Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа
Псследоваиие асимптотпческого поведения решений гамильтоновых систем вилючает в себя, в частности, изучение областей возможного двнжения, инвариантных множеств, соответствующих некоторому множеству начальных условий. Эта задача является также частью задачи об устойчивости таких решений. Решения, которые рассматриваются в этом случае, являются периодическими или условно-периодическими. Введем ограничивающее определение, полезное для наших целей: функция $z(t)=\varphi\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right)$ является условно-периодической, если
а) фунция $\varphi$ периодична по каждой из $\theta_{k} \quad(k=1, \ldots, 2)$;
б) функция ч обладает некоторыми свойствами регуляріости, например, принадлежит классу $C^{p}$, или $C^{\infty}$, или является аналитіческой:
в) $\theta_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k} \quad(k=1, \ldots n)$, где $\alpha_{k}, \omega_{k}$ – постояниые;
г) $\sum_{k=1}^{n} p_{k} \omega_{k}=0$, где $p_{1}, \ldots, p_{n}$ – целье числа, тогда и только тогда, когда $p_{1}=\ldots=p_{n}=0^{1}$ ).

Как мы уже видели, если система с гамильтонианом $I(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ является итегрируемой в смысте Јиувилля, то в общем случае движение будет условно-периодическим, и соответствующее инвариантное множество состоит из $n$-мерных торов, параметризованных угловыми переменными $\eta_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k} \quad(k=1, \ldots, n)$, где все $\omega_{k}$ линейно независимы на множестве целых чисел. Это эквивалентио существованию такого канонического преобразования $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \rightarrow(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})$, что новая функция Гамильтона, выраженная через переменные $\xi, \eta$, будет зависеть только от переменных $\xi$ (т. е. от $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ ).

Это преобразование может определяться производящей функцией Гамильтона – Якоби $S(\xi, y)$, такой, что
\[
\eta_{k}=S_{\xi_{k}}, \quad x_{k}=S_{y_{k}},
\]

и, следовательно,
\[
\xi_{k}(x, y)=\text { const } \quad(k=1, \ldots, n)
\]

и
\[
\dot{\eta}_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=H_{\xi_{k}}(\boldsymbol{x}(\xi, \boldsymbol{\eta}), \boldsymbol{y}(\xi, \boldsymbol{\eta}))=\omega_{\eta_{l}}(\xi)=\text { const }
\]

или
\[
\eta_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k} .
\]

Траектории при этом остаютя на некоторых $n$-мерных торах. Изменение начальных условий $y_{k}$ будет менять только начальные фазы $\eta_{k}(0)$, а сами торы не нзменяются. Изменения началыных условий для $x_{k}$ приведет к изменению частот $\omega_{k}$ или к изменению \”радиусов» торов, т. е. $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$. Деӥствительно, функция $W$ должна удовлетворять уравнению
\[
H\left(\frac{\partial W}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial y_{n}}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\alpha\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\]

так тто энергия зависит только от $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, и любые изменения начальных фаз $\alpha_{k}$ не влияют на значение энергии.

Усховно-периодические движения обладают следующими важными свойствами.
1) Величины $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ называютея базисными частотами условно-периодической фунгции $z(t)$ (прим. перев.).

1) Траектории всюду плотны на торах. Это означает, что для любой заданной области $D$ точка $(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{y}(t))$ тагова, что существует колечное время $t=\tau$, для которого $(\boldsymbol{x}(\tau), \boldsymbol{y}(\tau)) \in D$.
2) Траектории на торах равномерно распределены, т. е. врешл $\Delta t$, в течение которого точка остается в области $D$, пропорциональпо мере области $D$ для достаточно больших $\Delta t$. Другими словами, для любой функции $F\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, где $y_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k}, R$-интегрируемой на торе, среднее значение по времени равно частному среднему зпачению по фазовым переменным
\[
\begin{aligned}
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F\left(\omega_{1} t+\alpha_{1}, \ldots, \omega_{n} t+\alpha_{n}\right) d t & \\
& =\frac{1}{(2 \pi)^{n}} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} F\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) d y_{1} \ldots d y_{n} .
\end{aligned}
\]
3) Суцествуют значения $\xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}$, такие, что для некоторых не равных одновременно нулю целых чисел $p_{1}, \ldots, p_{n}$ справедливо равенство
\[
\left.\sum_{k=1}^{n} p_{k} \frac{\partial I}{\partial \xi_{k}}\right|_{\xi=\xi^{*}}=0 .
\]

В этих случаях решение системы уравнений является периодическим. Таким образом, периодическое решение связано с существованием неподвижной точки сохраняющего площадь отображения, так что решение вопроса о существовании периодического решения сводится к изучению таких особых точек. Более того, аналогичные утверждения справедливы и относительно свойства устойчивости.

Как мы видели, в окрестности нешодвижной точки эллиптического типа можно определить инвариантные торы с помощью возможного усечения нормальной формы Биркгофа. Нормальная форма показывает, что в окрестности точки эллиптического типа каждая инвариантная окружность радиуса $r$ с центром в начале координат (которое является неподвижной точкой) отображается на себя посредством преобразовання кручения
\[
\alpha(r)=\alpha_{0}+\alpha_{1} r+\alpha_{2} r^{2}+\ldots
\]

Если рассматривать возмущения, оказываемые оторошенными при нормализации членами, то основная задача состоит в определении того, что происходит с инвариантными окружностями (или торами). Из теоремы Колмогорова [17] следует, что большинство окружностей не разрушается, а лишь слегка деформируется.

Неподвижная точка, следовательно, оюржена замкпутыми аналитическими инвариантными кривыми, сколь угодно малыми, т. е. она устойчива. Такие кривые покрывают область ненулевой меры, и начало координат для них является точкой накопления. Однако они не покрывают целиком любую заданную окрестность начала координат. Между ними существуют зоны неустойчивости, получающиеся из-за существования таких окрестностей, что величина $\alpha(r)$ соизмерима с $2 \pi$ (см. [3]). В действительности под действием возмущений от членов высшего порядка часть окружностей переходит в четное число неподзижных точек, половина из которых – точки әллиптического типа, а половина – гиперболического типа [5]. Из точек гиперболического типа рождаются орбиты, известные под названием «хаотических движений», как и предполагалось в работах Пуанкаре и как недавно показал Денби [7].