Главная > МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (Г. Е. О. ДЖАКАЛЬЯ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа
Псследоваиие асимптотпческого поведения решений гамильтоновых систем вилючает в себя, в частности, изучение областей возможного двнжения, инвариантных множеств, соответствующих некоторому множеству начальных условий. Эта задача является также частью задачи об устойчивости таких решений. Решения, которые рассматриваются в этом случае, являются периодическими или условно-периодическими. Введем ограничивающее определение, полезное для наших целей: функция $z(t)=\varphi\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right)$ является условно-периодической, если
а) фунция $\varphi$ периодична по каждой из $\theta_{k} \quad(k=1, \ldots, 2)$;
б) функция ч обладает некоторыми свойствами регуляріости, например, принадлежит классу $C^{p}$, или $C^{\infty}$, или является аналитіческой:
в) $\theta_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k} \quad(k=1, \ldots n)$, где $\alpha_{k}, \omega_{k}$ – постояниые;
г) $\sum_{k=1}^{n} p_{k} \omega_{k}=0$, где $p_{1}, \ldots, p_{n}$ – целье числа, тогда и только тогда, когда $p_{1}=\ldots=p_{n}=0^{1}$ ).

Как мы уже видели, если система с гамильтонианом $I(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ является итегрируемой в смысте Јиувилля, то в общем случае движение будет условно-периодическим, и соответствующее инвариантное множество состоит из $n$-мерных торов, параметризованных угловыми переменными $\eta_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k} \quad(k=1, \ldots, n)$, где все $\omega_{k}$ линейно независимы на множестве целых чисел. Это эквивалентио существованию такого канонического преобразования $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \rightarrow(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})$, что новая функция Гамильтона, выраженная через переменные $\xi, \eta$, будет зависеть только от переменных $\xi$ (т. е. от $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ ).

Это преобразование может определяться производящей функцией Гамильтона – Якоби $S(\xi, y)$, такой, что
\[
\eta_{k}=S_{\xi_{k}}, \quad x_{k}=S_{y_{k}},
\]

и, следовательно,
\[
\xi_{k}(x, y)=\text { const } \quad(k=1, \ldots, n)
\]

и
\[
\dot{\eta}_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=H_{\xi_{k}}(\boldsymbol{x}(\xi, \boldsymbol{\eta}), \boldsymbol{y}(\xi, \boldsymbol{\eta}))=\omega_{\eta_{l}}(\xi)=\text { const }
\]

или
\[
\eta_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k} .
\]

Траектории при этом остаютя на некоторых $n$-мерных торах. Изменение начальных условий $y_{k}$ будет менять только начальные фазы $\eta_{k}(0)$, а сами торы не нзменяются. Изменения началыных условий для $x_{k}$ приведет к изменению частот $\omega_{k}$ или к изменению \”радиусов» торов, т. е. $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$. Деӥствительно, функция $W$ должна удовлетворять уравнению
\[
H\left(\frac{\partial W}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial y_{n}}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\alpha\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\]

так тто энергия зависит только от $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, и любые изменения начальных фаз $\alpha_{k}$ не влияют на значение энергии.

Усховно-периодические движения обладают следующими важными свойствами.
1) Величины $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ называютея базисными частотами условно-периодической фунгции $z(t)$ (прим. перев.).

1) Траектории всюду плотны на торах. Это означает, что для любой заданной области $D$ точка $(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{y}(t))$ тагова, что существует колечное время $t=\tau$, для которого $(\boldsymbol{x}(\tau), \boldsymbol{y}(\tau)) \in D$.
2) Траектории на торах равномерно распределены, т. е. врешл $\Delta t$, в течение которого точка остается в области $D$, пропорциональпо мере области $D$ для достаточно больших $\Delta t$. Другими словами, для любой функции $F\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, где $y_{k}=\omega_{k} t+\alpha_{k}, R$-интегрируемой на торе, среднее значение по времени равно частному среднему зпачению по фазовым переменным
\[
\begin{aligned}
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F\left(\omega_{1} t+\alpha_{1}, \ldots, \omega_{n} t+\alpha_{n}\right) d t & \\
& =\frac{1}{(2 \pi)^{n}} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} F\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) d y_{1} \ldots d y_{n} .
\end{aligned}
\]
3) Суцествуют значения $\xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}$, такие, что для некоторых не равных одновременно нулю целых чисел $p_{1}, \ldots, p_{n}$ справедливо равенство
\[
\left.\sum_{k=1}^{n} p_{k} \frac{\partial I}{\partial \xi_{k}}\right|_{\xi=\xi^{*}}=0 .
\]

В этих случаях решение системы уравнений является периодическим. Таким образом, периодическое решение связано с существованием неподвижной точки сохраняющего площадь отображения, так что решение вопроса о существовании периодического решения сводится к изучению таких особых точек. Более того, аналогичные утверждения справедливы и относительно свойства устойчивости.

Как мы видели, в окрестности нешодвижной точки эллиптического типа можно определить инвариантные торы с помощью возможного усечения нормальной формы Биркгофа. Нормальная форма показывает, что в окрестности точки эллиптического типа каждая инвариантная окружность радиуса $r$ с центром в начале координат (которое является неподвижной точкой) отображается на себя посредством преобразовання кручения
\[
\alpha(r)=\alpha_{0}+\alpha_{1} r+\alpha_{2} r^{2}+\ldots
\]

Если рассматривать возмущения, оказываемые оторошенными при нормализации членами, то основная задача состоит в определении того, что происходит с инвариантными окружностями (или торами). Из теоремы Колмогорова [17] следует, что большинство окружностей не разрушается, а лишь слегка деформируется.

Неподвижная точка, следовательно, оюржена замкпутыми аналитическими инвариантными кривыми, сколь угодно малыми, т. е. она устойчива. Такие кривые покрывают область ненулевой меры, и начало координат для них является точкой накопления. Однако они не покрывают целиком любую заданную окрестность начала координат. Между ними существуют зоны неустойчивости, получающиеся из-за существования таких окрестностей, что величина $\alpha(r)$ соизмерима с $2 \pi$ (см. [3]). В действительности под действием возмущений от членов высшего порядка часть окружностей переходит в четное число неподзижных точек, половина из которых – точки әллиптического типа, а половина – гиперболического типа [5]. Из точек гиперболического типа рождаются орбиты, известные под названием «хаотических движений», как и предполагалось в работах Пуанкаре и как недавно показал Денби [7].

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru