Методы усреднения используются уже довольно давно, и к настоящему времени мы накопили опыт их применения п приобрели необходимую интуицию. Они дают удивительно хорошие результаты, которые, вообще говоря, даже лучше, чем можно было бы ожидать исходя из чисто математических оценок. Как бы ни была хороша оценка для общего случая, ясно, что в конкретной задаче может быть получена лучшая оценка. Другим аспектом рассматриваемого вопроса, особенно в задачах, где угловые частоты могут быть получены непосредственно из наблюдений, является то, что значительно более хороший результат получается, если такне частоты (их чиеленные значения) используются в аналитической теории. Тогда периодпческие колебания около некоторых средних значений, полученные в виде аналитических выражений, оказываются в хорсшем согласии с наблюдениями. Вероятно – это одна из причин успеха теории движения Луны Хилла – Брауна по сравнению с теорией Делоне. Рассмотренне вопросов такого рода показывает, что эта старая проблема остается открытой до сих пор, и никакие имеющиеся в нашем распоряженни «современные» методы не дают возможности вычислить действительные частоты нелинейной системы. Для приложеннй эта проблема остается нерешенной, так как в приближениях рядами, сходящимися или только формальными, может быть ьычислено лишь конечное и, вообще говоря, очень небольшое количество членов. Пока нельзя найти способа выражения общего члена и суммы этих рядов. В прошлом этого можно было достичь только для тривиальных примеров. Таким образом, мы обращаемся к нелинейному методу решения. Можно добавить, что ускоренные методы сходимости, типа метода Ньютона, которые были введены Колмогоровым, привели к реальному прогрессу в достижении этой цели. Но даже здесь известны случаи, когда метод Ньютона не дает квадратисной сходимости: должны быть удовлетворены некоторые специальные условия. Кроме того, до сих пор были развиты только численные приложения этого метода. В численном анализе существуют также методы решения дифференциальных уравнений, которые в конечном счете дают сходимость лучше квадратичной. В основном они известны под названием методов Эйткена. Например, если при сведении интегрирования к задаче о неподвижной точке имеются три после-

ЗАКЈЮЧЕНИЕ
305
довательных приближения к точке, т. е. $x_{n-1}, x_{n}, x_{n+1}$, то отличная оценка неподвижной точки (или корня соответствующего уравнения) дается формулой
\[
x_{n+2}=x_{n+1}-\frac{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{2}}{x_{n+1}-2 x_{n}+x_{n-1}} .
\]

Это соотнопение точно оценивает сумму геометрической прогрессии в том смысле, что если взягь $x_{n-1}=1, x_{n}=1+\varepsilon, x_{n+1}=$ $=1+\varepsilon+\varepsilon^{2}$, то получим $x_{n+2}=1 /(1-\varepsilon)$. Этот и другие интересные методы описываются в работе Фиджина [7]. Как можно использовать такие ускоренные методы в аналитической теории,это открытый вопрос.

Существуют другие методы, кроме тех, которые используют продедуру усреднения, однако они не стали такими же популярными, как эти последние при действительном применении методов к решению задач с помощью стеденных рядов по (малому) параметру. Методы усреднения просты, наглядны, понятны и, что самое главное, систематизированы. Это означает, что они легко переносятся на автоматические способы решения (с помощью итераций) на электронной вычислительной машине с алгебраическим символьным манипулятором. Такие машинные мащинуляторы, специально приспособленные для метода усреднения, были созданы в работах Депри и Рома [23, 24, 30.2,31.2] и Джеффриса [14]. Кроме того, в Смитсоновской астрофизической обсерватории в Кембридже (Массачусетс) Ж. Черняк [16*] создал специальный язык, основанный на системе FORMAC и приспособленный для решения аналогичных задач ${ }^{1}$ ).

В работе [2] Арнольд анализировал некоторые нерешенные проблемы, и, насколько нам известно, они остаются нерешенными и сегодня. Хотя большие успехи были сделаны при качественном изучении динамических систем, по-прежнему очень мало известно о двумерных системах и еще меньше для многомерных случаев. Первый вопрос, поднятый Арнольдом, связан с устойчивостью положения равновесия эллиптического тиша в системах с числом степеней свободы, большим двух. Аналогичную трудность представляет собой вопрос об обобщении теоремы Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке на случай высоких размерностей системы. Кроме того, Арнольд имел дело с устойчивостью по мере для динамических систем, которая связана с тем свойством, что большинство изменений начальных условий сохраняет
1) См. монографию [17*] п другие работы авторов из Института Теоретической Астрономии АН СССР, а также работу [18*], носвященную использованию ЭВМ для исследования поведения гамильтоновых систом вблизи шоложений равновесия (прим перев.).

условно перподический тип решения ${ }^{1}$ ). С другой сторовы, так как промежутки между инвариантными торами для случая размерности, большей двух, являются связанными между собой и неограниченными, то траектория, проходящая между двумя инвариантными торами, не обязательно будет оставаться блізкой к одному из них или являться ограниченной,- этот слутай Арнольд, назвал топологической неустойчивостью ${ }^{2}$ ). Вопрос заключается в том, является ли такая ситуадия типичной для динамических (гамильтоновых) систем с более чем двумя стешенями свободы ${ }^{3}$ ). Арнольд также упоминает тот факт, что нет хотя бы приближенного доказательства существования зон неустойчивости (хоатическое движение) Пуанкаре в окрестности точки гиперболического тшпа. Мы хотим напомнить, что уже после этого Денби [6] для конкретной динамической системы показал, что в действительности такие зоны существуют. Хотя в его работе используются численные методы псследования, тем не менее, без сомнения, ясно, что такие зоны могут и не существовать.

Другой задачей является задача о больших возмущениях. Если рассматривать для сильно возмущенных систем псходный вопрос о существовании инвариантных торов, то можно видеть, что никакого прогресса в его решенпи нет, хотя Контопулос [5], исходя из полуаналитической точки зрения, получил очень интересные результаты, связанные главным образом с выводом о разрушении в конечном счете третьего пнтеграла движения.

Следующим и по трудности, и по важности вопросом является вопрос об обобщении теории Флоке – Јяпунова на случай условно-периодических систем. Если $\boldsymbol{y}$ – вектор размерности $n$, и дифференциальные уравнения для него $\dot{y}^{*}=\boldsymbol{Y}(y)$ имеют периодическое решение $\boldsymbol{y}=\overline{\boldsymbol{y}}(\omega t)$ с периодом $T=2 \pi / \omega$, а $\quad \boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y})
eq 0$ при всех $t$, то соответствующая система уравнений в вариациях имеет вид
\[
\delta \dot{y}=\frac{\partial Y}{\partial y}(\bar{y}(\omega t)) \delta y .
\]

В теории Флоке – Јяпунова устанавливается сущестование системы нормальных координат, в которых эта линейная система с периодическими коэффициентами сводится к линейной системе с постоянными коэффициентами. Другими словали, вводится такая угловая переменная $\theta$ и такой ( $n-1$ )-мерный вектор $\boldsymbol{x}$, что
1) Такая устойчивость называется устойчивостью для большинства начальных условий (данных) или устойчивостью по Арнольду (прим. перев.).
2) Этот әффект называют еще «диффузией Арнольда» (прим. перев.).
з) Об оденке скорости «диффузии Арнольда» в многомерных гамильтоновых системах см. работы Н. Н. Нехорошева [38*-41*] (прим. перев.).

существует преобразование
\[
y=\bar{y}(\theta)+F(\theta) x,
\]

тде $F-2 \pi$-периодическая матрица размерности $(n-1) \times n$. Это преобразование обладает следующими свойствами.
а) Уравнение $\dot{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y})$ переходит в уравнения
\[
\dot{\theta}=\omega+f(x, \theta), \quad \dot{x}=g(x, \theta),
\]

где $f(0, \theta)=g(0, \theta)=0$.
б) Соотношения $\theta=\omega t+\mathrm{const}, x=0$, определяют периодическое решение $\boldsymbol{y}=\overline{\boldsymbol{y}}(\omega t)$.
в) Матрица $\partial g(0, \theta) / \partial x=\Omega$, имеющая размерность ( $n-$ – 1) $\times(n-1)$, не зависит от $\theta$, так что вариационная система приводится к виду $\dot{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{\omega}, \delta \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{\Omega} \delta \boldsymbol{x}$. Собственные числа матриды $\Omega$ являются характеристическими показателями Флоке – Јяпунова.

Теперь вопрос заключается в обобщении этих результатов на случай, когда уравнения $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y})$ имеют условно-периодическое решение $\boldsymbol{y}=\overline{\boldsymbol{y}}\left(\omega_{1} t, \ldots, \boldsymbol{\omega}_{m} t\right)$, где вектор $\boldsymbol{y}$ имеет размерность $n$, а $m \leqslant n$ или $m>n$. Точнее, мы хотим знать, существует ли такая система нормальных координат $\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{m}\right), \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{p}$ ), что уравнения $\dot{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y}\rangle$ приводятся к виду
\[
\dot{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{x}), \quad \dot{\boldsymbol{x}}=G(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{x}),
\]

где $\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}-2 \pi$-периодические функции по каждой переменной $\theta_{k}$, а $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{\theta}, 0)=\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{m}\right)=$ const и $\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\theta}, 0)=0$. Условво-периодическое решение $\bar{y}(\omega t)$ переходит в решение $\theta_{k}=$ $=\omega_{k} t+$ const, $x=0$, а система уравнений в вариациях прпобретает вид
\[
\dot{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{x}), \quad \delta \dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial G}{\partial \boldsymbol{x}}(\boldsymbol{\theta}, 0) \delta \boldsymbol{x},
\]

где $\partial \boldsymbol{G}(\boldsymbol{\theta}, 0) / \partial \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Omega}$ – постоянная матрида размерности $p \times p$. Собственные числа матрицы $\Omega$ в этом случае были бы обобщенными показателями Флоке – Ляпунова для условно-периодического ренения $\overline{\boldsymbol{y}}(\omega t)$. С другой стороны, если сразу же дана система с этими свойствами, т. е. с самого начала известны нормальные координаты, то эквивалентной задачей является задача определения инвариантного многообразия $\boldsymbol{x}=0$. Таким многообразием, очевидно, являются торы размерности $m$, погруженные в $(p+m)$-мерное пространство, с угловыми кординатами $\theta_{1}, \ldots, \theta_{m}$ на них. Собственные числа $\Omega_{1}, \ldots, \Omega_{p}$ матрицы $\Omega$ и компоненты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{m}$ вектора $\omega$ являются характеристическими числами Мозера [19], а все $\omega_{k}$ по предположению являются рационально независимыми.

В таком обобщенном случае основное, что надо доказать, это – приводимость вариационной системы для условно-периодического решения. ІІри $n=1$ и $m \geqslant 2$ (условно-периодические решения одномерной системы) такая приводимость при некоторых условиях была показана, однако об остальных случаях $(n>1)$ ничего не известно. (См. работы Гельмана [8] и Андриановой [1], цитированные Арнольдом.)

Другой важной проблемой, упомянутой несколько выше, является изучение совокушности движений в окрестности положения равновесия. Для неканонических систем приводимость к нормальной форме была показана Зигелем [26], однако, как уже говорилось, для канонических систем необходимые предположения не могут быть вышолнены. Общий случай изучения совокупности движений в окрестности периодического решения также является открытым вопросом для канонических систем. Он обсуждался в работе Зигеля [27], но остался нерешенным. Наиболее общей формой этой проблемы является грандиозная задача изучения совокупности движений в окрестности условно-периодического решения. Важные результаты в этой области были получены в работе Белаги [3]. Эта проблема, представленная Мозером [19] как задача о сохранении условно-периодических репений, уже обсуждалась выше. Его результаты похожи на результаты, полученные Белагой, главную теорему которого мы приводим ниже.
Т еорем а. Рассмотрим систему уравнений
\[
\dot{x}=\Lambda x+f(x, y), \quad \dot{y}=\omega+g(x, y),
\]

где $\boldsymbol{x}$ – вектор размерности $n, \boldsymbol{y}$ – вектор размерности $m$, матрица $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$, а $f=O\left(x^{2}\right), g=O(x)-2 \pi$-периодические функции относительно $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, \boldsymbol{y}_{m}\right)$. Рассмотрим бесконечное количество условий
\[
\begin{array}{c}
\left|\left(k_{1} \lambda_{1}+\ldots+k_{n} \lambda_{n}\right)-\varepsilon \lambda_{j}+\sqrt{-1}\left(l_{1} \omega_{1}+\ldots+l_{m} \omega_{m}\right)\right| \geqslant \\
\geqslant K\left[\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|k_{n}\right|+\left|l_{1}\right|+\ldots+\left|l_{m}\right|\right]^{-(m+n+1)}
\end{array}
\]

для некоторого $K>0, \varepsilon \in[0,1], j=1, \ldots, n$; все числа $k_{1}, \ldots$ $\ldots, k_{n}, l_{1}, \ldots, l_{m}$ – целье, а $\left|k_{1}\right|+\ldots+\left|\ddot{k_{n}}\right|>1+\varepsilon$. Тогда существует аналитическое преобразование
\[
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \quad \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}),
\]

приводящее данную систему $\boldsymbol{\kappa}$ виду
\[
\dot{\boldsymbol{X}}=\Lambda \boldsymbol{X}, \quad \dot{\boldsymbol{Y}}=\boldsymbol{\omega} .
\]

Функции $\boldsymbol{f}, \boldsymbol{\psi}-2 \pi$-периодические по $y_{1}, \ldots, y_{m}, \quad$ а $\boldsymbol{\varphi}=O\left(\boldsymbol{x}^{2}\right)$, $\psi=O(x)$.

Однако такая теорема неприменима к каноническим системам в том смысле, что системы, удовлетворяющие описанным выше условиям относительно $\boldsymbol{\omega}, \Lambda$, образуют множество нулевой меры в пространстве $(\omega, \Lambda)$. Результаты Мозера только показывают существование сходящегося метода построения условно-периодических движений. Вся совокупность таких движений неизвестна.

Ясно, что все эти вопросы могут быть обобщены на случай динамических систем с более чем одной независимой переменной или на случай функциональных дифференциальных уравнений. Об этих уравнениях см. работу Хейла [11].

Другой проблемой, представляющей большой интерес, является вопрос о лучшем понимании решения «вдали, вблизи п при выполнении резонапсных условий». Когда мы в действительности будем иметь процесс захвата в резонанс и какое наиболее предпочтительное определение резонанса системы? Для сильно возмущенных систем это – полностью открытый вопрос. Наличие диссппативных сил имеет здесь большое значение, но может іл не быть решающим фактором при выборе некоторых устойчивых резонансных конфигураций. Интересный пример такого рода в небесной механике недавно был изучен в работах Коломбо [4] и Кинера [17]. Действительно, явление резонанса между средними движениями планет и их спутников, как орбитальными, так и двшжениями относительно центра масс, может служить темой для дискуссии. См., например, работы Гингерича [9], Хенона [12], Молчанова [20, 21] и Роя и Овендена [25] ${ }^{1}$ ).

Существует также ряд вопросов, связанных с изучением динамических систем в алгебре Ли. Они могут быть связаны (а могут и не быть связаны) с методаии теории возмущений, использующими преобразование Ли, хотя известно, что движение, соответствующее гамильтониану $H$, образует группу Ли в алгебре Ли, определенной скобками Пуассона $\left(F_{i}, F_{j}\right)=0$, где $F_{i}(i, j=$ $=1, \ldots, n)$ – интегралы системы уравнений с функцией Гамильтона $H$, если только они существуют. С этой точки зрения, используя алгебру Ли (для операторов), Мозер [19] описал ясный подход к изучению задачи возмущений условно-периодических движений. С помощью аналогичного подхода можно описать в более точных терминах методы теории возмуцений, введенные Хори [13]. По существу, эту задачу можно рассматривать как задачу построения алгебры операторов и определения их области действия и нуль-пространства. В задаче формального приведения
1) Относительно различного рода синхронизмов в небесной механике см. тажже работы В. В. Беледкого, з частности, книги [13*, 42*] (nрим. перев.).

к нормальной форме такие методы были использованы в работе Густавсона [10]. Мы не знакомы подробно с подобными приложениями, за исключением только работ Лейманиса [18] по изучению движения твердого тела. Однако в области квантовой механики такой подход весьма расцространен (алгебра коммутаторов). Связь этих вопросов с задачами небесной механики была установлена в различных работах Кустаанхеймо $[15,16]$ и Нуотио [22] по алгебре спиноров. К сожалению, эти вопросы ке являются легко достушными для специалистов, работающих в обтасти астрономии, техники й физики, так как требуют больших знаний алгебры.

Очевидно, список открытых вопросов и исследуемых задач бесконечен, и всегда можно только приветствовать различного рода обобщения известных результатов. Трудно только предвидеть, какие обобщения могут сыграть важную роль в прикладных науках.