k}\left(y_{k}^{2}+x_{k}^{2}\right)+\ldots,
\]

где $v_{1} \beta_{2}-v_{2} \beta_{1}
eq 0$, то преобравование Биркгофа сходится. Это оправдывает тот факт, что интегрируемые гамильтоновы системы в окрестности положения равновесия можно определить как системы, для которых преобразование Биркгофа сходится.

Связь между гамильтоновыми системами и сохраняющими меру отображениями устанавливается легко. Если дано такое отображение $M$, что $M^{0}$ – тождественное отображение, $M^{1}=M, M^{i+s}=$ $=M^{t} M^{s}$, то отображению $M$ соответствует решение гамильтоновой системы
\[
\dot{y}=H_{x}(y, x), \quad \dot{x}=-H_{y}(y, x),
\]
т. е.
\[
M^{t}\left\{\begin{array}{l}
y=y\left(y_{0}, x_{0}, t\right), \\
x=x\left(y_{0}, x_{0}, t\right) .
\end{array}\right.
\]

В этом случае отображение $M$ имеет интеграл $H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$, колорый инвариантен относительно отображения $M$. Обратно, если отображение $M$ обладает интегралом, то
\[
M^{0} \text { – тождественное }, \quad M^{1}=M, \quad M^{t+s}=M^{t} M^{s}
\]

и само $M$ может быть приведено к нормальной форме с помощью сходящегося преобразования Бирктофа. Основы доказательства этого утверждения были заложены Биркгофом [4]. За бо́льшими деталями мы отсылаем читателя к статье Мозера [25] об интегрируемости отображений.
Что касается приведения к вормальной форме системы
\[
\dot{x}_{k}=f_{k}(x) \quad(k=1, \ldots, n)
\]

в окрестности положения равновесия $x=0$, то сходимость преобразования, описываемого рядами, может быть легко установлена. Если
\[
f_{k}(x)=\sum_{l=1}^{n} c_{k l} x_{l}+\text { члены высшего порядка, }
\]

и собственные значения $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $\left\{c_{k l}\right\}$ различны между собой, то существует постоянная неособенная матрица $P$, такая, что
\[
P^{-1} C P=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)=\lambda,
\]

и в окрестности точки $x=0$ мы получаем такой вид уравнений:
\[
\dot{x}=\lambda x+\varphi(x) \text {. }
\]

Если $\sum_{k} j_{k} \lambda_{k}-\lambda_{l}
eq 0$ при $\sum_{k} j_{k} \geqslant 2$, где $j_{k}$ – целые числа, то существует преобразование $x=y+\psi(y)$, приводящее исходную систему к виду
\[
\dot{y}=\lambda y \text {. }
\]

Сходимость можно установить, если все $\operatorname{Re} \lambda_{k}$ имеют один и тот жө знак, так как в этом случае нетрудно показать, что все малые делители задачи, т. е. величины $\sum j_{k} \lambda_{k}-\lambda_{l}$, отделимы от нуля. Ясно, что вышеупомянутое предшоложение не может быть выполнено в гамильтоновой системе. Однако для неконсервативных систем в общем случае нормализация является более простой процедурой, чем применение рядов метода Ли, и оба этих метода приводят к одинаковому результату.

Ясная связь между приведением к нормальной форме и устойчивостью устанавливается с помощью следующей теоремы (см. [36]). Пусть $D$ – ограниченная в $C^{n}$ область, содержащая начало координат, и пусть решение уравнений $\dot{z}=f(z), z=$ $=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$, где $f(z)$ – аналитическая в $D$ функция и $f(0)=0$, остается в $D$.

Теорема. Если решения системы уравнений $\dot{\boldsymbol{z}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{z}), \boldsymbol{z}(0)=$ $=z_{0} \in D$ остаются в $D$ при всех $t$ и при всех $z_{0} \in D$, то в окрестности $D^{\prime}\left(D^{\prime} \subset D\right)$ нуля существует такал замена перемениых
\[
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{\zeta})=\boldsymbol{\zeta}+\text { члены высшего порядка, }
\]

что преобразованная система дифференциальных уравнений имеет вид $\dot{\zeta}=A \zeta$, где $A$ – постоянная диагональная матрица, собственные значения которой имеют нулевые вещественные части.

Теорема Мозера об инвариантных кривых становится проще для понимания, если рассматривается для двумерной системы, т. е. на плоскости. Рассмотрим кольцо $A\{1 \leqslant R \leqslant 2\}$, где $R^{2}=x^{2}+y^{2}$. Если $\theta$ – полярный угол, то $d x d y=\frac{1}{2} d R d \theta$.
Отображение кручения определяется формулами
\[
M_{0}\left\{\begin{aligned}
R^{*} & =R, \\
\theta^{*} & =\theta+\gamma(R) .
\end{aligned}\right.
\]

Отображение $M_{0}$ очевидно сохраняет площадь, и окружности $R=$ const инвариантны относительно $M_{0}$. Важно, чтобы выполнялось условие кручения: $\gamma^{\prime}(R)
eq 0, R \in A$. Основным свойством отображения $M_{0}$ является то, что каждая окружность для любого $\gamma(R)$, соизмеримого с $2 \pi$ (т. е. $\gamma / 2 \pi=p / q$ ), состоит из неподвижных точек отображения $M_{0}^{q}$. Каждая окружность, для которой величина $\gamma$ не соизмерима с $2 \pi$, плотно покрывается образами любой точки при отображении $M_{0}^{q}$. Мозер рассмотрел возмущенное отображение кручения
\[
M_{\varepsilon}\left\{\begin{array}{l}
R^{*}=R+\varepsilon f(R, \theta, \varepsilon), \\
\theta^{*}=\theta+\gamma(R)+\varepsilon g(R, \theta, \varepsilon),
\end{array}\right.
\]

где $f, g-2 \pi$-периодические функции $\theta$. Отображение $M_{\varepsilon}$ определено в кольце $A$. Наличие малого параметра $\varepsilon$ не обязательно, но здесь для удобства мы выбрали именно этот вид отображения. Если отображение $M_{\varepsilon}$ сохраняет площадь, то для данного рационального числа, заключенного между $\gamma(1) / 2 \pi<p / q$ и $\gamma(2) / 2 \pi>p / q$, существует $2 q$ неподвижных точек отображения $M_{\varepsilon}^{q}$, удовлетворяющих условиям
\[
R^{q}=R, \quad \theta^{q}=\theta+2 \pi p
\]

для достаточно малых $\varepsilon$. В теореме Мозера рассматриваются возмущения таких окружностей $R=$ const, для которых число $\gamma(R) / 2 \pi$ является иррациональным, и эта теорема может быть сформулирована следующим образом (случай «малых возмущений»).

Теорема. Пусть $\gamma^{\prime}(R)
eq 0$ для $R \in A$ и пусть любал кривал $\Gamma$, окружающал окружность $R=1$, пересекается со своим образом, т. е. с кривой $\Gamma^{*}=M_{\varepsilon}(\Gamma)$. Функции $f$ и $g$ предполагаются достаточно гладкими. Тогда для любого данного числа $ю, з$ за ключенного между ү(1) и ү(2), не соизмеримого с $2 \pi$ и удовлетворяющего неравенствам
\[
|q \omega-2 \pi p| \geqslant C|q|^{-3 / 2}
\]

для всех цельх $p, q
eq 0$, существует дифференцруемая замкінтал кривая
\[
\Gamma\left\{\begin{array}{l}
R=F(\varphi, \varepsilon), \\
\theta=\varphi+G(\varphi, \varepsilon)
\end{array}\right.
\]

где функции $F, G$ имеют период $2 \pi$ отностительно $\varphi$, которая инвариантна относительно отображения $M_{\varepsilon}$ при условии, что в-достаточно малая величина. Более того, образ каждой точки кривой $\Gamma$ получается заменой $\varphi$ на $\varphi+\omega$.

Ясно, что если отображение $M_{\varepsilon}$ сохраняет площадь, и кривая $\Gamma$ окружает окружность $R=1$, то образ этой кривой $M_{\varepsilon}(\Gamma)$ обязательно пересечет кривую $\Gamma$ в силу предположения о свойстве сохранения площади, так как он не может целиком лежать внутри или вне кривой $\Gamma$ при отображении $M_{\varepsilon}$, достаточно близком к $M_{0}$.

Эту теорему легко можно прнменить для прямого доказательства теоремы Арнольда об устойчивости положений равновесия эллиптического типа в двумерных системах. Важное применение этой теоремы было также указано Кинером [20] в задаче о двпжении спутника сжатой планеты в поле с цилиндрической симметрией. Мозер [29] описал применение своей теоремы в задаче об адиабатических инвариантах в магнитных полях с замкнутыми медленно меняющимися магнитными поверхностями. За описанием. этих приложений мы отсылаем читателя к упомянутым оригпнальным работам.

С геометрической точки зрения теорема Колмогорова имеет один очень интересный аспект.

Действительно, рассмотрим гамильтониан $H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$, аналитический при $\varepsilon=, 0$ и при $x \in D \subset R^{n},|\operatorname{Im} y|<\rho$. Пусть, кроме того, $H(y+2 \pi, x, \varepsilon)=H(y, 1 x, \varepsilon)$ и $H(y, x, 0)=H_{0}(x)$. Пусть точка $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0} \in D$, и определим величину
\[
\boldsymbol{\omega}=\frac{\partial H}{\partial x}=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)
\]

при $\varepsilon=, 0$ и $x=x_{0}$. Предположим далее, что точка $x_{0}$ может быть выбрана так, что при $\varepsilon=, 0$ определитель $\operatorname{det} H_{x x}
eq 0$ и, более того, все $\omega_{k}(k=1, \ldots, n)$ удовлетворяют обычным условиям иррациональности.

При сделанных предположениях теорема Колмогорова эквивалентна утверждению о существсвании таких аналитических вектор-функций $u, v$, что выражения
\[
y=\theta+u(\theta), \quad x=C+v(\theta)
\]

описывают инвариантный тор. Движение на торе определяется формулой $\dot{\theta}=\boldsymbol{\omega}$, где $\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right)$.

Легко осуществить сведе́ние описанной задачи к отображениям, сохраняющим меру. Действительно, рассматривая для простоты случай $n=2$ и гамильтониан
\[
H=H_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\varepsilon H_{1}\left(y_{1}, y_{2}, x_{1}, x_{2}, \varepsilon\right),
\]

положим $x_{1}=r, y_{1}=\theta, y_{2}=\tau, x_{2}=x$. Далее предположим, что $\partial H_{0} / \partial x_{2}
eq 0$. Исключая из уравнений движения время $t$ п переменную $x$ с помощью интеграла движения, получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial \theta} / \frac{\partial H}{\partial x}=F(r, \theta, \tau, \varepsilon), \\
\frac{d \theta}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial r} / \frac{\partial H}{\partial x}=G(r, \theta, \tau, \varepsilon),
\end{array}
\]

где, очевидно, функции $F$ и $G$ пмеют период $2 \pi$ по $\tau$. Более того, если через $r_{0}, \theta_{0}$ обозначить начальные условия, соответствующие при $\tau=0$ заданному значению энергии, т. е. $H\left(\theta_{0}, 0, r_{0}, x\right)=h$, то решение
\[
\theta=\theta\left(\theta_{0}, r_{0}, \tau, \varepsilon\right), \quad r=r\left(\theta_{0}, r_{0}, \tau, \varepsilon\right)
\]

при $\tau=2 \pi$ отображает точку $\left(\theta_{0}, r_{0}\right)$ из плоскости $\tau=0$ в точку $(\theta, r)$ из плоскости $\tau=2 \pi$ (эти плоскости перпендикулярны оси $\tau$ в расширенном фазовом пространстве рассматриваемой системы). Следовательно, отображение
\[
M_{\varepsilon}\left\{\begin{array}{l}
\theta^{*}=\theta\left(\theta_{0}, r_{0}, 2 \pi, \varepsilon\right), \\
r^{*}=r\left(\theta_{0}, r_{0}, 2 \pi, \varepsilon\right)
\end{array}\right.
\]

сохраняет площадь, так как система (4.6.3) гамильтонова, и при $\varepsilon=0$ легко получить, что
\[
M_{0}\left\{\begin{array}{l}
\theta^{*}=\theta_{0}+2 \pi \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}, \\
r^{*}=r_{0},
\end{array}\right.
\]

где
\[
\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}}\left|\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}}=\frac{\partial H_{0}}{\partial r}\right| \frac{\partial H_{0}}{\partial x}=\frac{1}{2 \pi} \alpha(r),
\]

так как переменную $x$ можно исключить, если использовать интеграл энергии. Тогда отображение $M_{0}$ определяется формулами
\[
M_{0}\left\{\begin{array}{l}
\theta^{*}=\theta_{0}+\alpha\left(r_{0}\right), \\
r^{*}=r_{0},
\end{array}\right.
\]

а при $\varepsilon
eq 0$ имеем
\[
M_{\varepsilon}\left\{\begin{array}{l}
\theta^{*}=\theta_{0}+\alpha\left(r_{0}\right)+\varepsilon \varphi\left(\theta_{0}, r_{0}, \varepsilon\right), \\
r^{*}=r_{0}+\varepsilon \psi\left(\theta_{0}, r_{0}, \varepsilon\right) .
\end{array}\right.
\]

Теперь можно применить теорему Мозера о малых отображениях кручения, если соответствующим образом ограничить величину $x_{1}$ (здесь $r$ ) кольцом $0<a \leqslant r_{0} \leqslant b$.

Понятие адиабатических иввариантов и их использование очень тесно связаны с обсуждаемыми сейчас методами теории возмущений. Это понятие очень интенсивно изучалось и хорошо описано в литературе; здесь мы хогим упомянуть некоторые из основных результатов. Ранней работой, которую следует назвать в связи с рассматриваемыми вонросами, является статья Андронова и др. [1], упомянутая Арнольдом. Очень хорошие работы выполнили Касуга [16] и Крускал [18]. Арнольд изучил часть рассматриваемой задачи в работе [2] и более подробно в работе [3] (глава II, стр. 111-124). Недавние работы, относящиеся в той илі иной степени к нашему вопросу, вышолнены Картсатосом [14], Вазовым [38] и Халламом [12].

Термин адиабатический имеет классический смысл (общий с термодинамическим смыслом), означающий очень медленное изменение параметров, определяющих физическую конфигурацию системы.
Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
\[
H=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \tau),
\]

где $\tau=\varepsilon t$, а $\varepsilon$ – малый параметр. Мы имеем следующее определение.

Функция $I(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \tau)$ называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы, если для любого $\delta>0$ возможно найти такое $\varepsilon_{0}>0$, что при $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ для всех $t$ из интервала $0<t<1 / \varepsilon$ выполняется неравенство
\[
|I(t)-I(0)|<\delta .
\]

Здесь мы положили $I(t)=I(y(t), x(t), \varepsilon t), \quad$ где $y(t), x(t)$ интегральные кривые системы, определяемой гамильтонианом $H$.

Ясно, что любой интеграл является адиабатическим инвариантом, а в действительности даже вечным инвариантом. Наиболее типичным примером для систем с одной степенью свободы является следующий пример, рассматриваемый в квантовой механике.

Рассмотрим $H=H(y, x, \tau) . \quad \Pi$ Пи $\tau=$ const уравнение $H(y, x, \tau)=E\left(y_{0}, x_{0}, \tau\right)=$ const в плоскости $(y, x)$ описывает мгновенную конфигурацию линий энергетического уровня. Предположим, что при значениях $\tau$ и $E$ из некоторой области эти линии образуют замкнутые траектории. В этом случае они заключены в некоторой области, площадь которой обозначим через $2 \pi I\left(y_{0}, x_{0}, \tau\right)$, где $\left(y_{0}, x_{0}\right)$ – любая точка соответствующей ограничивающей траектории. Тогда можно показать, что величина $I$ является адиабатическим инвариантом в смысле, определенном выше. Например, рассмотрим простой маятник с медленно меняющейся длиной нити. Гамильтониан такой системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} \omega^{2} y^{2},
\]

где $\omega=\omega(\tau)>0$ для всех $\tau=\varepsilon t$. Тогда
\[
I=\frac{H}{\omega}=\frac{1}{2 \omega} x^{2}+\frac{1^{\tau}}{2} \omega y^{2} .
\]

Хотя за конечное время величина $I(t)$ может измениться мало, но за большие промежутки времени она может иметь большие изменения (даже секулярные). Тем не менее было получено такое утверждение (см. [3], глава II, § 2).

Теорема. Дла медленно и периодически изменяющихся гамильтонианов $H(y, x, \tau)$ нелинейных колебательных систем с одной степенью свободы адиабатический инвариант сохраняется вечно, т. е. для любого $\delta>0$ можно найти такое $\varepsilon_{0}(\delta)>0$, что при $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$ неравенство $\left|I(t)-I\left(t_{0}\right)\right|<\delta$ выполняетсл для всех $t$.

Этот важный факт является следствием нелинейности системы, т. е. следствием свойства зависимости частоты от амплитуды. Аналогичный результат не может быть получен для линейной системы с ее классической неустойчивостью при резонансе.

Для того ттобы показать строгую связь между адиабатическими инвариантами и формальными интегралами, получаемыми в асимптотических методах теории возмущений, рассмотрим систему с одной степенью свободы и гамильтонианом
\[
H(y, x, \tau)=H(y, x, \tau+2 \pi), \quad \tau=. \varepsilon t .
\]

При $\tau=$ const система автономна и интегрируется непосредственным образом. С помощью переменных действие – угол $I, W$, определяемых производящей функцией Гамильтона – Якоби $S=$. $=S(y, I, \tau)$, мы имеем

где
\[
\begin{array}{l}
x=\partial S / \partial y, \quad W=\partial S / \partial I, \\
S(y, I, \tau)=\oint_{h} x(h, y, \tau) d y .
\end{array}
\]

Последний интеграл вычисляется вдоль замкнутой траектории, определяемой условием $h=H_{0}(I, \tau)$, где функция $h=H_{0}$ есть функция, обратная к функции
\[
I(h, \tau)=\frac{1}{2 \pi} \oint_{H=h} x(h, y, \tau) d y,
\]

а $x(h, y, \tau)$ определяется из уравнения $H(y, x, \tau)=h$. Для современного и ясного определения операции введения переменных действие – угол мы предлагаем читателю книгу Мейровича [23] (глава 9).

Величина $I$, очевидно, являегся постоянной, а угол $W$ на окружности $I=$ const изменяется равномерно:
\[
\dot{W}=\dot{W}(I, \tau)=\frac{\partial H_{0}}{\partial I} .
\]

До сих пор мы считали, что величина $\tau$ является постоянной. Пусть теперь $\tau$ изменяется со временем: $\tau=\varepsilon t$. Тогда приведенное описание движения является только приближенным (адиабатическим) в интервале времени $t \sim 1 / \varepsilon$. Однако в общем случае мы можем написать
\[
H(I, W, \tau)=H_{0}(l, \tau)+\varepsilon H_{1}(I, W, \tau),
\]

где в силу того, что преобразование $(y, x) \rightarrow(W, I)$ является каноническим, но зависящим явно от времени, имеем
\[
H_{1}=\frac{\partial S}{\partial \tau}=H_{1}(I, W, \tau) .
\]

Последняя величина является однозначной функцией $W$ и $\tau$, зависящей от них $2 \pi$-периодическим образом. Классическая картина поведения траекторий в расширенном фазовом пространстве $(y, x, \tau)$ – следующая. Отождествим точки с координатами $\tau$ II $\tau+2 \pi$, а также $W$ и $W+2 \pi$. Уравнение $I=$ const определяет двумерные торы с угловыми координатами $\tau$ и $W$. Если $\varepsilon=0$, то фазовая точка движется вдоль линий $\tau=$ const с угловой скоростью $\dot{W}(I, \tau)$. При $\varepsilon
eq 0$ имеет место медленное движение ( $\tau=\varepsilon t$ ) по нормали к уже описанному. Оно происходит на торе, имеющем две частоты. Однако в адиабатическом приближении фазовая точка остается на инвариантном торе, определяемом условием $I=$ const. Истинное движение близко к адиабатическому приближению при $t \sim 1 / \varepsilon$. Если система является нелинейной, то адиабатическое приближение остается сцраведливым при всех $t$. В действительности это и утверждается в теореме Колмогорова.
Средняя частота определяется формулой
\[
\bar{\omega}(I)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} W(I, \tau) d \tau=\frac{d \bar{H}_{0}}{d I},
\]

где
\[
\bar{H}_{0}=\frac{1}{2 \pi} \int_{i}^{2 \pi} H_{0}(I, \tau) d \tau .
\]

Нелинейный характер движения определяется условием невырожденности
\[
\frac{d^{2} \vec{H}_{0}}{d I^{2}}=\frac{d \vec{\omega}}{d I}
eq 0 .
\]

Из этого условия следует вечная адиабатическая инвариантность величины $I$, т. е. всегда можно найти инвариантные торы для системы, соответствующей переменной величине $\tau$, и они будут близки к торам $I=$ const для достаточно малых $\varepsilon$ и любых моментов времени. Точнее, можно утверждать следующее.
1. Для любого $\delta>0$ можно найти такое $\varepsilon_{0}>0$, что если $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$, то точка $\left(y_{0}, x_{0}, \tau\right)$ лежит между двумя инвариантными торами $T_{1}$ и $T_{2}$, где
\[
\left|I\left(y_{1}, x_{1}, \tau_{1}\right)-I\left(y_{2}, x_{2}, \tau_{2}\right)\right|<\delta
\]

при условии, что $\left(y_{1}, x_{1}, \tau_{1}\right) \in T_{1},\left(y_{2}, x_{2}, \tau_{2}\right) \in T_{2}$.
2. Рассмотрим такой гамиль:ониан
\[
H(I, W, \tau)=H_{0}(I, \tau)+\varepsilon H_{1}(I, W, \tau),
\]

что $\partial H_{0} / \partial I
ot 0, \partial^{2} H_{0} / \partial I^{2}
ot \equiv$ и $H$ аналитичен прп $\left|I-I_{0}\right|<\rho$. Тогда для каждого $\delta>0$ можно найти такое $\varepsilon_{0}>0$, что если $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$ и $\left|I\left(t_{0}\right)-I_{0}\right|<\rho^{-\delta}$, то для всех $t$ выполнено неравенство $\left|I(t)-I\left(t_{0}\right)\right|<\delta$.

С помощью леммы Арнольда (сп. [3], стр. 116-118) о преобразовании гамильтониан приводится к виду
\[
K(q, p, \theta)=\varepsilon K_{0}(p)+\varepsilon^{2} K_{1}(q, p, \theta)+\ldots,
\]

где $\theta=W$ – новая независимая переменная, а $q$, по существу, совпадает с $\tau$. К этому гамильтониану можно применить теорему Колмогорова, из которой и следует, что $I$ будет вечным инвариантом.

Адиабатическая инвариантность в системах с двумя стеденями свободы также была исследована Арнольдом (см. [3], глава 2, § 3) и применена к классической задаче о магнитных ловушках. В результате доказано, что заряженные частицы (например, әлектроны), движущиеся по спиралям вокруг магнитных силовых линий, захватываются магнитным полем, если только оно медленно меняется или если скорости частиц малы. Основная лемма, рассмотренная Арнольдом для доказательства этого результата, заключается в следующем.

Лемма. Пусть данный адиабатический гамильтониан $H\left(y_{1}^{\prime}, y_{2}^{\prime}, x_{1}, x_{2}\right)$, где $y_{1}^{\prime}=\varepsilon y_{1}, \quad$ при фиксированных значениях $y_{1}^{\prime}, x_{1}$ определяет полебательную систему с переменными действие $\boldsymbol{P}\left(y_{1}^{\prime}, x_{1}, h\right)$ и угол $\Omega\left(y_{1}^{\prime}, y_{2}, x_{1}, x_{2}\right)$. тогда существует

аналитическое преобразование переменных $y_{1}^{\prime}, y_{2}, x_{1}, x_{2}$ в новые переменные $y, W, P_{y}, P_{w}$, обладающие такими свойствами.
a) Функции $y_{1}^{\prime}, y_{2}, x_{1}, x_{2}$ имеют период $2 \pi$ по $W$, и при $\varepsilon \rightarrow 0$ получаем $\quad y \rightarrow y_{1}^{\prime}, W \rightarrow \Omega, P_{y} \rightarrow x_{1}, P_{W} \rightarrow P$.
б) Вдоль решений системь с гамильтонианом $H$ справедливы следующие канонические уравнения с гамильтонианом $I\left(y, P_{y}, W, h\right):$
\[
\frac{d P_{y}}{d W}=-\frac{\partial I}{\partial y}, \quad \frac{d y}{d W}=\frac{\partial I}{\partial P_{y}}
\]

где $h-$ параметр (константа интеграла энергии $H=h$ ).
в) Величина $I$ имеет вид $I=-\varepsilon P_{w}$, где функция
\[
P_{w}=I_{0}\left(P_{y}, y, h\right)+\varepsilon I_{1}\left(P_{y}, y, W, h\right)+\ldots
\]

является аналитической функцией периода $2 \pi$ по $W, a$
\[
I_{0}\left(P_{y}, y, h\right)=P\left(y, P_{y}, h\right) .
\]

Из проведенного ранее рассмотрения одномерных систем следует, что $P$ и $\varepsilon x_{1}$ будут вечными инвариантами. Различные способы приведения к гамильтониану рассмотренного вида, который в пределе становится адиабатическим инвариантом, могут быть осуществлены с помощью методов теории возмущений в нелинейных системах.

Контопулос [6] применил методы теории возмущений к построению третьего интеграла (который строится последовательными приближениями с учетом выполнения условий обращения в нуль скобок Пуассона) и к нахождению адиабатического инварианта в системе
\[
\dot{y}_{k}=H_{x_{k}}, \quad \dot{x_{k}}=-H_{y_{k}}
\]

с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} y_{1}^{2}+\omega_{2}^{2} y_{2}^{2}\right)-\varepsilon y_{1} y_{2}^{2} \sin \omega t=H_{0}+\varepsilon H_{1} .
\]

Эта работа, помимо очень интересных аналитических построений, содержит также численную проверку результатов. Основной вывод работы: если нет резонанса между частотами $\omega_{1}, \omega_{2}$, го оба метода дают одинаково хорошие результаты. Тем не менее, если числа $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ почти соизмеримы, то адиабатический_инвариант очень быстро (по времени) вырождается и в случае точной соизмеримости пропадает. С другой стороны, в этом же случае соответствующим образом модифицированный третий интеграл можно найти, так что он будет оставаться интегралом в очень высоком приближении (по времени). Как говорит Контопулос, несправедливость свойства адиабатической инвариантности при резонансе была известна еще по очень давним работам, на которые в работе [37] ссылается Зоммерфельд, однако в современной литературе этот факт упоминается редко.

Мы закончим этот раздел напоминанием, что в настоящей тлаве почти не говорилось о теории существования инвариантных многообразий возмущенных систем, которая построена в работах Левинсона [21], Дилиберто [8, 9], Кинера [19] и Лоуда [22]. Однако отличное описание результатов этих работ можно найти в замечательной работе Хейла [11]. Основная идея заключается в рассмотрении автономной системы
\[
\dot{x}=f(x), \quad x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

с периодическим решением
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}_{0}(t)=\boldsymbol{p}_{0}\left(t+T_{0}\right) .
\]

В $n$-мерном пространстве $(x, \theta)$ цилиндр $x=p_{0}(\theta)$ является инвариантной поверхностью, т. е. каждое решение, принадлежащее цилиндру в какой-то момент времени, будет оставаться на нем все время.
Рассмотрим возмущенную систему
\[
\dot{x}=f(x)+\varepsilon \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, t, \varepsilon),
\]

где $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}, \varepsilon)=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, t+T, \varepsilon)$. Можно показать, что если $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ и $g(x, t, \varepsilon)$ принадлежат по крайней мере классу $C^{3}$, то при достаточно малых $\varepsilon$ в пространстве $(x, t)$ существует поверхность $x=p(t, \theta, \varepsilon) \in C^{1}$, лежащая вблизи дилиндра $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}_{0}(\theta)$ и являющаяся инвариантной поверхностью возмущенной системы. Также справедливо утверждение, что функция $\boldsymbol{p}(t, \theta, \varepsilon)$ пмеет период $T$ по $t_{0}$ п период $T_{0}$ по $\theta$, а $\boldsymbol{p}(t, \theta, 0)=p_{0}(\theta)$.

Распространение этих результатов на случай условно-периодических (по $t$ ) функций $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}, \varepsilon$ ) было осуществлено Хейлом [11]. Результат будет аналогичным, с тем только замечанием, что функция $\boldsymbol{p}(t, \boldsymbol{\theta}, \varepsilon)$ также условно периодична по $t$. Плисс [30] $\left.{ }^{1}\right)$ получил условие существования инвариантных многообразий, которое не зависит от понятия возмущения, т. е. для систем вида
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, t), \quad \dot{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, t),
\]

где $x, y$ – векторы размерности $n$. Основное предположение: $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in C^{1}$ в некоторой области $\left\{\boldsymbol{x} \in R^{n}, t \in R,\|\boldsymbol{y}\| \leqslant K\right\}$ и $\boldsymbol{X}, \dot{\boldsymbol{Y}}$
1) См. также книгу [29*] (nрим. перев.).

имеют период $T$ по $t$. При доказательстве используется сведе́ние задачи к исследованию сжимающих отображений, а затем к доказательству существования неподвижной точки. Аналогичный способ исследования интенсивно использовался Картсатосом в работе [15]. В этой работе можно вайти много относящихся к рассматриваемому вопросу литературных ссылок, но ее обсуждение здесь проводиться не будет.