Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Выполнимость условия иррациональности где $s=n+1$, может быть установлена в следующей теореме, сформулированной в работе Хинчина [23] и обсуждавшейся также в работе Коксмы [24]. Теорема. Почти каждый єектор $\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$ удовлетворяет выписанным выше неравенствам (3.6.1) для всех ненулееых целочисленных векторов $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ и выбранной соответствующим образом величины $K(\omega)>0$. Доказательство теоремы является весьма простым и опирается на тот факт, что неравенства (3.6.1) не выполняются только в резонансных областях, ширина которых меньше $2 K|k|^{-s}$, где $|\boldsymbol{k}|=\sum\left|k_{j}\right|$, для данных $\boldsymbol{k}, K$ и $\omega$ из ограниченной области $\Omega(\omega)$. Этот факт очень сильно влияет на сходимость итераций, так как, считая функцию $F(z)$ аналитической (см. уравнение $(3.2 .20)$ ), получаем, что ее коэффициенты $f_{(k)}$ убывают экспоненциально быстро, т. е. для некоторых положительных вещественных чисел $\boldsymbol{M}, \rho$ имеем и, следовательно, из (3.2.22) получаем где $p=2 n+3$, а $L, \delta$ – выбранные соответствующим образом постоянные. Это приводит к сходимости ряда для производящей функции метода Пуанкаре $S$ в кольце $\Gamma(\rho-\delta)$. Колмогоров [25] предложил следующий подход к решению вопроса о сходимости последовагельности канонических преобразований, определяемых функцей $S$. Рассмотрим инвариантный тор $T\left(\omega^{*}\right)$ возмущенной системы; движение на нем будет условно-периодическим с заданными заранее частотами $\omega^{*}=\left(\omega_{1}^{*}, \ldots\right.$ ..,$\left.\omega_{n}^{*}\right)$, удовлетворяющими условиями (3.6.1). Тор $T\left(\omega^{*}\right)$ расположен в окрестности соответствующего тора невозмущенной системы, определяемой гамильтонианом $H_{0}(\boldsymbol{x})$, т. е. В этой окрестности можно ввести новые переменные $x^{\prime}, y^{\prime}$ с помощью аналитического канонического преобразования, определяемого функцией $S$, а гамильтониан тогда принимает вид где соотношение $\left|H_{1}^{(1)}\right| \sim\left|H_{1}\right|^{2}$ дает начало квадратичной сходимости ньютоновского типа, что обсуждалось в работах Нәша [37] и Канторовича [22]. Такой подход изменяет характер сходимости последовательных приближений, который был указан после уравнения (3.2.1) и где было получено только линейное сжатие, так же как и при классическом подходе в методе Пуанкаре. Оденки из леммы 1 могут быть получены с помощью процедуры мажорирования, однако, как указывал Мозер [35], оценки с помощью мажорирующих рядов не приводят к сходимости. Оценки Мозера привели к мажорирующим рядам $\sum_{p}(p !)^{2 s} \mu^{p}$, которые расходятся для всех $\mu>0$. В модифицированном методе Ньютона, предложенном Колмогоровым, точность увеличивается как степень двух и предыдущие ряды заменяются на ряды $\sum_{p}(p !)^{2 s} \mu^{2^{p}}$, которые сходятся при достаточно малых $\mu>0$. Как указывал сам Колмогоров, его теорема непосредственно применима в некоторых классических задачах динамики, например, в следующих задачах. и, следовательно, преобразование формально расходится, в том смысле, что $\operatorname{det}\left\{\partial^{2} H_{0} / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\}=0$, но модифицированное условиө удовлетворено, и теорема Колмогорова применима. и в результате получить $\operatorname{det}\left\{\partial^{2} F_{0} / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\} Если $\omega_{1} \omega_{2}>0$, то устойчивость гарантируется тем, что квадратичная форма $H_{2}$ в $H$ будет знакоопределенной ${ }^{3}$ ), хотя это ус- ловие и является только достаточным. Для доказательства устойчивости в случае $\omega_{1} \omega_{2}<0$ функция $H$ приводится к нормальной форме до членов четвертой степени, что, в соответствии с результатами Биркгофа [11], можно сделать, если $j_{1} \omega_{1}+j_{2} \omega_{2} Тогда теорема Арнольда утверждает, что: то положение равновесия $x_{k}=y_{k}=0 \quad(k=1,2)$ устойчиво. Распространение результатов Колмогорова на случай вырожденных систем было дано Арнольдом по крайней мере для двух простых примеров: в классической задаче получения условнопериодических решений из перлодических невозмущенных орбит [2] и в вырожденной задаче взаимодействия двух шланет [4]. В первой задаче он рассматривал движение точки ( $y_{1}, y_{2}$ ) на торе $T_{2}$. Это движение будет условно периодическим, если где $\lambda$ – иррациональное число. Близкая система (возмущенная) дифференциальных уравнений на торе может быть записана в виде где $\alpha, \varepsilon$ – параметры, а функция $f\left(y_{1}, y_{2}\right)$ предполагается аналитической. Теорема Колмогорова в этом случае подразумевает, что если возмущение $\varepsilon f\left(y_{1}, y_{2}\right)$ достаточно мало, то можно найти такое $\alpha=\alpha_{f}(\varepsilon)$, что при соответствующей замене переменных уравнение (3.6.3) примет вид (3.6.2). Это и было показано Apнольдом в работе [3]. Вопрос о вырождении здесь возникает тогда, когда $\lambda=0$ (или рационально), так что невозмущенное движение является периодическим и происходит по окружностям $y_{1}=$ const. В случае иррационального $\lambda$ приведение (3.6.3) к виду (3.6.2) использует тот факт, что величина $n \lambda+m$ может быть ограничена снизу с помощью неравенства для всех делых $m$ и $n Теорема 1. Пусть на торе $T_{2}$ дано дифференцальное уравнение где в-параметр, а $f$-аналитическая функция. Пусть точки $y_{1}+2 \pi$ и $y_{2}+2 \pi$ отождествлены с точками $y_{1} u y_{2}$, а для всех $y_{1}$.. Тогда для всех достаточно малых $\lambda \in \Lambda(K)$ можно найти $\varepsilon(\lambda)$ и замену переменных $z=z_{\lambda}\left(y_{1}, y_{2}\right)$, аналитическую по $y_{1}$ и $y_{2}$, такие, что уравнение (3.6.5) приводится $к$ виду Множество $\varepsilon(\lambda)$ при $\lambda \in \Lambda$ имеет положительную меру и нуль лвляется точкой накопления множества. Для доказательства теоремы к уравнению (3.6.5) применяется классическая процедура усреднения, и оно приводится к виду После того как такое приведение осуществлено, рассматривается следующая теорема. Теорема 2. Теорема 1 справедлива для уравнения (3.6.6) на торе $T_{2}$, где $c$ – постоянная, а $F\left(y_{1}, y_{2}, \varepsilon\right)$ – аналитическая функция. Теперь видно, что получена квадратичная сходимость. В конечном счете это приводит к тому, что и после $n$-кратного применения процедуры усреднения получаем В общем случае, если $\left|\varepsilon^{2} F\right|<M<|\varepsilon c| \delta^{4}$, то после преобразования новая функция $F_{\text {нов }}$ удовлетворяет неравенству Величину $\delta>0$ можно выбрать так, что а это и обеспечивает сходимость. и пусть среднее значение функции для всех $0 \leqslant y \leqslant 2 \pi$. Определим также $f_{p}=f-f_{s}=f_{p}(x, y)$ и рассмотрим замену переменной Отсюда следует, что Выберем Следовательно, Наконец, определим новую переменную где постоянная $c$ определяется из условия $y_{2}(2 \pi)-y_{2}(0)=2 \pi$, т. e. Условие $f_{s}(y)>0$ имеет очевидный смысл и необходимо для существования последнего интеграла. Для $y_{2}$ получаем, наконец, такое уравнение: Повторив процесс, получим и т. д. Для системы с $n$ степенями свободы существование одной целочисленной линейной связи между невозмущенными частотами соответствует наличию одного типа малых делителей при классическом использовании метода Пуанкаре. Существование $n-1$ таких связей соответствует невозмущенному периодическому движению. В обоих случаях можно показать существование условно-периодических движений при наличии аналитических и достаточно малых возмущений. Отсутствие некоторого числа переменных действие в невозмущенном движении, согласно Арнольду, называется собственным вырождением, и такие случаи, за исключением линейных, являются наиболее общими в физике. Для случаев собственного вырождения известен основной результат, полученный Арнольдом и справедливый также в общем случае независимо от числа отсутствующих в $H_{0}$ переменных действие. В работе [4] по классической теории возмущений Арнольд привел пример, в котором встречаются вместе все известные трудности, которые могут помешать сходимости в классических теориях, подобных методу Линдстедта – Пуанкаре. Рассматривалась задача взаимного влияния планет с иррациональными средними движениями (средняя угловая скорость движения вокруг Солнца). Случай рациональных средних движений может быть рассмотрен аналогично, что и было в действительности обнаружено в работе Мозера [35]. В плоском случае задача имеет четыре степени свободы, гамильтониан нулевого порядка (описывающий кеплеровское взаимодействие) зависит только от двух импульсов, а также вводится предположение о близости частот к рациональным значениям, настолько близко, насколько әто позволяет условие (3.6.1). Имеется как собственное вырождение, так и вырождение, обусловленное переходом от круговых орбит шланет к эллиптическим. Определив лагранжево движение как движение медленно вращающегося в плоскости эллипса, у которого большая полуось, эксцентриситет и долгота перицентра совершают короткопериодические колебания малой амплитуды. Арнольд доказал следующее утверждение [4]. Рассмотрим движение двух планет в одной плоскости вокруг Солнца, и пусть их общий центр масс неподвижен, а $a_{k}$ и $e_{k}(k=1,2)$ – большие полуоси и эксцентриситеты орбит планет. Определим в восьмимерном фазовом пространстве область $D(\delta): 0<c_{k}<a_{k}<C_{k} ; e_{k}<\delta(k=1,2)$. И пусть $m_{k}=\mu \alpha_{k}(k=1,2)$ – массы планет, где $\alpha_{k}$ – постоянные. Тогда имеет место такая теорема. Теорема. Для любого $\eta>0$ существует $\varepsilon>0$ такое, что если $\mu<\varepsilon, \delta<\varepsilon$, то большинство точек области $D(\delta)$, за исключением множества меры, меньшей $\eta$ mes $D(\delta)$, движется так, что По существу, этот результат является решением вопроса об устойчивости, в том смысле, что для упомянутого исключительного множества, везде плотного и неограниченного, движение будет топологически неустойчивым. Арнольд также сделал аналогичное заключение о наблюдаемых в природе щелях в распределении малых планет ${ }^{1}$ ). При отсутствии линейных пелочисленных связей между частотами медленно изменяюцихся переменных (средние долготы планет), в соответствии с теоремой Колмогорова, можно применить метод усреднения относительно таких переменных. Гамильтониан приводится к виду где $\boldsymbol{L}=\left(L_{1}, L_{2}\right)$ – усредненные переменные действие, соответствующие средним долготам, а устойчивого положения равновесия $\xi_{k}=\eta_{k}=0$, т. е. к виду где $\boldsymbol{r}=\left(r_{1}, r_{2}\right), \boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right), \quad F_{3}=O\left(r^{3}\right)$, а Следовательно, в новых канонических переменных ( $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{\theta}$ ) При этом $r_{k}=O\left(e_{k}^{2}\right)$. Частоты $v_{1}$ и $v_{2}$ являются величинами порядка $O(\mu)$, т. е. они соответствуют медленно меняющимся углам $\theta_{1}, \theta_{2}$. Условно-периодические решения получаются использованием итеративной процедуры ньютоновского типа, в которой достигнута квадратичная сходииость. Оригинальная формулировка теоремы Арнольда для вырожденных систем, обобщающая описанный выше результат, может быть изложена в следующем виде. Пусть гамильтониан имеет вид где $k<n$, функция $H_{1}$ является $2 \pi$-периодической по каждой из переменных $y_{i}$ и аналитической при $x \in D$ и $|\operatorname{Im} y|<\zeta$. Предположим, что при $\varepsilon=0$ движение является условно-периодическим и определяется формулами При условии, что среднее значевие от $H_{1}$ по отношению к $y_{1}, \ldots$ $\ldots, y_{k}$ не зависит от $y_{k+1}, \ldots, y_{n}$, т. е. можно показать, что при достаточно малых $\varepsilon$ для большинства начальных условий (так же, как и в предыдущей теореме, исключительное множество является связным, всюду плотным и неограниченным) движение, определяемое гамильтонианом $H$, для всех моментов времени мало отличается от условно-периодического, определяемого частотами $\dot{y}_{j}=\partial \bar{H} / \partial x_{j}=\omega_{j}$ (где для $j=1, \ldots, n \quad x_{j}$ – постоянные) п гамильтонианом $\bar{H}=H_{0}(x)+$ $+\varepsilon \bar{H}_{1}(x)$. Начальные условия должны быть таковы, чтобы для выбранной соответствующим образом постоянной $K$. Точнее, можно сформулировать следующую теорему. являются неособенными. Пусть $T$ – тороидальная область Для данного произвольного $\eta>0$ существует $\varepsilon_{0}>0$, такое, что, если $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$, то в $T$ есть аналитические $n$-мерные инвариантные торы, и движение на них является условно-периодическим. Торы образуют в $T$ нигде не плотное множество, мера дополиения которого меньше $\eta$ mes $T$. Эта теорема является более простой эквивалентной формой сложной теоремы Арнольда, приведенной в § 3 настоящей главы. Стоит отметить, что предшествующая теорема о планетарном движении является очень важной, так как она дает репение проблемы в случае, когда имеется два разных типа вырождения: предельное вырождение $r_{k}=0$ (или $e_{k}=0$ ), соответствующее круговым орбитам, и собственное зырождение $\mu=0$, при котором для описания певозмущенного движения необходимо меньше частот, чем для описания возмущенного движения. Для общих линейных систем, рассмотренных в четвертом (уравнение (3.4.17)) и пятом (уравнение (3.5.3)) параграфах, наиболее ранние результаты были получены Боголюбовым [13] и дополнены Митропольским [28]. Новые результаты в этой области были получены Мозером [34] и затем улучшены в замечательной работе [35] того же автора. дде $\Omega=\operatorname{diag}\left(\Omega_{1}, \ldots, \Omega_{n}\right)$, имеет почти-периодическое решение, если $\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{y}, \varepsilon)$ – почти-периодическая функция. Если $\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{y}, \varepsilon)$ условно-периодическая функция с базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ и аналитическая, то таким же будет и решение этих уравнений. Как мы уже видели в этом разделе (уравнение (3.6.3), теорема 1), система где $\boldsymbol{c}$-соответствующим образом подобранный постоянный вектор $\boldsymbol{c}=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right)$.Это утверждение было доказано Арнольдом. Основная теорема Боголюбова сводит воедино оба этих типа систем п может быть сформулирована следующим образом. Теорема (Боголюбов [12]). Если для системы дифференциальных уравнений предположить, что то существует $\lambda=\lambda(\varepsilon)$, такое, что система обладает $n$-параметрическим семейством условно-периодических решений где все рассматриваемые функции аналитичны по всем входящим в них аргументам. Вектор $\boldsymbol{x}$ предполагается $n$-мерным, а вектор $\boldsymbol{y}-m$-мерным. Мозер [34] показал справедливость этих результатов для случая, когда $f$ и $g$ дифференцируемы, сведя задачу к исследованию потока на торах. Однако он пошел еще дальше и доказал следующую теорему. существуют $\lambda=\lambda(\varepsilon), \mu=\mu(\varepsilon), M=M(\varepsilon)$, аналитические по $\varepsilon$, уничтожающиеся при $\varepsilon=0$ и удовлетворяющие условиям где * означает транспонирование, такие, что система уравнений где $\boldsymbol{x}-$ п-мерный, а $\boldsymbol{y}-m$-мерный векторы, $\boldsymbol{f}, \boldsymbol{g}$ – аналитические по всем аргументам и $2 \pi$-периодические по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ функции, имеет условно-периодическое решение с частотами $\boldsymbol{\omega}, \Omega$. Это означает, что существует такое аналитическое преобразование что выписанная выше система (3.6.11) принимает вид Уравнение Хилла. В качестве примера того специального случая, с которым мы имели дело в § 5, рассмотрим уравнение Хилла где Введем замену переменных и получим Теперь найдем преобразование координат вида (3.6.12), т. е. и приведем уравнения (3.6.14) к форме где для некоторого $\lambda$ при выбранных соответствующим образом $\varepsilon^{\prime}$ п $\alpha$. 12* Зигель [41] показал, что при $0<\Omega<1$ множество значений $\Omega$, которые не удовлетворяют вышисанным выше условиям $(k, j$ – целые числа и $j В соответствии с уравнением (3.5.4) и утверждениями, приведенными в конце $\S 5$, положим Уравнения для определения $Y_{k}$ при $k=0,1,2, \ldots$ имеют вид и мы определим величину $\lambda_{k}$ как среднее значение от $-G_{k}$ по отношению к $\eta, \tau$. Действительно, легко видеть, что $G_{k}$ в (3.6.15) по предположению имеет вид так что в силу сделанного предположения об иррациональности $\Omega$ имеем для всех $p, q$, не обращающихся одновременно в нуль. В случае уравнения Хилла (3.6.13) находим (см. [20]) или, подставляя значение $\omega$, получаем что совпадает с выражением д.я $c_{0}$ (см. [15], стр. 276), полученным при вычислении бесконечного определителя последовательными приближениями от гхавной диагонали. Здесь использованы те же обозначения, что и в работе автора [20]: где величины $t, t_{0}, n, n^{\prime}$ определены в работе Брауна [15]. Другие применения теоремы Колмогорова. Кроме уже упомянутых примеров, мы закончим этот раздел указанием на то, что Баррар [8] использовал теорему Колмогорова для доказательства существования условно-периодических орбит искусственных спутников сжатой Земли. Однако он пе мог рассматривать орбиты с эксцентриситетами, стремящимися к нулю, из-за появляющегося предельного вырождения. Такое рассмотрение можно провести, если использовать упомянутый выпе модифицированный подход Арнольда. Мозер применил [30] теорему Колмогорова для построения условно-периодических решений уравнения Дюффинга без демпфирования где $f$-условно-периодическая функция времени $t$ с базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ и вещественная аналитическая функция относительно $x, \dot{x}$. Как обычно, считается, что цри $\tau>n-1$ существует постоянная $K>0$, такая, что условия удовлетворяются для почти всех а. При этих условиях Мозер показал, что џри $f$, удовлетворяющей еще условию существует вещественная аналитическая функция $\tilde{a}(\varepsilon)$ и условно-периодическое решение $x=\varphi(t, \varepsilon)$ с базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, такие, что $\tilde{a}(0)=a, \varphi(t, 0)=0$. В конечном счете это еще не дает решения уравнєния (3.6.16), так как коэффициент при $x$ должен быть приведен к некоторому $\tilde{a}(\varepsilon) где $z=x+i \dot{x}$, а $\tilde{a} / a$ полагается изменяющимся на отрезке $[1-\mu, 1+\mu]$ при малом $\mu$. Запишем так что уравнение примет вид где $\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right), \theta_{k}=\omega_{k} t$. такое, что в результате ряда последовательных приближений уравнение приводится к виду который и используется для доказательства упомянутого результата.
|
1 |
Оглавление
|