Каћ уже раньше говорилось, канонические преобразования, связанные с методами теории возмущений, обязательно зависят от параметра, вообще говоря, малого; при этом решение бывает известно, когда этот параметр равен нулю (или любому другому фикспрованному числовому знатению). В терминах описанной в предыдущем параграфе теории преобразований Ли это означает, что генератор преобразования может явно зависеть от параметра $\varepsilon$. Такую завпсимость можно учесть введением оператора [17]
\[
\Delta_{S}=L_{S}+\frac{\partial}{\partial \varepsilon}
\]

со следующими очевндными свойствами:
a) $\Delta_{S}(\alpha f+\beta g)=\alpha \Delta_{S} f+\beta \Delta_{S} g$,
b) $\quad \Delta_{S}(f \cdot g)=f \cdot \Delta_{S} g+g \cdot \Delta_{S} f$,
c) $\Delta_{S}(f, g)=\left(\Delta_{S} f, g\right)+\left(f, \Delta_{\mathrm{S}} g\right)$,
d)
\[
\Delta_{S} \Delta_{S^{\prime}} f=\Delta_{S^{\prime}} \Delta_{S} f+L_{\left(S^{\prime}, S\right)} f+L_{S_{\varepsilon}^{\prime}-S_{\mathbf{e}}} f,
\]

где
\[
S=S(z, \varepsilon), \quad S_{\varepsilon}=\partial S / \partial \varepsilon .
\]

Также разумно определить $n$-ю итерацию оператора $\Delta_{s} f$ с помощью формул
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{S}^{n} f=\Delta_{S}\left(\Delta_{S}^{n-1} f\right), \\
\Delta_{S}^{0} f=f .
\end{array}
\]

Легко получить соотношения, соответствующие свойствам (1.5.2). Введем такие определения:
\[
f_{n}(\zeta, 0)=\left[\Delta_{S(\zeta, \varepsilon)}^{n} f(\zeta, \varepsilon)\right]_{\varepsilon=0}
\]

и новый оператор
\[
E_{S} f=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} f_{n}(\zeta, 0) .
\]

Очевидно, что если существует конечная величина $A$, такая, что
\[
f_{n}(\zeta, 0)<A^{n}
\]

для $\zeta$ из некоторой окрестности точки $\zeta_{0}$, то ряд (1.5.4) сходится. Следующие соотношения легко проверить:
a)
\[
E_{S}(\alpha f+\beta g)=\alpha E_{S} f+\beta E_{S} g,
\]
b)
\[
E_{S}(f \cdot g)=E_{S} f \cdot E_{S} g \text {, }
\]
c)
\[
E_{\mathrm{S}}(f, g)=\left(E_{S} f, E_{S} g\right) .
\]

Так же, как ранее это было сделано для оператора $L_{S}$, можно теперь показать, что преобразование $\zeta, \varepsilon \rightarrow z$, определяемое бормулами
\[
z=E_{S}(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} z_{n}(\zeta, 0)
\]

является каноническим и описывается сходящимися рядами. Для определения генератора приведенного выше преобразования докажем следующую теорему.

Теорема. Преобразование $z=E_{S}(\zeta)$ лвляется решением гамильтоновой системы уравнений
\[
\frac{d z}{d \varepsilon}=M\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{T},
\]

соответствуюшим начальным условиям $z=\zeta$ при $\varepsilon=0$. При этом функция $S(z, \varepsilon)$ связана с $E_{S}(\zeta)$ формулами (1.5.4) и (1.5.3).
Действительно, рассматривая (1.5.1), имеем
\[
\Delta_{S} z(\zeta, \varepsilon)=L_{S} z(\zeta, \varepsilon)+\frac{\partial z}{\partial \varepsilon}=\frac{\partial z}{\partial y}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}}-\frac{\partial z}{\partial x}\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{\mathrm{T}}+\frac{\partial z}{\partial \varepsilon},
\]

где $\boldsymbol{z}=\operatorname{col}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$. Из (1.5.7), где $S=S(\boldsymbol{\zeta}, \boldsymbol{\varepsilon})$, находим
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{\mathbf{T}}=\frac{d y}{d \varepsilon}, \quad\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{\mathrm{T}}=-\frac{d x}{d \varepsilon},
\]

так. что
\[
\Delta_{\mathrm{S}} \boldsymbol{z}(\xi, \varepsilon)=\frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d \varepsilon}+\frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d \varepsilon}+\frac{\partial z}{\partial \varepsilon}=\frac{d z}{d \varepsilon} .
\]

Предполагая преобразование $\boldsymbol{z}(\zeta, \varepsilon)$ вещественным и аналитичөским, получаем
\[
\Delta_{S}^{n} z(\zeta, \varepsilon)=\frac{d^{n} z}{d \varepsilon^{n}},
\]

а при $\varepsilon=0$ это дает такие соотношения:
\[
\left.\Delta_{S}^{n} z(\zeta, \varepsilon)\right|_{\varepsilon=0}=\left.\frac{d^{n} z}{d \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0}=z_{n}(\zeta, 0),
\]

так. что, используя (1.5.6), находим
\[
z=E_{S}(\zeta)=\left.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \frac{d^{n} z}{d \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0}=z(\zeta, \varepsilon) .
\]

Это и завершает доказательство теоремы.
Преобразование вещественной аналитической функции $f(z, \varepsilon)$ при каноническом преобразовании $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\zeta, \varepsilon)=E_{S}(\zeta)$, определяемом формулами (1.5.6), записывается с помощью такого простого соотнопения:
\[
f\left(E_{\mathrm{S}}(\zeta), \varepsilon\right)=E_{\mathrm{S}} f(\zeta, \varepsilon) .
\]

Действительно, вдоль решения $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\zeta, \varepsilon)$ системы (1,5.7), проходящего через точку $z=\zeta$ при $\varepsilon=0$, как следует из (1.5.10), имеем
\[
f(\boldsymbol{z}(\zeta, \varepsilon), \varepsilon)=\left.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !}\left(\frac{d^{n} f}{d \varepsilon^{n}}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\left.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !}\left(\Delta_{S}^{n} f\right)\right|_{\varepsilon=0} .
\]

Следовательно, из определения $E_{\mathcal{S}}$ получаем соотношение
\[
f(\boldsymbol{z}(\zeta, \varepsilon), \varepsilon)=E_{S} f(\zeta, \varepsilon),
\]

которое совпадает с (1.5.11).
Интересным частным случаем правила преобравования (1.5.11) является случай, когда $S(\zeta, \varepsilon)$ и $f(\zeta, \varepsilon)$ представляются степенными рядами по $\varepsilon$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
S(\zeta, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} S_{n+1}(\zeta), \\
f(\zeta, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} f_{n}(\zeta) .
\end{array}
\]

В этом случае введем определение
\[
L_{s_{p}}=L_{p} \quad(p \geqslant 1)
\]

так что с помощью результатов предыдущего параграфа найдем
\[
\frac{\partial}{\partial \varepsilon} f(\zeta, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} f_{n+1}(\zeta)
\]

и
\[
L_{S} f(\xi, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m} L_{m+1} f_{n-m}(\zeta) .
\]

Тогда, представляя $\Delta_{s} f$ в виде ряда
\[
\Delta_{S} f=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} f_{n}^{(1)}(\zeta),
\]

находим
\[
f_{n}^{(1)}(\zeta)=f_{n+1}(\zeta)+\sum_{m=0} C_{n}^{m} L_{m+1} f_{n-m}(\zeta)
\]

ш, следовательно,
\[
f_{0}^{(1)}(\xi)=f_{1}+L_{1} f_{0}=f_{1}+\left(f_{0}, S_{1}\right) .
\]

Вводя авалогичным образом ряды
\[
\Lambda_{S}^{2} f=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} f_{n}^{(2)}(\xi),
\]

\[
f_{n}^{(2)}(\zeta)=f_{n+1}^{(1)}(\zeta)+\sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m} L_{m+1} f_{n-m}^{(1)}(\zeta)
\]

и, следовательно,
\[
f_{0}^{(2)}(\zeta)=f_{1}^{(1)}+L_{1} f_{0}^{(1)}
\]

где коэффициенты $\boldsymbol{\eta}_{0}^{(n)}=\boldsymbol{\eta}_{0}^{(n)}(\xi, 0)$ и $\xi_{0}^{(n)}=\xi_{0}^{(n)}(\xi, 0)$ определяются в результате описанной выше рекуррентной продедуры. В (1.5.15) очевидно $\boldsymbol{\eta}_{0}^{(0)}=\eta$ и $\xi_{0}^{(0)}=\xi$.

Все описанные выше процедуры можно обобщить на случай явной зависимости канонического преобразования от времени. Один из способов получить этот результат заключается в том, чтобы принять время за добавочную каноническую координату, тогда сопряженным импульсом будет сам гамильтониан ${ }^{1}$ ). Такой путь сразу же приводит к алгоритму, ошисанному детально в работе Депри [17].

или, используя выражения для $f_{0}^{(1)}, f_{1}^{(1)}$, получаем
\[
f_{0}^{(2)}(\zeta)=f_{2}+2\left(f_{1}, S_{1}\right)+\left(f_{0}, S_{2}\right)+\left(\left(f_{0}, S_{1}\right), S_{1}\right) .
\]

Таким образом, получаются общие рекуррентные формулы преобразования функции $f(z, \varepsilon)$ при преобразовании, задаваемом рядами Јии с генератором $S(z, \varepsilon)$ в случае, когда обе эти функции являются вещественными аналитическими функциями всех переменных, а $\varepsilon$ берется из некоторой окрестности точки $\varepsilon=0$ :
\[
f_{n}^{(k)}(\xi)=f_{n+1}^{(k-1)}+\sum_{n=0}^{n} C_{n}^{m} L_{m+1} f_{n-m}^{(k-1)} .
\]

Эту формулу можно щроиллюстрировать следующим символьным треугольником

Интересным частным случаем является закон преобразования вектора $\boldsymbol{z}=\operatorname{col}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$. Каноническое преобразование задается формулами
\[
\begin{array}{l}
y=E_{S}(\eta)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \eta_{0}^{(n)}(\xi, 0), \\
x=E_{S}(\xi)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \xi_{0}^{(n)}(\xi, 0),
\end{array}
\]