Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа
Псследоваиие асимптотпческого поведения решений гамильтоновых систем вилючает в себя, в частности, изучение областей возможного двнжения, инвариантных множеств, соответствующих некоторому множеству начальных условий. Эта задача является также частью задачи об устойчивости таких решений. Решения, которые рассматриваются в этом случае, являются периодическими или условно-периодическими. Введем ограничивающее определение, полезное для наших целей: функция $z(t)=\phi ({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)$ является условно-периодической, если
а) фунция $\phi$ периодична по каждой из ${\theta }_k(k=1,\dots ,2)$;
б) функция ч обладает некоторыми свойствами регуляріости, например, принадлежит классу $C^p$, или $C^{\mathrm{\infty }}$, или является аналитіческой:
в) ${\theta }_k={\omega }_{k}t+{\alpha }_k(k=1,\dots n)$, где ${\alpha }_k,{\omega }_k$ — постояниые;
г) $\sum _{k=1}^n{p}_k{\omega }_k=0$, где $p_1,\dots ,p_n$ — целье числа, тогда и только тогда, когда $p_1=\dots =p_n=0^1$ ).

Как мы уже видели, если система с гамильтонианом $I(\mathit{x},\mathit{y})$ является итегрируемой в смысте Јиувилля, то в общем случае движение будет условно-периодическим, и соответствующее инвариантное множество состоит из $n$-мерных торов, параметризованных угловыми переменными ${\eta }_k={\omega }_{k}t+{\alpha }_k(k=1,\dots ,n)$, где все ${\omega }_k$ линейно независимы на множестве целых чисел. Это эквивалентио существованию такого канонического преобразования $(\mathit{x},\mathit{y})\to (\mathit{\xi },\mathit{\eta })$, что новая функция Гамильтона, выраженная через переменные $\xi ,\eta$, будет зависеть только от переменных $\xi$ (т. е. от ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ ).

Это преобразование может определяться производящей функцией Гамильтона — Якоби $S(\xi ,y)$, такой, что
$${\eta }_k=S_{{\xi }_k},x_k=S_{y_k},$$

и, следовательно,
$${\xi }_k(x,y)=\text{ const }(k=1,\dots ,n)$$

и
$${\dot{\eta }}_k(\mathit{x},\mathit{y})=H_{{\xi }_k}(\mathit{x}(\xi ,\mathit{\eta }),\mathit{y}(\xi ,\mathit{\eta }))={\omega }_{{\eta }_l}(\xi )=\text{ const }$$

или
$${\eta }_k={\omega }_{k}t+{\alpha }_k.$$

Траектории при этом остаютя на некоторых $n$-мерных торах. Изменение начальных условий $y_k$ будет менять только начальные фазы ${\eta }_k(0)$, а сами торы не нзменяются. Изменения началыных условий для $x_k$ приведет к изменению частот ${\omega }_k$ или к изменению \»радиусов» торов, т. е. ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$. Деӥствительно, функция $W$ должна удовлетворять уравнению
$$H(\frac{\partial W}{\partial y_1},\dots ,\frac{\partial W}{\partial y_n},y_1,\dots ,y_n)=\alpha ({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),$$

так тто энергия зависит только от ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$, и любые изменения начальных фаз ${\alpha }_k$ не влияют на значение энергии.

Усховно-периодические движения обладают следующими важными свойствами.
1) Величины ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ называютея базисными частотами условно-периодической фунгции $z(t)$ (прим. перев.).

1) Траектории всюду плотны на торах. Это означает, что для любой заданной области $D$ точка $(\mathit{x}(t),\mathit{y}(t))$ тагова, что существует колечное время $t=\tau$, для которого $(\mathit{x}(\tau ),\mathit{y}(\tau ))\in D$.
2) Траектории на торах равномерно распределены, т. е. врешл $\mathrm{\Delta }t$, в течение которого точка остается в области $D$, пропорциональпо мере области $D$ для достаточно больших $\mathrm{\Delta }t$. Другими словами, для любой функции $F(y_1,\dots ,y_n)$, где $y_k={\omega }_{k}t+{\alpha }_k,R$-интегрируемой на торе, среднее значение по времени равно частному среднему зпачению по фазовым переменным
$$\begin{array}{rl}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}F({\omega }_{1}t+{\alpha }_1,\dots ,{\omega }_{n}t+{\alpha }_n)dt& \\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_0^{2\pi }\dots {\int }_0^{2\pi }F(y_1,\dots ,y_n)d{y}_1\dots d{y}_n.\end{array}$$
3) Суцествуют значения ${\xi }_1^0,\dots ,{\xi }_n^0$, такие, что для некоторых не равных одновременно нулю целых чисел $p_1,\dots ,p_n$ справедливо равенство
$${\sum _{k=1}^n{p}_k\frac{\partial I}{\partial {\xi }_k}|}_{\xi ={\xi }^{\ast }}=0.$$

В этих случаях решение системы уравнений является периодическим. Таким образом, периодическое решение связано с существованием неподвижной точки сохраняющего площадь отображения, так что решение вопроса о существовании периодического решения сводится к изучению таких особых точек. Более того, аналогичные утверждения справедливы и относительно свойства устойчивости.

Как мы видели, в окрестности нешодвижной точки эллиптического типа можно определить инвариантные торы с помощью возможного усечения нормальной формы Биркгофа. Нормальная форма показывает, что в окрестности точки эллиптического типа каждая инвариантная окружность радиуса $r$ с центром в начале координат (которое является неподвижной точкой) отображается на себя посредством преобразовання кручения
$$\alpha (r)={\alpha }_0+{\alpha }_{1}r+{\alpha }_2{r}^2+\dots$$

Если рассматривать возмущения, оказываемые оторошенными при нормализации членами, то основная задача состоит в определении того, что происходит с инвариантными окружностями (или торами). Из теоремы Колмогорова [17] следует, что большинство окружностей не разрушается, а лишь слегка деформируется.

Неподвижная точка, следовательно, оюржена замкпутыми аналитическими инвариантными кривыми, сколь угодно малыми, т. е. она устойчива. Такие кривые покрывают область ненулевой меры, и начало координат для них является точкой накопления. Однако они не покрывают целиком любую заданную окрестность начала координат. Между ними существуют зоны неустойчивости, получающиеся из-за существования таких окрестностей, что величина $\alpha (r)$ соизмерима с $2\pi$ (см. [3]). В действительности под действием возмущений от членов высшего порядка часть окружностей переходит в четное число неподзижных точек, половина из которых — точки әллиптического типа, а половина — гиперболического типа [5]. Из точек гиперболического типа рождаются орбиты, известные под названием «хаотических движений», как и предполагалось в работах Пуанкаре и как недавно показал Денби [7].