До сих пор мы имели дело с задачей построения решения в окрестности положения равновесия, начиная эти построения с линейных гармонических колебаний, соответствующих нормальным колебаниям. Теперь мы займемся более общей задачей, т. е. будем считать исходный осциллатор нелинейным в том смысле, что частоты зависят от амплитуд. Как упоминалось выше, некоторые аспекты этой проблемы рассмотрел Пуанкаре [68], осуществивший идеи, которые предложил Бохлин [13].

Изучение нелинейного осциллятора и выяснение эффектов влияния на него возмущений погребует точного знания всех особых точек фазового пространства, определения сепаратрис, седел и центров, а также областей колебательного или вращательного характера движения. Разумеется, все эти понятия широко известны, и их подробное описание можно найти, например, в работах $[64,74,54,65,28,2]$. Эти книги являются основными также и для большинства других обсуждаемых в этой главе вопросов, хотя работы Мозера [51-63] напболее близки к излагаемым здесь вопросам. Ряд ценных замечаний относительно рассматриваемых вопросов содержится в работе Кинера [52], но, к сожалению, она малодоступна.

Рассмотрим сначала автономную гамильтонову систему, определяемую гамильтонианом $H(q, p)$ в некоторой области $D$ фазового пространства. В области $D$ функция $H$ имеет конечное число особых точек (типа центр или седло). Здесь сепаратрисы определяются просто как траектории, соединяющие (в предельном смысле) две седловые точки, которые могут в конечном счете совпасть. Во внутренней по отношению к сепаратрисе области всегда существует центр. Для систем с числом степеней свободы, большим единицы, некоторые из этих понятий сразу же обобщить нельзя. В предыдущих параграфах мы описали получение решений в виде рядов (в конечном счете, только формальных), описывающих движение з окрестности устойчивого положения равновесия. Здесь мы до некоторой степени расширим задачу, получив формальные ряды, описьвающие решение в окрестности центра (т. е. в колебательной области) и в окрестности вращательного движения (т. е. во вращательной области). В первом случае одна или более угловых переменных ограничены теми или иными пределами в общем интервале, меньшем чем $2 \pi$, в то время как во втором случае все угловые переменные неограничены.

Мы предположим, что гамильтониан можно разбить на конечное или счетное число частей, т. е.
\[
H=H_{0}+H_{1}+H_{2}+\ldots,
\]

где для простоты будем считать $H_{k}=O\left(\varepsilon^{k}\right)$, хотя наличие «малого параметра» $\varepsilon$ несущественно. Тем не менее, его использование упрощает вывод многих формул. Мы также будем рассматривать следующие предположения.

a) Движение с функцией Гамильтона $H_{0}$ является интегрируемым и, следовательно, если надо, ее можно записать в виде функции только импульсов (или координат).
б) Функции $H_{k}(k>0)$ состоят из конечного числа членов вида
\[
H_{k}=\sum_{v^{k}} A_{k}^{v^{k}}(\boldsymbol{p}) \exp i\left(v_{1}^{k} q_{1}+\ldots+v_{n}^{k} q_{n}\right) .
\]
в) Множества инвариантных многообразий систем уравнений с функциями Гамильтона $H$ и $H_{0}$ соответственно не сильно отличаются друг от друга. Другими словами, предполагается, что существует непрерывное преобразование, переводящее одно множество в другое и такое, что при $\varepsilon \rightarrow 0$ оно становится тождественным.

Последнее предположение, по существу, совпадает с утверждением теоремы Колмогорова, в которой, разумеется, должна быть еще исключена линейная зависимость между частотами движения, соответствующего гамильтониану $H_{0}$. Так как эти частоты предполагаются непрерывно зависящими от амплитуд, то можно исключить такое множество начальных условий, которое приводит к различного рода «неприятностям». Вопрос теперь заключается в том, как можно описать движение в окрестности резонансной области (критической точки).

Сначала мы изучим системы с одной степенью свободы, т. е. системы, которые в принципе сводятся к квадратурам. Следовательно, это рассмотрение служит только для целей дальнейшего обобщения результатов.
Итак, пусть дан гамильтониан
\[
H=H_{0}(p)+H_{1}(p, q)+H_{2}(p, q)+\ldots
\]

со скалярными величинами $p, q$, а $H_{k}=O\left(\varepsilon^{k}\right), H_{k}=\sum_{
abla} A_{k}^{v}(p) \exp (i v q)$. Предполагается, что функция $H$ аналитична в некоторой области $D$ фазового пространства $(p, q)$ и что при $\varepsilon=0$ имеем $\partial^{k} H_{0} / \partial p^{k}=0$ при $p=p_{0} \in D$ п $k=1, \ldots, m$ ( $m$ – конечное число).

Мы также предположим, что при $\varepsilon
eq 0$ гамильтониан имеет точку минимума, т. е. можно решить систему
\[
\frac{\partial H(p, q)}{\partial q}=0, \quad \frac{\partial H(p, q)}{\partial p}=0,
\]

и ее гессиан будет отличен от нуля в окрестности некоторого решения этой системы (5.5.1). В силу сделанных предположений система (5.5.1) имеет по крайней мере два решения: максимум и минимум в области $D^{1}$ ). Пусгь точка минимума определяется
${ }^{1}$ ) Это следует из периодичности гамильтониана относительно $q$ (прим. перев.).

координатами ( $\bar{p}, \bar{q}$ ), где
\[
\bar{p}=p_{0}+\varepsilon p_{1}+\varepsilon^{2} p_{2}+\ldots, \quad \varepsilon \bar{q}=\varepsilon q_{1}+\varepsilon^{2} q_{2}+\varepsilon^{3} q_{3}+\ldots
\]

Из аналитичности функции $H$ в области $D$ следует, что существует такое $\delta=\delta(H, \varepsilon)>0$, что при $\left|p-p_{0}\right| \leqslant \delta, p \in D$, и $0 \leqslant$ $\stackrel{\leqslant}{\leqslant} q<2 \pi$ выполнены неравенства
\[
\left|\frac{\partial^{k} H_{0}(p)}{\partial p^{k}}\right| \leqslant \Omega_{0} \varepsilon^{(m+1-k) s},
\]

где $s>0$, а $\Omega_{0}$ не зависит от $\varepsilon, \delta$ и $k=1, \ldots, m$.
Наша цель заключается в исключении из гамильтониана переменной $q$, т. е. в приведении $к$ нормальной форме в окрестности особой точки $p_{0}$. Эта цель будет еще больше расширена в следующих параграфах.

Пусть каноническое нормализующее преобразование определяется производящей функцией
\[
S(P, q)=P q+\Delta S(P, q),
\]

где функция $\Delta S$ определена в некоторой области $\Omega$ по $P$ при $0 \leqslant q<2 \pi$ и имеет порядок $O\left(\varepsilon^{r}\right)(r>0)$. Величина $r$ зависит от $s$, от порядка $\alpha$ наинизших членов в $H$, содержащих угловую переменную $q$, и от $m$. Предполагается также, что новый гамильтониан $K(P)$ может быть записан в виде
\[
K(P)=K_{0}(P)+\Delta K(P),
\]

где функция $\Delta K(P)$ определена в области $\Omega$ и имеет некоторый порядок $O\left(\varepsilon^{\beta}\right) \quad(\beta>0)$. Все вещественные числа $s, r, \beta$ априори неизвестны и должны быть определены по числам $\alpha, m$.
Уравнение энергии
\[
H\left(P+\frac{\partial \Delta s}{\partial q}, q\right)=K(P),
\]

разложенное в ряд Тейлора, дает
\[
\begin{array}{c}
H_{0}(P)+\sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} H_{0}(P)}{\partial P^{k}}\left(\frac{\partial \Delta S}{\partial q}\right)^{k}+\ldots \\
\ldots+H_{1}(P)+\sum_{k=1} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} H_{1}(P, q)}{\partial P^{k}}\left(\frac{\partial \Delta S}{\partial q}\right)^{k}+\ldots \\
\ldots+H_{2}(P)+\sum_{k=1} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} H_{2}(P, q)}{\partial P^{k}}\left(\frac{\partial \Delta S}{\partial q}\right)^{k}+\ldots=K_{0}(P)+\Delta K(P),
\end{array}
\]

так что, как и обычно, $K_{0}(P)=H_{0}(P)$. Следующее приближение в $S$ (в $\Delta S$ ) надо использовать для уничтожения $q$ в $H_{\alpha}(P, q)$, если предполагается, что все функции $H_{1}, \ldots, H_{\alpha-1}$ не зависят от $q$. В силу сделанных предположений получаем, что прі достаточно малых $\varepsilon$ функция $\Delta S$ должна удовлетворять уравнению
\[
\sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} H_{0}(P)}{\partial P^{k}}\left(\frac{\partial \Delta S}{\partial q}\right)^{k}+H_{\alpha}(P, q)=K_{\alpha}(P),
\]

где $\alpha \geqslant 1, m \geqslant 1$ – заданные целые числа. Кроме того, положтм
\[
\Delta K=K_{1}(P)+\ldots+K_{\alpha-1}(P)+K_{\alpha}(P)+\ldots,
\]

где
\[
K_{j}(P)=H_{j}(P) \quad(j=1, \ldots, \alpha-1) .
\]

Из уравнения (5.5.6) следуют соотношения
\[
(m+1-k) s+k r=\alpha \quad(k=1, \ldots, m),
\]

так что необходимо выполнение равенства
\[
r=s=\frac{\alpha}{m+1},
\]

которое является решением уравнений (5.5.8) для всех $k$.
Эті условия определяют то, что мы называем областью колебаний, т. е. область, содержацую центр и ограниченную замкнутой сепаратрисой.

В случае $\alpha=1$ и $m=1$ мы получаем классический результат $r=s=1 / 2$, т. е. разложения $S(P, q)$ п $K(P)$ ведутся по степеням квадратного корня из малого параметра $\varepsilon$. Идея разложения по степеням квадратного корня очень стара и, как уже упоминалось выше, вытекает из теории Вейерштрасса об умноженип степенных рядов. Она естественным образом появцлась из работ Бохлина [13] о колебательных двнжениях. В наших работах мы в основном полагали, что вблизи $p_{0}$ функция $H$ ведет себ̈я как
\[
H \sim\left(p-p_{0}\right)^{m+1 f}(p, q)+\varepsilon g(p, q),
\]

где $f\left(p_{0}, q\right)
eq 0$. В классической постановке $m=1$.
Хотя это и не является необходимым, мы опшшем простейший и в действительности наиболее общий стучай $\%=1, m=1$, т. е. можно записать
\[
\begin{array}{l}
S=P q+S_{1 / 2}(P, q)+S_{1}(P, q)+\ldots \\
K=H_{0}(P)+K_{1}(P)+K_{3 / 2}(P)+K_{2}(P)+\ldots
\end{array}
\]

так как легко проверить, что $K_{0}(P)=H_{0}(P), K_{1 / 2}(P)=0$. Из (5.5.5) следует, что уравнение гервого порядка для определения функций $S_{1 / 2}$ и $K_{1}$ пмеет вид
\[
H_{0}^{\prime} \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q_{q}} \div \frac{1}{2} H_{0}^{\prime \prime}\left(\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}\right)^{2}+H_{1}(P, q)=K_{1}(P),
\]

где штрихи означают дифференцирование по $P$.
Для определения функции $K_{1}(P)$ мы потребуем, чтобы точка $(\bar{p}, \bar{q})$ была неподвижной точкой шреобразования, определяемого функцией $S$. Так как функция $H_{1}(P, q)$ непрерывна и периодична по $q$, то мы можем найти $K_{1}$ в виде
\[
K_{1}(P)=\min _{\{q\}} H_{1}(P ; q)=H_{1}\left(P \cdot \bar{q}_{1}(P)\right),
\]

где функция $\bar{q}_{1}(P)$ такова, что
\[
\left.\frac{\partial H_{1}}{\partial q}\right|_{q=\bar{q}_{1}}=0,\left.\quad \frac{\partial^{2} H_{1}}{\partial q^{2}}\right|_{q=\bar{q}_{1}}>0
\]

для всех $P \in \Omega$. Ясно, что так как функция $H$ аналитична, то $\bar{q}-\bar{q}_{1}(\bar{p})=O(\varepsilon)$ пли $\bar{q}-\bar{q}_{1}\left(p_{0}\right)=O(\varepsilon)$. Пусть
\[
F_{1}(P, q)=H_{1}(P, q)-K_{1}(P),
\]

так что, очевидно, функция $F_{1}(P, q)$ положительна при $P \in \Omega$ и $0 \leqslant q<2 \pi$, за исключением значений $q=\bar{q}_{1}(P)$, при которых она равна нулю. Фунћция $S_{1 / 2}$ теперь определяется из уравнения Бохлина
\[
H_{0}^{\prime} \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}+\frac{1}{2} H_{0}^{\prime}\left(\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}\right)^{2}+F_{1}(P, q)=0 .
\]

Прп $q=\bar{q}_{1}(P)$ п $P=p_{0}$ нолучаем, что $\partial S_{1 / 2} / \partial q=0$. Так как в этом прибллижении
\[
p=P+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}, \quad Q=q+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial P},
\]

то из предыдущего равенства находим, что рассматриваемая неподвижная точка является центром, если $S_{1 / 2}$ удовлетворяет равенству $\partial S_{1 / 2} / \partial P=0$ при $P=p_{0}$.
Для простоты перепишем уравнение (5.5.12) в виде
\[
A \frac{\partial W}{\partial q}+\frac{1}{2} B\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^{2}+F(P, q)=0,
\]

где $F(P, q)>0, F\left(P, \vec{q}_{1}(P)\right)=0$, а $A=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$ и $B$ ограничено снизу при малом $\varepsilon$. При этих условиях получаем, что, так как функция $F(P, q)$ является периодической по $q$, то она является также четной функцией этой переменной, т. е. $F(P, q)=$ $=F(P,-q)$ и, следовательно, ее можно записать в виде
\[
F=\sum_{j=1}^{\infty} \alpha_{j}(P) \sin ^{2 j} q .
\]

Пусть всегда выполнено равенство
\[
\frac{A^{2}}{2 B} \frac{1}{\sigma^{2}}=\max _{\{q\}} F(P, q) .
\]

Тогда функция $\sigma$, зависящая от $P$, больше нуля. Функция
\[
\Psi(P, q)=\frac{2 B \sigma^{2}}{A^{2}} F(P, q)
\]

такова, что
\[
\begin{array}{cc}
\max _{\{q\}} \Psi(P, q)=1 & (q= \pm \pi / 2), \\
\min _{\{q\}} \Psi(P, q)=0 & (q=0), \\
\Psi(P, q)=\Psi(P,-q)
\end{array}
\]

и она, следовательно, может быть записана в виде
\[
\Psi(P, q)=\sum_{j=1}^{\infty} \beta_{j}(P) \sin ^{2 j} q,
\]

где
\[
\beta_{j}=\frac{2 B \sigma^{2}}{A^{2}} \alpha_{j}(P) \text {. }
\]

Будем предполагать, что
\[
\beta_{1} \approx 1, \quad\left|\beta_{j}\right|<1 \quad(j \geqslant 2) .
\]

Исключая тогда случай $A=0$, получим
\[
\frac{\partial W}{\partial q}=R(P)\left\{-1 \pm\left[-\frac{1}{\sigma^{2}} \Psi(P, q)\right]\right\}
\]

где $R=A / B$. Мы также предположим, что $A>0$. Случай $A<0$ соответствует аналогичной формуте с заменой $A$ па $|A|$ и соответствующей заменой знаков.
Очевидно, возможны следующие случап:
$\sigma<1-$ колебания,
$\sigma>1$ – вращения,
$\sigma=1$ – сепаратриса или себ.лоеъе точки.

Так как в последнем случае требуется выполнение точного равенства, то он имеет значение только в предельном цриближении к $S$, и то, если ряд для $S$ сходится.

Если $\sigma<1$, то функция $\Psi(P, q)$ не может достичь своего предельного значения (единицы), т. е. существуют такие значения $q=q_{1}, q=q_{2}$, что
\[
\Psi\left(P, q_{1}\right)=\Psi\left(P, q_{2}\right)=\sigma^{2},
\]

и в рассмотренном выше случае $q_{1}=-q_{2}$. Значения $q_{1}$ и $q_{2}$ являются граничными точками колебаний. Если $\sigma>1$, то функдия $\Psi(P, q)$ принимает все возможные значения, угол $q$ неограничен и $\dot{q}$ имеет (в среднем) постоянный знак.

Теперь введем модуль $k=\min \left(\sigma, \sigma^{-1}\right)$ п эллиптический интеграл $u$, определяемый формулой
\[
\Psi(P, q)=k^{2} \operatorname{sn}^{2} u=\sigma^{2} \operatorname{sn}^{2} u \quad \text { (колебания) }
\]

или
\[
\Psi(P, q)=\operatorname{sn}^{2} u \quad \text { (вращения), }
\]

где $\operatorname{sn} u=\operatorname{sn}(u, k)$ – эллидтическая функция Якоби sn с модулем $k$ и амплитудой $\varphi$, которая определяется формулой
\[
\operatorname{am} u=\varphi_{L}=\arcsin \left(\frac{1}{\sigma} \sqrt{\Psi}\right) \quad \text { (колебания) }
\]

или формулой
\[
\operatorname{am} u=\varphi_{C}=\arcsin (\sqrt{\Psi}) \quad \text { (вращения). }
\]

В обоих случаях максимальное значение амплитуды равно $\pi / 2$ и совпадает с $q=q_{1}$ или $q=q_{2}$ (колебания) или с $q=\pi / 2$ (вращения). Переменная $u$ совершает полный оборот с периодом $4 K$, где $\dot{K}$ – полный эллиптический интеграл первого рода $u\left(\frac{\pi}{2}, k\right)$. Модуль $k$ зависит от $P$.
Уравнение для $W$ теперь можно переписать в виде
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)_{L}=R(-1+\operatorname{cn} u)
\]

или
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)_{C}=R(-1+\operatorname{dn} u)
\]

в случае колебаний и вращений соответственно. Знаки плюс или минус, разумеется, несущественны, так как функция сп $u$ изменяет знак через каждую половину периода $2 K$, при вещественных значениях $u$ функция $\operatorname{dn} u$ всегда положительна.

Рассмотрим случай, когда $\Psi$ – четная функция и $q_{2}=-q_{1}$, т. е. имеются симметричные колебания относительно колебательного центра. Отсюда следует, что
\[
\Psi_{L}(P, q)=\sigma^{2} \operatorname{sn}^{2} u=\sum_{j=1}^{\infty} \beta_{j}(P) \sin ^{2} q
\]

и
\[
\left(\sin ^{2} q\right)_{C}=\sum_{j=0}^{\infty} A_{j} \operatorname{sn}^{2(2 j+1)} u .
\]

В обоих случаях мы можем написать
\[
\sin ^{2} q=\sum_{j=0}^{\infty} B_{j} \operatorname{sn}^{2(2 j+1)} u,
\]

где $\left|B_{j}\right|<B_{0}(j \geqslant 1), B_{0} \approx \sigma^{2}$ в случае котео́аний и $B_{0} \approx 1$ в случае вращений. Мы также находим, что
\[
\sin q=\sum_{j=0}^{\infty} C_{j} \operatorname{sn}^{4 j+1} u,
\]

где $C_{0}(L)=\sigma$ и $C_{0}(C)=1$. Кроме того, $\left|C_{j}\right|<C_{0}$ при $j \geqslant 1$. Выражение для $\cos q$ зависит от типа движения. В общем случае мы имеем
\[
\cos ^{2} q=1-\sin ^{2} q=1-\left(B_{0} \operatorname{sn}^{2} u+B_{1} \operatorname{sn}^{6} u+\ldots\right) .
\]

В случае колебаний $B_{0} \approx \sigma^{2}=k^{2}$, так что добавляя и вычитая величину $\sigma^{2} \operatorname{sn}^{2} u$, находим
\[
\cos ^{2} q=\operatorname{dn}^{2} u-\left[\left(B_{0}-\sigma^{2}\right) \operatorname{sn}^{2} u+B_{1} \operatorname{sn}^{6} u+\ldots\right],
\]

и все коаффициенты $\left|B_{0}-\sigma^{2}\right|,\left|B_{1}\right|, \ldots$ малы по сравнению с единицей. Так как $k=\sigma<1$, то из выпшанных выше рядов мы получим сходящееся выражение
\[
(\cos q)_{L}=\operatorname{dn} u\left[1+\sum_{j=1}^{\infty} D_{j} \operatorname{sn}^{2 j} u\right],
\]

где $\left|D_{j}\right|<1$.
В случае вращений $B_{0} \approx 1$, так что добавляя и вычитая шз $\cos ^{2} q$ ветичину $\operatorname{sn}^{2} u$, находим
\[
\cos ^{2} q=\operatorname{cn}^{2} u-\left[\left(B_{0}-1\right) \operatorname{sn}^{2} u+B_{1} \operatorname{sn}^{6} u+\ldots\right],
\]

где коэффициенты $\left|B_{0}-1\right|,\left|B_{1}\right|, \ldots$ малы по сравнению с
ериницей. Следовательно,
\[
(\cos q)_{C}=\operatorname{cn} u\left[\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} E_{i j} \operatorname{tn}^{2 i} u \operatorname{sn}^{4 j} u+1\right] .
\]

где $\left|E_{i j}\right|<1$.
Наконец, рассматривая ряды Фурье для $\operatorname{sn} u, \operatorname{cn} u, \operatorname{tn} u, \operatorname{dn} u$, можно записать функции $\cos q, \sin q$ и $\Psi(P, q)$ в виде рядов Фурье по $u$. Функция $q=q(u)$ легко получается с помощью выписанных выше соотнопений и тождества
\[
\frac{d}{d u}(\sin q)=\cos q \frac{d q}{d u} .
\]

В случае колебаний находим
\[
\frac{d q}{d u}=\operatorname{cn} u \cdot \sum_{j=1}^{\infty} F_{j} \operatorname{sn}^{2 j} u
\]

где $F_{0} \approx \sigma$. Отсюда следует выражение
$W_{L}=$
$=-R q+R \int \operatorname{cn} u\left(\frac{d q}{d u}\right)_{L} d u=-R_{q}+R \sum_{j=0}^{\infty} F_{j} \int \operatorname{sn}^{2 j} u \operatorname{cn}^{2} u d u$,
которое в общем случае состоит из эллиптических интегралов, представленных сходящимися рядами Фурье относительно $\sin (j \pi u / 2 K)$ плюс линейный член по $u$. Аналогичный характер имеет связь между $q_{L}$ п $u$, т. е.
\[
q_{L}=\sum_{j=0}^{\infty} F_{j} \int \operatorname{cn} u \operatorname{sn}^{2 j} u d u,
\]

где $F_{0} \approx \sigma$. Существенно, что переменная $p$ находится из соотношения
\[
p=P+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q} \div O(\varepsilon),
\]

и в случае колебаний
\[
p=P+R(-1+\operatorname{cn} u)=P-\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}+\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}} \mathrm{cn} u,
\]

так что $p$ колеблется около среднего значения
\[
\bar{p}=P-\frac{H_{0}^{\prime}(P)}{H_{0}^{\prime \prime}(P)}
\]

и достигает максиматьного значения при $\eta=0$ пи $z=4 K$, п минимального значеншя при $u=2 K$.
В случае вращений находим
\[
\left(\frac{d q}{d u}\right)_{C}=\operatorname{dn} u \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} G_{i j} \operatorname{tn}^{2 i} u \operatorname{sn}^{4 j} u,
\]

где $G_{00} \approx 1$ и $\left|G_{i j}\right|<1$ для всех других индексов. Следовательно, имеем выражение
\[
W_{c}=-R q+R \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} G_{i j} \int \operatorname{tn}^{2 i} u \operatorname{sn}^{4 j} u \operatorname{dn}^{2} u d u .
\]

которое также состоит из эллиптичеких интегралов, предетавляемых рядами Фурье по $u$. В этом случае находим
\[
p=P-R(1-\operatorname{dn} u)=P-\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}+\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}} \operatorname{dn} u,
\]

п среднее значение $p$ определяется формулой
\[
\bar{p}=P-\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}+\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}} \frac{1+\sqrt{1-k^{2}}}{2},
\]

где
\[
k^{2}=\frac{1}{\sigma^{2}}=\left[\Psi\left(P, q_{1}\right)\right]^{-1}=\left[\Psi\left(P, q_{2}\right)\right]^{-1} .
\]

Максимальное значение $p$ соответствует величине $u=0,2 K, 4 K$ $(q=0)$, а минимальное – $u=K, 3 K$ ( $q=q_{1}$ или $\left.q=q_{2}\right)$.