Выполнимость условия иррациональности
\[
\left|\omega^{\mathrm{r}} k\right| \geqslant K\left(\sum_{j=1}^{n}\left|k_{j}\right|\right)^{-s},
\]

где $s=n+1$, может быть установлена в следующей теореме, сформулированной в работе Хинчина [23] и обсуждавшейся также в работе Коксмы [24].

Теорема. Почти каждый єектор $\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$ удовлетворяет выписанным выше неравенствам (3.6.1) для всех ненулееых целочисленных векторов $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ и выбранной соответствующим образом величины $K(\omega)>0$.

Доказательство теоремы является весьма простым и опирается на тот факт, что неравенства (3.6.1) не выполняются только в резонансных областях, ширина которых меньше $2 K|k|^{-s}$, где $|\boldsymbol{k}|=\sum\left|k_{j}\right|$, для данных $\boldsymbol{k}, K$ и $\omega$ из ограниченной области $\Omega(\omega)$. Этот факт очень сильно влияет на сходимость итераций, так как, считая функцию $F(z)$ аналитической (см. уравнение $(3.2 .20)$ ), получаем, что ее коэффициенты $f_{(k)}$ убывают экспоненциально быстро, т. е. для некоторых положительных вещественных чисел $\boldsymbol{M}, \rho$ имеем
\[
\left|f_{(k)}\right| \leqslant M e^{-|k| \rho},
\]

и, следовательно, из (3.2.22) получаем
\[
\left|\frac{f_{(k)}}{\left(\boldsymbol{k}^{\mathbf{T}} \omega\right)}\right| \leqslant \frac{M L}{K \delta^{p}} e^{-\mid \boldsymbol{k}(\boldsymbol{\rho}-\delta)},
\]

где $p=2 n+3$, а $L, \delta$ — выбранные соответствующим образом постоянные. Это приводит к сходимости ряда для производящей функции метода Пуанкаре $S$ в кольце $\Gamma(\rho-\delta)$.

Колмогоров [25] предложил следующий подход к решению вопроса о сходимости последовагельности канонических преобразований, определяемых функцей $S$. Рассмотрим инвариантный тор $T\left(\omega^{*}\right)$ возмущенной системы; движение на нем будет условно-периодическим с заданными заранее частотами $\omega^{*}=\left(\omega_{1}^{*}, \ldots\right.$ ..,$\left.\omega_{n}^{*}\right)$, удовлетворяющими условиями (3.6.1). Тор $T\left(\omega^{*}\right)$ расположен в окрестности соответствующего тора невозмущенной системы, определяемой гамильтонианом $H_{0}(\boldsymbol{x})$, т. е.
\[
x^{*}=x+O(\mu), \quad \omega^{*}=\left.\frac{\partial H_{0}}{\partial x}\right|_{x=x^{*}} .
\]

В этой окрестности можно ввести новые переменные $x^{\prime}, y^{\prime}$ с помощью аналитического канонического преобразования, определяемого функцией $S$, а гамильтониан тогда принимает вид
\[
H(y, x)=H^{(1)}\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right)=H_{0}^{(1)}\left(x^{\prime}\right)+H_{1}^{(1)}\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right),
\]

где соотношение $\left|H_{1}^{(1)}\right| \sim\left|H_{1}\right|^{2}$ дает начало квадратичной сходимости ньютоновского типа, что обсуждалось в работах Нәша [37] и Канторовича [22]. Такой подход изменяет характер сходимости последовательных приближений, который был указан после уравнения (3.2.1) и где было получено только линейное сжатие, так же как и при классическом подходе в методе Пуанкаре. Оденки из леммы 1 могут быть получены с помощью процедуры мажорирования, однако, как указывал Мозер [35], оценки с помощью мажорирующих рядов не приводят к сходимости. Оценки Мозера привели к мажорирующим рядам $\sum_{p}(p !)^{2 s} \mu^{p}$, которые расходятся для всех $\mu>0$. В модифицированном методе Ньютона, предложенном Колмогоровым, точность увеличивается как степень двух и предыдущие ряды заменяются на ряды $\sum_{p}(p !)^{2 s} \mu^{2^{p}}$, которые сходятся при достаточно малых $\mu>0$. Как указывал сам Колмогоров, его теорема непосредственно применима в некоторых классических задачах динамики, например, в следующих задачах.
a) Движение точки на аналитической поверхности, мало отличающейся от поверхности вращения или от поверхности эллипсоида.
б) Плоское движение (планетарный случай) астероида под действием притяжения Солнца и Юпитера. Хотя в этой задаче гамильтониан невозмущенного движения имеет вид (в равномерно вращающейся системе координат)
\[
H_{0}=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\alpha x_{2}
\]

и, следовательно, преобразование формально расходится, в том смысле, что $\operatorname{det}\left\{\partial^{2} H_{0} / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\}=0$, но модифицированное условиө
\[
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{i}} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{j}} & 0
\end{array}\right)
eq 0
\]

удовлетворено, и теорема Колмогорова применима.
Интересно отметить, что еслі выписанное выше условие выполнено, то существует функция $F=\Phi(H)=\Phi\left(H_{0}\right)+\varepsilon \ldots$, такая, что функция $\Phi\left(H_{0}\right)$ невырсждена в обычном смысле. В качестве примера можно взять фувнию
\[
F=H^{2}=\left(\frac{1}{x_{1}^{2}}+\alpha x_{2}\right)^{2}+\ldots=F_{0}+\ldots
\]

и в результате получить $\operatorname{det}\left\{\partial^{2} F_{0} / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\}
eq 0$.
в) Устойчивость положения равновесия и периодических решений в системе с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае. Важным приложением является круговая ограниченная задача трех тел (см. работы Арнольда [1] и Леонтовича [27]). Наилучшее решение этого последнего вопроса было дано в работе Депри $[17]^{1}$ ), которые использовали важные работы Мозера [32] и Гельфанда и Лидского [19] 2). В окрестности такой әллиптической точки гамильтоннан может быть записан в виде
\[
H=\sum_{k=1}^{2} \frac{1}{2} \omega_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)+H_{3}+\ldots
\]

Если $\omega_{1} \omega_{2}>0$, то устойчивость гарантируется тем, что квадратичная форма $H_{2}$ в $H$ будет знакоопределенной ${ }^{3}$ ), хотя это ус-
1) Окончательное рещение задачп об устойчивости лагранжевых рещений плоской круговой ограниченной задачи трех тел цолучено в работах $\left[23^{*}\right],\left[24^{*}\right]$ ( (прим. ред.).
2) В действительности упомянутые работы Мозера и Гельфанда и Лидского не имеют непосредственного стношения к исследованию, проведенному Депри ( прим. ред.).
з) В этом случае устойчивость устанавливается на основании теоремы Ляпунова об устойчивости, если за функцию Ляпунова принять знакоопределенный гамильтониан $H$, полная производная которого в силу уравнений движения равна нулю (прим. герев.).

ловие и является только достаточным. Для доказательства устойчивости в случае $\omega_{1} \omega_{2}<0$ функция $H$ приводится к нормальной форме до членов четвертой степени, что, в соответствии с результатами Биркгофа [11], можно сделать, если $j_{1} \omega_{1}+j_{2} \omega_{2}
eq 0$ при $0<\left|j_{1}\right|+\left|j_{2}\right| \leqslant 4$, пли если $\left|\omega_{1} / \omega_{2}\right|
eq p / q$ при $p, q=1, \ldots$ …, 4. Укороченная нормальная форма в этом случае будет иметь вид
\[
H=\sum_{j=1}^{2} \frac{1}{2} \omega_{j}\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)+\sum_{k=1}^{2} \sum_{l=1}^{2} \frac{1}{4} \beta_{k l}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\left(x_{l}^{2}+y_{l}^{2}\right)+\ldots
\]

Тогда теорема Арнольда утверждает, что:
Если для системь уравнений, соответствующей функции Гамильтона $H$,
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\beta_{11} & \beta_{12} & \omega_{1} \\
\beta_{21} & \beta_{22} & \omega_{2} \\
\omega_{1} & \omega_{2} & 0
\end{array}\right|
eq 0
\]

то положение равновесия $x_{k}=y_{k}=0 \quad(k=1,2)$ устойчиво.
Это условие в точности соответствует общему условию невырожденности в четвертом приближении, которое получили Мозер [33] п Арнольд [6] при решении задачи о существовании инвариантных кривых для возмущенного закручивающего отображения и при доказательстве теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений соответственно. Распространение этой теоремы на случаи большей размерности для получения таких же результатов, что и в системах с двумя степенями свободы, невозможно. Геометрическая причина этого заключается в том, что промежутки между торами размерности больше двух в общем случае не являются ограниченными областями. В действительности можно построить примеры, когда таки, положения равновесия эллиптического типа являются неустойчивыми ${ }^{1}$ ).

Распространение результатов Колмогорова на случай вырожденных систем было дано Арнольдом по крайней мере для двух простых примеров: в классической задаче получения условнопериодических решений из перлодических невозмущенных орбит [2] и в вырожденной задаче взаимодействия двух шланет [4]. В первой задаче он рассматривал движение точки ( $y_{1}, y_{2}$ ) на торе $T_{2}$. Это движение будет условно периодическим, если
\[
\frac{d y_{1}}{d y_{2}}=\lambda
\]
1) Простой пример гамильтоновой системы такого рода см. в работе [25*] (прим. перев.).

где $\lambda$ — иррациональное число. Близкая система (возмущенная) дифференциальных уравнений на торе может быть записана в виде
\[
\frac{d y_{i}}{d y_{2}}=\lambda+\alpha+\varepsilon f\left(y_{1}, y_{2}\right),
\]

где $\alpha, \varepsilon$ — параметры, а функция $f\left(y_{1}, y_{2}\right)$ предполагается аналитической. Теорема Колмогорова в этом случае подразумевает, что если возмущение $\varepsilon f\left(y_{1}, y_{2}\right)$ достаточно мало, то можно найти такое $\alpha=\alpha_{f}(\varepsilon)$, что при соответствующей замене переменных уравнение (3.6.3) примет вид (3.6.2). Это и было показано Apнольдом в работе [3]. Вопрос о вырождении здесь возникает тогда, когда $\lambda=0$ (или рационально), так что невозмущенное движение является периодическим и происходит по окружностям $y_{1}=$ const. В случае иррационального $\lambda$ приведение (3.6.3) к виду (3.6.2) использует тот факт, что величина $n \lambda+m$ может быть ограничена снизу с помощью неравенства
\[
|n \lambda+m|>K|\lambda| n^{-2}
\]

для всех делых $m$ и $n
eq 0$. Арнольд показал, что если $\Lambda(K)$ есть множество всех $\lambda$, удовлетворяющих условию (3.6.4), а $\Lambda$ — объединение всех $\Lambda(K)$ при $K>0$, то предельная точка множества $\Lambda$ при $K$ из интервала ( $0,1 / 4)$ есть нуль, и нуль является также точкой накопления $\Lambda$. Арнольдом установлены две следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть на торе $T_{2}$ дано дифференцальное уравнение
\[
d y_{1} / d y_{2}=\varepsilon f\left(y_{1}, y_{2}\right),
\]

где в-параметр, а $f$-аналитическая функция. Пусть точки $y_{1}+2 \pi$ и $y_{2}+2 \pi$ отождествлены с точками $y_{1} u y_{2}$, а
\[
\int_{0}^{2 \pi} f\left(y_{1}, y_{2}\right) d y_{2}>0
\]

для всех $y_{1}$.. Тогда для всех достаточно малых $\lambda \in \Lambda(K)$ можно найти $\varepsilon(\lambda)$ и замену переменных $z=z_{\lambda}\left(y_{1}, y_{2}\right)$, аналитическую по $y_{1}$ и $y_{2}$, такие, что уравнение (3.6.5) приводится $к$ виду
\[
d z / d y_{2}=\lambda .
\]

Множество $\varepsilon(\lambda)$ при $\lambda \in \Lambda$ имеет положительную меру и нуль лвляется точкой накопления множества.

Для доказательства теоремы к уравнению (3.6.5) применяется классическая процедура усреднения, и оно приводится к виду
\[
\frac{d y^{(1)}}{d y_{2}}=\varepsilon c+\varepsilon^{2} F\left(y_{1}^{(1)}, y_{2}, \varepsilon\right) .
\]

После того как такое приведение осуществлено, рассматривается следующая теорема.

Теорема 2. Теорема 1 справедлива для уравнения (3.6.6) на торе $T_{2}$, где $c$ — постоянная, а $F\left(y_{1}, y_{2}, \varepsilon\right)$ — аналитическая функция.

Теперь видно, что получена квадратичная сходимость. В конечном счете это приводит к тому, что
\[
\lambda=\varepsilon c+\varepsilon^{2} c+\ldots
\]

и после $n$-кратного применения процедуры усреднения получаем
\[
\frac{d y_{1}^{(n)}}{d y_{2}}=\varepsilon c+\varepsilon^{2} c+\ldots+\varepsilon^{2^{n}} F\left(y_{1}^{(n)}, y_{2}, \varepsilon\right) .
\]

В общем случае, если $\left|\varepsilon^{2} F\right|<M<|\varepsilon c| \delta^{4}$, то после преобразования новая функция $F_{\text {нов }}$ удовлетворяет неравенству
\[
\left|\varepsilon^{2} F_{\text {нов }}\right|<M_{1}<\frac{M^{2}}{\delta^{4}|\varepsilon c|} .
\]

Величину $\delta>0$ можно выбрать так, что
\[
\left|\varepsilon^{2} F_{\text {нов }}^{(n)}\right|<M_{n}=M^{\frac{4 n}{3}},
\]

а это и обеспечивает сходимость.
Для примера рассмотрим уравнение
\[
\frac{d y}{d x}=\varepsilon f(x, y),
\]

и пусть среднее значение функции
\[
f_{s}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x, y) d x=f_{s}(y)>0
\]

для всех $0 \leqslant y \leqslant 2 \pi$. Определим также $f_{p}=f-f_{s}=f_{p}(x, y)$ и рассмотрим замену переменной
\[
y_{1}=y+\varepsilon h(x, y) .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{d y_{i}}{d x}=\varepsilon f_{8}{ }^{\sigma}(y)+\varepsilon f_{p}(x, y)+\varepsilon \frac{\partial h}{\partial x}+\varepsilon^{2} \frac{\partial h}{\partial y} f(x, y) .
\]

Выберем
\[
h(x, y)=-\int_{0}^{x} f_{p}(\xi, y) d \xi
\]

Следовательно,
\[
\frac{d y_{i}}{d x}=\varepsilon f_{s}\left(y_{1}\right)+\varepsilon^{2} \varphi\left(x, y_{1}, \varepsilon\right) .
\]

Наконец, определим новую переменную
\[
y_{2}\left(y_{1}\right)=\int_{0}^{y_{1}} \frac{c d \xi}{f_{s}(\xi)},
\]

где постоянная $c$ определяется из условия $y_{2}(2 \pi)-y_{2}(0)=2 \pi$, т. e.
\[
\int_{0}^{2 \pi} \frac{c d \xi}{f_{s}(\xi)}=2 \pi .
\]

Условие $f_{s}(y)>0$ имеет очевидный смысл и необходимо для существования последнего интеграла. Для $y_{2}$ получаем, наконец, такое уравнение:
\[
\frac{d y_{2}}{d x}=\varepsilon c+\varepsilon^{2} \psi\left(x, y_{2}, \varepsilon\right) .
\]

Повторив процесс, получим
\[
\frac{d y_{3}}{d x}=\varepsilon c^{\prime}+\varepsilon^{4} \theta\left(x, y_{3}, \varepsilon\right)
\]

и т. д.
Можно привести очень много примеров, использующих идеи, содержащиеся в теореме Колмогорова. Тот вид (3.2.3), который, как мы предположили, имеет функция Гамильтона $H$, является немного менее общим, чем в оригинальном изложении Колмогорова, а условия невырожденности, получающиеся при этом, могут быть сделаны болеө наглядными и напоминают разложение гамильтониана в окрестности положения равновесия или периодического решения. Действительно, приведение к системе, обладающей инвариантными многообразиями в виде торов, очевидно похоже на нормализацию Биркгофа функции $H$. То, что процедура мажорирования не может быть использована для эффективного доказательства сходимости последовательности канонических преобразований, определенных в лемме 1 , не подлежит сомнению, и в действительности Арнольд и Мозер смогли обойтись без мажорирования. Гораздо более важным вопросом, требующим особого рассмотрения, является то, что обычно задача вырождена и, следовательно, не годится ни теорема Колмогорова, ни теоремы Мозєра, которые будут обсуждаться в следующей главе. Если $n$ — число стеценей свободы, то отсутствие $m<n$ переменных действие в гамильтониане невозмущенного движения эквивалентно наличию $m$ линейных связей между $n$ ненулевыми частотами, определяемых соответствующей невозмущенной системой. Только что рассмотренный пример представляет собой первое удачное приближение к решению этого вопроса, хотя проведенное Арнольдом изучение отображения окружности на себя, начатое в работе [3], уже содержит в себе идеи, необходимые для решения вопроса в общей постановке, что и было затем сделано в работе [7].

Для системы с $n$ степенями свободы существование одной целочисленной линейной связи между невозмущенными частотами соответствует наличию одного типа малых делителей при классическом использовании метода Пуанкаре. Существование $n-1$ таких связей соответствует невозмущенному периодическому движению. В обоих случаях можно показать существование условно-периодических движений при наличии аналитических и достаточно малых возмущений. Отсутствие некоторого числа переменных действие в невозмущенном движении, согласно Арнольду, называется собственным вырождением, и такие случаи, за исключением линейных, являются наиболее общими в физике. Для случаев собственного вырождения известен основной результат, полученный Арнольдом и справедливый также в общем случае независимо от числа отсутствующих в $H_{0}$ переменных действие. В работе [4] по классической теории возмущений Арнольд привел пример, в котором встречаются вместе все известные трудности, которые могут помешать сходимости в классических теориях, подобных методу Линдстедта — Пуанкаре. Рассматривалась задача взаимного влияния планет с иррациональными средними движениями (средняя угловая скорость движения вокруг Солнца). Случай рациональных средних движений может быть рассмотрен аналогично, что и было в действительности обнаружено в работе Мозера [35]. В плоском случае задача имеет четыре степени свободы, гамильтониан нулевого порядка (описывающий кеплеровское взаимодействие) зависит только от двух импульсов, а также вводится предположение о близости частот к рациональным значениям, настолько близко, насколько әто позволяет условие (3.6.1). Имеется как собственное вырождение, так и вырождение, обусловленное переходом от круговых орбит шланет к эллиптическим.

Определив лагранжево движение как движение медленно вращающегося в плоскости эллипса, у которого большая полуось, эксцентриситет и долгота перицентра совершают короткопериодические колебания малой амплитуды. Арнольд доказал следующее утверждение [4]. Рассмотрим движение двух планет в одной плоскости вокруг Солнца, и пусть их общий центр масс неподвижен, а $a_{k}$ и $e_{k}(k=1,2)$ — большие полуоси и эксцентриситеты орбит планет. Определим в восьмимерном фазовом пространстве область $D(\delta): 0<c_{k}<a_{k}<C_{k} ; e_{k}<\delta(k=1,2)$. И пусть $m_{k}=\mu \alpha_{k}(k=1,2)$ — массы планет, где $\alpha_{k}$ — постоянные. Тогда имеет место такая теорема.

Теорема. Для любого $\eta>0$ существует $\varepsilon>0$ такое, что если $\mu<\varepsilon, \delta<\varepsilon$, то большинство точек области $D(\delta)$, за исключением множества меры, меньшей $\eta$ mes $D(\delta)$, движется так, что
1) точка всегда остается в $D(\delta)$;
2) она совершает условно-периодическое движение на аналитических четырехмерных торах из $D(\delta)$;
3) она всегда остается ближе, чем $\eta, \boldsymbol{к}$ точке в фазовом пространстве, которая совершает некоторое лагранжево движение.

По существу, этот результат является решением вопроса об устойчивости, в том смысле, что для упомянутого исключительного множества, везде плотного и неограниченного, движение будет топологически неустойчивым. Арнольд также сделал аналогичное заключение о наблюдаемых в природе щелях в распределении малых планет ${ }^{1}$ ).

При отсутствии линейных пелочисленных связей между частотами медленно изменяюцихся переменных (средние долготы планет), в соответствии с теоремой Колмогорова, можно применить метод усреднения относительно таких переменных. Гамильтониан приводится к виду
\[
F=F_{0}(L)+\mu F_{1}(\boldsymbol{L}, \xi, \eta)+O\left(\mu^{2}\right),
\]

где $\boldsymbol{L}=\left(L_{1}, L_{2}\right)$ — усредненные переменные действие, соответствующие средним долготам, а
\[
\xi_{k}+i \eta_{k}=e_{k} \exp \left(i \omega_{k}\right) \quad(k=1,2),
\]
$\omega_{k}$ — долгота перицентра планеты номер $k$. Затем гамильтониан приводится к (укороченной) нормальной форме в окрестности
1) Важные результаты в этой задаче получены в работе А. Д. Брюно [26*] (прим. перев.).

устойчивого положения равновесия $\xi_{k}=\eta_{k}=0$, т. е. к виду
\[
F=F_{2}(\boldsymbol{r})+F_{3}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\boldsymbol{r}=\left(r_{1}, r_{2}\right), \boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right), \quad F_{3}=O\left(r^{3}\right)$, а
\[
\mu F_{2}=v_{1} r_{1}+v_{2} r_{2}+c_{11} r_{1}^{2}+2 c_{12} r_{1} r_{2}+c_{22} r_{2}^{2} .
\]

Следовательно, в новых канонических переменных ( $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\theta}$ )
\[
F=F_{0}\left(\boldsymbol{L}^{\prime}\right)+\mu F_{2}\left(\boldsymbol{L}^{\prime}, \boldsymbol{r}\right)+O\left(\mu^{2}, r^{3}\right) .
\]

При этом $r_{k}=O\left(e_{k}^{2}\right)$. Частоты $v_{1}$ и $v_{2}$ являются величинами порядка $O(\mu)$, т. е. они соответствуют медленно меняющимся углам $\theta_{1}, \theta_{2}$. Условно-периодические решения получаются использованием итеративной процедуры ньютоновского типа, в которой достигнута квадратичная сходииость.

Оригинальная формулировка теоремы Арнольда для вырожденных систем, обобщающая описанный выше результат, может быть изложена в следующем виде. Пусть гамильтониан имеет вид
\[
H=H_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)+\varepsilon H_{1}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $k<n$, функция $H_{1}$ является $2 \pi$-периодической по каждой из переменных $y_{i}$ и аналитической при $x \in D$ и $|\operatorname{Im} y|<\zeta$. Предположим, что при $\varepsilon=0$ движение является условно-периодическим и определяется формулами
\[
\dot{y}_{i}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{i}}=\omega_{i}, \quad \dot{x}_{i}=0 \quad(i=1, \ldots, k)
\]
n
\[
\dot{y}_{j}=\dot{x}_{j}=0 \quad(j=k+1, \ldots, n) .
\]

При условии, что среднее значевие от $H_{1}$ по отношению к $y_{1}, \ldots$ $\ldots, y_{k}$ не зависит от $y_{k+1}, \ldots, y_{n}$, т. е.
\[
\int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} H_{1}(y, x) d y_{1} \ldots d y_{k}=\widetilde{H}_{1}(x),
\]

можно показать, что при достаточно малых $\varepsilon$ для большинства начальных условий (так же, как и в предыдущей теореме, исключительное множество является связным, всюду плотным и неограниченным) движение, определяемое гамильтонианом $H$, для всех моментов времени мало отличается от условно-периодического, определяемого частотами $\dot{y}_{j}=\partial \bar{H} / \partial x_{j}=\omega_{j}$ (где для $j=1, \ldots, n \quad x_{j}$ — постоянные) п гамильтонианом $\bar{H}=H_{0}(x)+$ $+\varepsilon \bar{H}_{1}(x)$. Начальные условия должны быть таковы, чтобы
\[
\left|j_{1} \omega_{1}+\ldots+j_{k} \omega_{k}\right|>K(\omega)\left(\sum_{l=1}^{k}\left|j_{l}\right|\right)^{-k-1}
\]

для выбранной соответствующим образом постоянной $K$. Точнее, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Пусть при $x \in D$ матрицы
\[
\left\{\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right\} \quad(i, j=1, \ldots, k), \quad\left\{\frac{\partial^{2} H_{1}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right\} \quad(i, j=k+1, \ldots, n)
\]

являются неособенными. Пусть $T$ — тороидальная область
\[
\left\{\operatorname{Im} x=\operatorname{Im} \boldsymbol{y}=0 ; \boldsymbol{x} \in D ; 0 \leqslant y_{i} \leqslant 2 \pi, i=1, \ldots, n\right\} .
\]

Для данного произвольного $\eta>0$ существует $\varepsilon_{0}>0$, такое, что, если $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$, то в $T$ есть аналитические $n$-мерные инвариантные торы, и движение на них является условно-периодическим. Торы образуют в $T$ нигде не плотное множество, мера дополиения которого меньше $\eta$ mes $T$.

Эта теорема является более простой эквивалентной формой сложной теоремы Арнольда, приведенной в § 3 настоящей главы. Стоит отметить, что предшествующая теорема о планетарном движении является очень важной, так как она дает репение проблемы в случае, когда имеется два разных типа вырождения: предельное вырождение $r_{k}=0$ (или $e_{k}=0$ ), соответствующее круговым орбитам, и собственное зырождение $\mu=0$, при котором для описания певозмущенного движения необходимо меньше частот, чем для описания возмущенного движения.

Для общих линейных систем, рассмотренных в четвертом (уравнение (3.4.17)) и пятом (уравнение (3.5.3)) параграфах, наиболее ранние результаты были получены Боголюбовым [13] и дополнены Митропольским [28]. Новые результаты в этой области были получены Мозером [34] и затем улучшены в замечательной работе [35] того же автора.
Боголюбов [12] установил следующую теорему.
Теорема. Если $\operatorname{Re} \Omega_{k} \leqslant-\gamma<0$ и в достаточно мало, то система
\[
\dot{y}=\Omega y+\varepsilon g(t, y, \varepsilon),
\]

дде $\Omega=\operatorname{diag}\left(\Omega_{1}, \ldots, \Omega_{n}\right)$, имеет почти-периодическое решение, если $\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{y}, \varepsilon)$ — почти-периодическая функция. Если $\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{y}, \varepsilon)$ условно-периодическая функция с базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ и аналитическая, то таким же будет и решение этих уравнений.

Как мы уже видели в этом разделе (уравнение (3.6.3), теорема 1), система
\[
\dot{x}=\omega+\lambda+\varepsilon f(x, \varepsilon, \lambda)
\]
допускает решение для $\lambda=\lambda(\varepsilon)$ вида
\[
\boldsymbol{x}=\omega t+\boldsymbol{c}+\varepsilon \boldsymbol{u}(\omega t+\boldsymbol{c}, \varepsilon),
\]

где $\boldsymbol{c}$-соответствующим образом подобранный постоянный вектор $\boldsymbol{c}=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)$.Это утверждение было доказано Арнольдом.

Основная теорема Боголюбова сводит воедино оба этих типа систем п может быть сформулирована следующим образом.

Теорема (Боголюбов [12]). Если для системы дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\omega+\lambda+\varepsilon f(x, y, \lambda, \varepsilon), \\
\dot{y}=\Omega y+\varepsilon g(x, y, \lambda, \varepsilon)
\end{array}
\]

предположить, что
\[
\left|\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}\right| \geqslant \gamma|\boldsymbol{j}|^{-\boldsymbol{\tau}}, \quad \operatorname{Re} \Omega_{h} \leqslant-\gamma<0,
\]

то существует $\lambda=\lambda(\varepsilon)$, такое, что система обладает $n$-параметрическим семейством условно-периодических решений
\[
\begin{array}{l}
x=\omega t+c+\varepsilon u(\omega t+c, \varepsilon), \\
y=\varepsilon v(\omega t+c, \varepsilon),
\end{array}
\]

где все рассматриваемые функции аналитичны по всем входящим в них аргументам.

Вектор $\boldsymbol{x}$ предполагается $n$-мерным, а вектор $\boldsymbol{y}-m$-мерным. Мозер [34] показал справедливость этих результатов для случая, когда $f$ и $g$ дифференцируемы, сведя задачу к исследованию потока на торах. Однако он пошел еще дальше и доказал следующую теорему.
Теорема. При условиях
\[
\begin{array}{r}
\left|i\left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \omega\right)-\Omega_{k}\right| \geqslant \gamma|\boldsymbol{j}|^{-\tau}, \quad \boldsymbol{j}=\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right), \\
\left|i\left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \omega\right)-\Omega_{k}+\Omega_{l}\right| \geqslant \gamma|\boldsymbol{j}|^{-\tau} \quad(k, l=1, \ldots, n)
\end{array}
\]

существуют $\lambda=\lambda(\varepsilon), \mu=\mu(\varepsilon), M=M(\varepsilon)$, аналитические по $\varepsilon$, уничтожающиеся при $\varepsilon=0$ и удовлетворяющие условиям
\[
\Omega^{*} \mu=0, \quad M \Omega^{*}-\Omega^{*} M=0,
\]

где * означает транспонирование, такие, что система уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{x}}=\omega+\lambda+\varepsilon f(x, y, \varepsilon, \lambda, \mu) \\
\dot{y}=\Omega y+\mu+M y+\varepsilon g(x, y, \varepsilon, \lambda, \mu)
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{x}-$ п-мерный, а $\boldsymbol{y}-m$-мерный векторы, $\boldsymbol{f}, \boldsymbol{g}$ — аналитические по всем аргументам и $2 \pi$-периодические по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ функции, имеет условно-периодическое решение с частотами $\boldsymbol{\omega}, \Omega$.

Это означает, что существует такое аналитическое преобразование
\[
\begin{array}{l}
x=\xi+\varepsilon \boldsymbol{u}(\xi, \varepsilon), \\
y=\eta+\varepsilon \boldsymbol{v}(\xi, \varepsilon)+\varepsilon \boldsymbol{V}(\xi, \varepsilon) \eta,
\end{array}
\]

что выписанная выше система (3.6.11) принимает вид
\[
\dot{\xi}=\omega+O(\eta), \quad \dot{\eta}=\Omega \eta+O\left(\eta^{2}\right) .
\]

Уравнение Хилла. В качестве примера того специального случая, с которым мы имели дело в § 5, рассмотрим уравнение Хилла
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=2 \varepsilon^{2} z \sum_{k \geqslant 1} \alpha_{k} \cos 2 k \tau,
\]

где
\[
\omega=1+\varepsilon-\frac{3}{4} \varepsilon^{2}+\frac{3}{4} \varepsilon^{3}+O\left(\varepsilon^{4}\right) .
\]

Введем замену переменных
\[
z=\sqrt{\frac{2 x}{\omega}} \sin y, \quad \dot{z}=\sqrt{2 \omega x} \cos y
\]

и получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon^{2} \frac{x}{\omega} \sum_{k \geqslant 1} \alpha_{k}[\sin 2(y+k \tau)+\sin 2(y-k \tau)], \\
\dot{y}=\omega-\varepsilon^{2} \frac{1}{2 \omega} \sum_{k \geqslant 1} \alpha_{k}[2 \cos 2 k \tau-\cos 2(y+k \tau)-\cos 2(y-k \tau)] .
\end{array}
\]

Теперь найдем преобразование координат вида (3.6.12), т. е.
\[
\begin{array}{l}
x=\xi+\varepsilon X(\eta, \tau, \varepsilon)+\varepsilon \tilde{X}(\eta, \tau, \varepsilon) \xi, \\
y=\eta+\varepsilon Y(\eta, \tau, \varepsilon),
\end{array}
\]

и приведем уравнения (3.6.14) к форме
\[
\dot{\xi}=O\left(\xi^{2}\right), \quad \dot{\eta}=\Omega+O(\xi),
\]

где для некоторого $\lambda$
\[
\Omega=\omega-\varepsilon \lambda(\varepsilon, \omega), \quad|j \Omega-k| \geqslant \varepsilon^{\prime}|j|^{-\alpha}
\]

при выбранных соответствующим образом $\varepsilon^{\prime}$ п $\alpha$. 12*

Зигель [41] показал, что при $0<\Omega<1$ множество значений $\Omega$, которые не удовлетворяют вышисанным выше условиям $(k, j$ — целые числа и $j
eq 0)$, имеет меру, меньшую чем $2 \pi \varepsilon^{\prime}\left(1+\varepsilon^{\prime}\right) / 3$.

В соответствии с уравнением (3.5.4) и утверждениями, приведенными в конце $\S 5$, положим
\[
\begin{array}{ll}
\lambda=\sum_{k \geqslant 0} \lambda_{k} \varepsilon^{k}, & Y_{k}=\sum_{p, q} Y_{k}^{(p, q)} \exp i(p \eta+q \tau), \\
Y=\sum_{k \geqslant 0} Y_{k} \varepsilon^{k}, & X=\left(1+\varepsilon \frac{\partial Y}{\partial \eta}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Уравнения для определения $Y_{k}$ при $k=0,1,2, \ldots$ имеют вид
\[
\Omega \frac{\partial Y_{k}}{\partial \eta}+\frac{\partial Y_{k}}{\partial \tau}=\lambda_{k}+G_{k}\left(\lambda_{0}, \ldots, \lambda_{k-1}, \eta, \tau\right),
\]

и мы определим величину $\lambda_{k}$ как среднее значение от $-G_{k}$ по отношению к $\eta, \tau$. Действительно, легко видеть, что $G_{k}$ в (3.6.15) по предположению имеет вид
\[
G_{k}=\sum_{p, q} G_{k}^{(p, q)} \exp [i(p \eta+q \tau)]
\]

так что в силу сделанного предположения об иррациональности $\Omega$ имеем
\[
\lambda_{k}=-G_{k}^{(0,0)}, \quad Y_{k}^{(p, q)}=-i \frac{G_{k}^{(p, q)}}{p \Omega+q}
\]

для всех $p, q$, не обращающихся одновременно в нуль. В случае уравнения Хилла (3.6.13) находим (см. [20])
\[
\lambda_{0}=\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \quad \lambda_{3}=\frac{225 \Omega}{16 \omega^{2}\left(\Omega^{2}-1\right)} .
\]
С.тедовательно,
\[
\omega-\Omega=\varepsilon \lambda=\frac{225 \varepsilon^{4} \Omega}{160^{2}\left(\Omega^{2}-1\right)}+O\left(\varepsilon^{5}\right)
\]

или, подставляя значение $\omega$, получаем
\[
\Omega=1+\varepsilon-\frac{3}{4} \varepsilon^{2}-\frac{201}{32} \varepsilon^{3}+O\left(\varepsilon^{4}\right),
\]

что совпадает с выражением д.я $c_{0}$ (см. [15], стр. 276), полученным при вычислении бесконечного определителя последовательными приближениями от гхавной диагонали. Здесь использованы те же обозначения, что и в работе автора [20]:
\[
\tau=t-t_{0}, \quad \varepsilon \equiv m=n-n^{\prime},
\]

где величины $t, t_{0}, n, n^{\prime}$ определены в работе Брауна [15].
Для изучения общих методов построения условно-периодических решеншй нелинейных уравнений рассмотренного выше типа с помощью сходящихся разложений в ряды мы отсылаем читателя к работе Мозера [35]. По нашему мнению, эта работа содержит в себе большинство из того, что было сделано в теории возмущений. Системы уравнений в вариациях в окрестности положения равновесия или периодического решения также рассмотрены в этой работе, и там можно найти много интересных ответов на исследуемые здесь вопросы. Что касается резонансных случаев или случаев рациональности частот $\omega, \Omega$, то они будут рассмотрены в конце главы $\mathrm{V}$ настоящей книги именно с этой точки зрения.

Другие применения теоремы Колмогорова. Кроме уже упомянутых примеров, мы закончим этот раздел указанием на то, что Баррар [8] использовал теорему Колмогорова для доказательства существования условно-периодических орбит искусственных спутников сжатой Земли. Однако он пе мог рассматривать орбиты с эксцентриситетами, стремящимися к нулю, из-за появляющегося предельного вырождения. Такое рассмотрение можно провести, если использовать упомянутый выпе модифицированный подход Арнольда.

Мозер применил [30] теорему Колмогорова для построения условно-периодических решений уравнения Дюффинга без демпфирования
\[
\ddot{x}+a x+b x^{3}=\varepsilon f(t, x, \dot{x}),
\]

где $f$-условно-периодическая функция времени $t$ с базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ и вещественная аналитическая функция относительно $x, \dot{x}$. Как обычно, считается, что цри $\tau>n-1$ существует постоянная $K>0$, такая, что условия
\[
\left|\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{j}_{0}\right| \geqslant K|\boldsymbol{j}|^{-\boldsymbol{\tau}}, \quad \boldsymbol{j}=\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right)
\]

удовлетворяются для почти всех а. При этих условиях Мозер показал, что џри $f$, удовлетворяющей еще условию
\[
f(t, x, \dot{x})=f(-t, x,-\dot{x}),
\]

существует вещественная аналитическая функция $\tilde{a}(\varepsilon)$ и условно-периодическое решение $x=\varphi(t, \varepsilon)$ с базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, такие, что $\tilde{a}(0)=a, \varphi(t, 0)=0$. В конечном счете это еще не дает решения уравнєния (3.6.16), так как коэффициент при $x$ должен быть приведен к некоторому $\tilde{a}(\varepsilon)
eq a$. Метод, развитый Мозером, не является цросто непосредственным применением теоремы Колмогорова, а некоторым новым подходом к рассматриваемой конкретной задаче, также и потому, что не требуется, чтобы исходное уравнение имело гамильтонов вид. Член $b x^{3}$ рассматривается как возмущение. Уравнение переписывается в комплексной форме
\[
\dot{z}=i \tilde{a} z+b x^{3}+\varepsilon f(t, x, \dot{x}),
\]

где $z=x+i \dot{x}$, а $\tilde{a} / a$ полагается изменяющимся на отрезке $[1-\mu, 1+\mu]$ при малом $\mu$. Запишем
\[
y=\tilde{a}-a=O(\mu),
\]

так что уравнение примет вид
\[
\dot{z}=i(a+y) z+\varepsilon g(\theta, z, \vec{z}),
\]

где $\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right), \theta_{k}=\omega_{k} t$.
Тогда существует преобразование координат
\[
y=\eta+u(\eta), \quad z=\zeta+v(\theta, \zeta, \bar{\zeta}, \eta),
\]

такое, что в результате ряда последовательных приближений уравнение приводится к виду
\[
\dot{\zeta}=i(a+\eta) \zeta,
\]

который и используется для доказательства упомянутого результата.