Метод последовательното подбора частот системы, который был изложен в примере предыдущего параграфа, применим к любой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть записана в нормальной форме и удовлетворяет некоторым условиям регулярности, по крайней мере локально. Однако желательно, чтобы такая регулярность распространялась на некоторую область. В этом случае мы можем считать, что система имеет вид
\[
\dot{x}_{i}=f_{i}(x, t, \varepsilon) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

или в векторной форме —
\[
\dot{x}=f(x, t, \varepsilon) .
\]

При помощи перехода в котангенциальное пространство Дирака система (2.4.1) может быть цриведена к каноническому виду, если определить вектор канонически сопряженных обобщенных импульсов $\boldsymbol{y}\left(y_{i} ; i=1, \ldots, n\right)$ и тамильтониан
\[
H=f^{r}(x, t, \varepsilon) y .
\]

Уравнения движения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=H_{y}^{\mathrm{r}}=f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon}, t), \\
\dot{\boldsymbol{y}}=-H_{\boldsymbol{x}}^{\mathrm{T}}=-f_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon}, t) \boldsymbol{y},
\end{array}
\]

и предположим, что система уравнений
\[
\dot{\xi}=f(\xi, t, 0), \quad \dot{\eta}=-f_{\xi}(\xi, t, 0) \eta
\]

интегрируема в некоторой области $D 2 n$-мерного фавового пространства $(\xi, \eta)$ при $0 \leqslant t \leqslant T$. Предноложим, что функции $f(x, t, \varepsilon)$ принадлежат по крайней мере классу $C^{2}$ в $D$, непрерывны по $t$ прп $t \in[0, T]$ п аналитичны по $\varepsilon$ при $0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1$. Этими же свойствами, следовательно, обладает функция $H$.

Таким образом, ограничение, заключающееся в предположении о гамильтоновости исходной системы уравнений, весьма несущественно и, следовательно, особую важность приобретают методы теории возмущений для гамильтоновых систем ${ }^{1}$ ).

С точки зрения предыдущих рассмотрений логичным является вопрос о получении оценки лучшей, чем оденка (2.2.15). Гамильтониан рассматриваемой системы (2.2.13) имеет вид
\[
H=\sum_{i=1}^{n} y_{i} g_{i}(x, t)+\varepsilon \sum_{i=1}^{n} y_{i} f_{i}(x, \varepsilon, t)=H_{0}+\varepsilon H_{1},
\]

и соответствующая каноническая система уравнений записывается так:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=\frac{\partial H}{\partial y_{i}}=g_{i}+\varepsilon f_{i}, \\
\dot{y_{i}}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=-\sum_{j} y_{j} \frac{\partial g_{j}}{\partial x_{i}}-\varepsilon \sum_{j} y_{j} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} .
\end{array}
\]

Предположим, что при $\varepsilon=0$ система
\[
\dot{x}_{i}=g_{i}(x, t), \quad \dot{y}_{i}=-\sum_{j} y_{j} \frac{\partial g_{j}}{\partial x_{i}}
\]

интегрируема. Действительно, первая группа уравнений (2.4.5) интегрируема по введенному ранее предшоложению и имеет решение $x_{i}=x_{i 0}(t)$. Подстановка этих выражений во вторую часть уравнений приводит к системе линейных уравнений
\[
\dot{y}_{i}=\sum_{j} a_{i j}(t) y_{j}
\]

которая, очевидно, интегрируема при $t$ из интервала определения решения $x_{i 0}(t)$. Запишем решение системы (2.4.5) в виде
\[
x_{i}=x_{i 0}(\alpha, \beta, t), \quad y_{i}=y_{i 0}(\alpha, \beta, t),
\]
1) Это утверждение автора нуждается в пояснении. При исследовании конкретных систем небольшого числа дифференциальных уравнений методами теории возмущений предлагаемую гамильтонизацию по-видимому проводить нерадионально. Этот прием обретает смысл или при исследовании систем высокого порядка или при получении большого чиела приближений. В этих случаях действительно оказывается проще оперировать с одной функцией (гамильтониан), пусть и зависящей от вдвое большего числа переменных, чем с $n$ функциямп правых частей уравнений. Особенно эффективна гамильтонизация системы нелинейных дифференциальных уравнений при использовании совреиенных эВМ, снабженных развитыми комплексами программ буквенных выкладок (прим. перев.).

где при $i=1, \ldots, n$
\[
x_{i 0}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, 0)=\alpha_{i}, \quad y_{i 0}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, 0)=\beta_{i} .
\]

Из теоремы Якоби следует, что решение системы (2.4.4) может быть записано в виде
\[
x_{i}=x_{i 0}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, t), \quad y_{i}=y_{i 0}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, t),
\]

еслп $\alpha, \beta$ — функции времени, удовлетворяющие уравнениям
\[
\dot{\alpha}_{i}=\varepsilon \frac{\partial H_{t}}{\partial \beta_{i}}, \quad \dot{\beta}_{i}=-\varepsilon \frac{\partial H_{i}}{\partial \alpha_{i}},
\]

где $i=1, \ldots, n$. Но система (2.4.6) является системой изученного ранее типа (уравнение (2.2.6)), и к ней примени́м метод последовательных приближений, дающий такой критерий сходимости
\[
|\varepsilon|<\frac{1}{1+4 n M^{\prime} T},
\]

который при $M^{\prime} \approx M$ является лучшей оценкой, чем оценка (2.2.15) для системы (2.2.13).

Теперь вернемся к главной цели настоящего параграфа и опишем основные идеи и основные этапы осуществления метода Линдстедта, изложенного Пуанкаре на языке канонических систем. Рассмотрим автономную динамическую систему с гамильтонианом
\[
H=H(y, x, \varepsilon),
\]

где $y, x-2 n$-мерные векторы, определенные в фазовом пространстве размерности $2 n, \varepsilon$ — безразмерный постоянный параметр, а функция $H$ — вещественная и аналитическая в некоторой области $D$ фазового пространства и $\varepsilon$ из $[0,1]$. Мы еще раз подчеркнем тот факт, что любая аналитическая система уравнений $\dot{z}=f(z, \varepsilon)$ может быть сведена к тамильтоновой форме введением котангенциального фазового пространства.

Главная функция Гамильтона $W(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon)$ определяется решением уравнения в частных производных
\[
\Psi\left(y, \frac{\partial W}{\partial y}, \varepsilon\right)=K(X, \varepsilon)
\]

где $\boldsymbol{K}(\boldsymbol{X}, \varepsilon)$ — гамильтониан системы, записанной через новые переменные $\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X}$, которые определяются уравнениями
\[
Y_{k}=\frac{\partial W}{\partial X_{k}}=Y_{k}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon), \quad x_{k}=\frac{\partial W}{\partial y_{k}}=x_{k}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon) .
\]

При выполнешии вышеперечислених условий относительно функции $H$ функция $W$, удовлетворяющая уравнению (2.4.8), безусловно существует (в смысле Якоби), так как система дифференциальных уравнений, соответствующая функции Гамильтона (2.4.7), имеет единственное решение в $D$. Решение очевидно будет аналитической функцией $\varepsilon$ и $n$ постоянных интегрирования $X_{1}, \ldots, X_{n}$ из $D$. Мы предположим, что система дифференциальных уравнений, соответствующих функции $H(y, x, 0)=H_{0}(y, x)$, интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. в $D$ существует $n$ независимых первых общих интегралов движения. Если $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$ такие интегралы, т. е. $x_{k}^{\prime}(y, x)=\alpha_{k}$ вдоль решений системы с гамильтонианом (2.4.7) при $\varepsilon=0$ и в области $D$, то, вообще говоря, угловые переменные $\boldsymbol{y}_{k}^{\prime}$, канонически сопряженные переменным действие $x_{k}^{\prime}$, имеют частоты (по времени), которые являются линейно независимыми на множестве целых чисел, и, следовательно, движение будет условно-периодическим (почти-периодическое движение будет в случае, соответствующем системе с бесконечным набором базисных частот). Через эти переменные, называемые переменными действие — угол, гамильтонтан (2.4.7) можно записать в виде $H^{\prime}\left(y^{\prime}, x^{\prime}, \varepsilon\right)$ с очевидным условием $H^{\prime}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}, 0\right)=H_{0}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right) . \quad$ Следовательно, при предшоложенип об интегрируемости (в упомянутом специальном смысле) спстемы с гамильтонианом $H_{0}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$, не теряя общности, можно считать, что гамильтониан зависит только от импульсов $\boldsymbol{x}$. Также логично ожидать, что почти во всей области $D$ частоты $\omega_{k}^{0}=\partial H_{0} / \partial x_{k}$ являются линейно независимыми на множестве целых чисел. В частности, из этого следует, что в $D$ ни одна из частот не равна нулю или, более точно, все импульсы присутствуют в гамильтониане. Теперь задача сводится $\kappa$ такой, при которой функция $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, 0)$ не зависит от $\boldsymbol{y}$ и, следовательно, главная функция Гамильтова $W(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, 0)$ является производящей функцией тождественного преобразования, т. е.
\[
W(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, 0)=\boldsymbol{y}^{\mathrm{r}} \boldsymbol{X} .
\]

Мы будем предполагать, что функция $W$ является аналитической по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$, и, следовательно, при достаточно малых $\varepsilon$ можно считать
\[
W(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon)=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}+\varepsilon S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon),
\]

где
\[
S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon)=S_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+\varepsilon S_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+\ldots
\]
— сходящийся степенной ряд по є.

Отсюда следует, что (2.4.9) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
Y_{k}=y_{k}+\varepsilon \frac{\partial S}{\partial X_{k}}=y_{k}+\varepsilon F_{k}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon), \\
x_{k}=X_{k}+\varepsilon \frac{\partial S}{\partial y_{k}}=X_{k}+\varepsilon G_{k}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon)
\end{array}
\]

при $k=1, \ldots, n$ и достаточно малом $\varepsilon$. Отображения типа (2.4.12) широко изучались главным образом в работах Мозера [75, 77, 78, 83].

При сделанных предположениях можно показать, что существуют формальные ряды (2.4.11), являющиеся решением уравнения (2.4.8) до любого порядка (степени) по $\varepsilon$.

Введем понятие среднего значения $\langle f\rangle$ условно-периодической функции $f\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ переменных $y_{k}=\omega_{k} t+y_{k}^{0} \quad\left(\omega_{k}-\right.$ постоянные величины, линейно независимые на множестве целых чисел) с помощью выражения
\[
\langle f\rangle=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f d t .
\]

В обобщенном смысле условно-периодическая функция $f$ при $\langle f\rangle=0$ будет называться чисто условно-периодической. Очевидно, что если $f$ представить в виде ряда Фурье по $n$ угловым переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}$, то $\langle f\rangle$ будет равно постоянному члену в ряде Фурье. С другой стороны, в общем случае, если $\langle f\rangle=0$, то
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{0}^{T} f d t<\infty
\]

что является очевидным следствием определения (2.4.13) для условпо-периодической функции $f$, принадлежащей классу $L_{2}$ п $t \in R$. Функция $F(t)$, удовлетворяющая условию
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} F(t)<\infty,
\]

называется функцией, свободной от секулярных членов. Любая условно-периодическая функция из класса $L_{2}$ удовлетворяет этому условию. Из предположения об интегрируемости системы с функцией Гамильтона $\boldsymbol{H}_{0}$ следует, что записанный через переменные действие — угол $\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}$, гамильтониан $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$ является условнопериодической функцией, если, например, он имеет сходящиеся многомерные ряды Фурье относительно $y_{1}, \ldots, y_{n}$ при $\varepsilon \in[0,1]$ п $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in D$.

Формальные ряды для $S$ и $K$ теперь получаются прямой подстановкой (2.4.10) и (2.4.11) в (2.4.8), т. е.
\[
\begin{aligned}
H\left(\boldsymbol{y}, \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{y}}, \varepsilon\right) & =H\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial y}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial y}+\ldots, \varepsilon\right), \\
K(\boldsymbol{X}, \varepsilon) & =K_{0}(\boldsymbol{X})+\varepsilon K_{1}(\boldsymbol{X})+\varepsilon^{2} K_{2}(\boldsymbol{X})+\ldots
\end{aligned}
\]

Разложение первого из этих выражений в ряд Тейлора (который по предположению сходится) даєт в символической записи
\[
\begin{array}{c}
H\left(\boldsymbol{y}, \frac{\partial W}{\partial y}, \varepsilon\right)=\left.\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} H}{\partial x^{k}}\right|_{x=\boldsymbol{X}}\left(\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial y}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial y}+\ldots\right)^{k}= \\
=\left.\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \sum_{p=0}^{\infty} \varepsilon^{p} \frac{\partial^{k} H_{p}}{\partial \boldsymbol{x}^{k}}\right|_{x=\boldsymbol{X}}\left(\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \boldsymbol{y}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial S_{2}}{\partial \boldsymbol{y}}+\ldots\right)^{k}= \\
=H_{0}(\boldsymbol{X})+\varepsilon \frac{\partial H_{0}}{\partial \boldsymbol{X}}\left(\frac{\partial S_{\mathbf{i}}}{\partial \boldsymbol{y}}\right)^{\mathrm{T}}-\frac{\varepsilon^{2}}{2 !}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \boldsymbol{y}}\right) \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \boldsymbol{X}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \boldsymbol{y}}\right)^{\mathrm{T}}+\ldots \\
\ldots+\varepsilon^{2} \frac{\partial H_{0}}{\partial \boldsymbol{X}}\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{\mathrm{T}}+\ldots+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+\varepsilon^{2} \frac{\partial H_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \boldsymbol{y}}\right)^{\mathrm{T}}+\ldots \\
\ldots+\varepsilon^{2} H_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+\ldots,
\end{array}
\]

где запись $\partial H_{k} / \partial X_{l}$ означает $\partial H_{k} /\left.\partial x_{l}\right|_{x=X}$.
Выражения до любого порядка приближений впервые были получены в работе Джакальи [36]. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, в любом порядке приближения получаем уравнения типа
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H_{0}}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{p}}{\partial y_{k}}+\Phi_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+H_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})=K_{p}(\boldsymbol{X}) .
\]

В этих уравнениях, например,
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})=0 \\
\Phi_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})=\frac{1}{2 !} \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial X_{k} \partial X_{l}} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{k}} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{l}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H_{1}}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{i}}{\partial y_{k}} .
\end{array}
\]

Восбще, $\Phi_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})$ является функцией от $S_{1}, \ldots, S_{p-1}, K_{1}, \ldots$ $\ldots, K_{p-1}$, так что решения уравнений (2.4.17) можно получать только последовательно.

Один из способов получения $K_{p}(\boldsymbol{X})$ заключается в использовании процедуры усреднения
\[
K_{p}(\boldsymbol{X})=\left\langle\Phi_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+H_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})\right\rangle,
\]

где предиолагается, что все $y_{k}$ представляются линейными функциями времени $y_{k}=\omega_{k}^{0} t+y_{k}^{0}$, а все $\omega_{k}^{0}$ линейно независимы на множестве целых чисел (т. е. рационально независимы). Получающаяся функция $K_{p}(\boldsymbol{X})$, разумеется, от времени $t$ не зависит. Отсюда следует, что функция
\[
F_{p}=\Phi_{p}+H_{p}-K_{p}=F_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})
\]

является чисто условно-периодической при учете предположений относительно функции $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$. Приближение $p$-го порядка для производящей функции $S_{p}$ получается из линейного уравнения
\[
\sum_{k=1}^{n} \omega_{k}^{0} \frac{\partial S_{p}}{\partial y_{k}}+F_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})=0,
\]

где $\omega_{k}^{0}=\partial H_{0} / \partial X_{k}$. Теперь сталовится очевидным, что если все $\omega_{k}^{0}
eq 0$, то функция $S_{p}$ будет условно-периодической функцией переменных $y_{1}, \ldots, y_{n} \quad\left(y_{k}=\omega_{k}^{0} t+y_{k}^{0}\right)$, причем свободной от секулярных членов, т. е. для линейно независимых на множестве целых чисел $\omega_{k}^{0}$ пмеем
\[
S_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})=-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\omega_{k}^{0}} \int F_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}) d y_{k}+G_{p}(\boldsymbol{X}),
\]

где функция $G_{p}(\boldsymbol{X})$ произвольна. Разумеется, если одна из частот $\omega_{k}^{0}$ равна нулю, то эту процедуру использовать нельзя, по крайней мере до тех пор, пока для функции $F_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})$ не будет выполнено условие
\[
\frac{\partial F_{p}}{\partial y_{k}}=0
\]

для этого $y_{k}$. Легко показать, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} S_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})<\infty
\]

для $y_{k}=\omega_{k}^{0} t+y_{k}^{0}$. Все эти соотношения справедливы для любого порядка $p$ и, следовательно, можно определить формальные ряды
\[
\begin{array}{c}
y \cdot \boldsymbol{X}+\varepsilon S_{1}+\varepsilon^{2} S_{2}+\ldots \\
K_{0}+\varepsilon K_{1}+\varepsilon^{2} K_{2}+\ldots
\end{array}
\]

такие, что функция $\varepsilon S_{1}+\varepsilon^{2} S_{2}+\ldots$ будет условно-периодической и свободной от секулярных члевов. Случаи, когда некоторая частота $\omega_{k}^{0}$ равна нулю или мала в некотором смысле, будут изучены в главе $\mathrm{V}$ в связи с общей проблемой резонанса. Форзально система решается в любом желаемом приближении, и «решение» в новых переменных $(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})$ имеет вид
\[
Y_{k}=\omega_{k} t+Y_{k}^{0}, \quad X_{k}=X_{k}^{0},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
Y_{k}^{0}=\mathrm{const}, \quad X_{k}^{0}=\mathrm{const}+O\left(\varepsilon^{p+1}\right) \\
\omega_{k}=\frac{\partial K_{0}}{\partial X_{k}}+\varepsilon \frac{\partial K_{1}}{\partial X_{k}}+\ldots+\varepsilon^{p} \frac{\partial K_{p}}{\partial X_{k}}=\mathrm{const}+O\left(\varepsilon^{p+1}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $O\left(\varepsilon^{p+1}\right)$ — члены такого наинизшего порядка, которыми пренебрегают после получения последних приближений $S_{p}$ п $K_{p}$. Их также можно интерпретировать как опибку или как оценку ошибки в репении. Разумеется это можно сделать только в случае сходимости метода. С этой проблемой мы будем иметь дело в следующих двух главах настоящей книги. Грубая оценка, проведенная в работе Кинера [64], показывает, что верхняя ошибка эквивалентна ошибке, полученной Боголюбовым и Митропольским [8] для канонического метода усреднения Крылова — Боголюбова Митропольского и в действительности, как было показано в работе Бурштейна и Соловьева [9.1], эквивалентна ошибке метода Пуанкаре. Эта ошибка пропорциональна $\varepsilon$ при $t \sim 1 / \varepsilon^{p}$ (го крайней мере). Сходимость рассматриваемого здесь метода в некоторых частных случаях будет изучена в главе III.
С чисто формальной точки зрения из (2.4.21) получаем
\[
\begin{array}{l}
y_{k}=\omega_{k} t+Y_{k}^{0}+\varepsilon N_{k}\left(Y_{1}, \ldots, Y_{n}, X_{1}^{0}, \ldots, X_{n}^{0}, \varepsilon\right), \\
x_{k}=X_{k}^{0}+\varepsilon W_{k}\left(Y_{1}, \ldots, Y_{n}, X_{1}^{0}, \ldots, X_{n}^{0}, \varepsilon\right),
\end{array}
\]

где $N_{k}, W_{k}$ — условно-периодические и свободные от секулярных членов функции переменных $Y_{1}, \ldots, Y_{n}$. Ясно, что в большинстве случаев основная ошибка будет заключаться в частоте $\omega_{k}$, так как любая такая ошибка линейно умножается на время. При практическом применении лучшим способом избежать потери точности является численное получение эначений $\omega_{k}$ при усреднении $\left\langle y_{k}\right\rangle$ по времени $t$. Такое усреднение, если выполнены соотношения $(2.4 .25)$, очевидно, даст значения $\omega_{k}$. Подобное использование «наблюдаемости» уничтожит методические ошибки, вызванные неточностью вычисления частот $\omega_{k}$.