Чтобы сделать законным формальный подход вычисления приближения первого порядка, который описан в предыдущем параграфе, надо показать, как получить решения для высших приближений. Для приближения любого порядка мы потребуем, чтобы функция $\Delta S$ была стационарной в колебательном центре. Уравнение для членов порядка $\varepsilon^{3 / 2}$ будет иметь вид
\[
\left(H_{1}^{\prime} \div H_{0}^{\prime \prime} \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}\right) \frac{\partial S_{1}}{\partial q}+\frac{1}{6} H_{0}^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}\right)^{3}+H_{1}^{\prime} \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}=K_{3 / 2}(P) \text {. }
\]

Тем не менее, мы отметим, что в колебательном центре коэффициент при $\partial S_{1} / \partial q$ обращается в нуль и функция $S_{1}$ становится в этой точке неопределенной. Следовательно, в уравнение мы должны побавпть член наименьшего порядка (большего пли равного.

$3 / 2)$, который содержит $\left(\partial S_{1} / \partial q\right)^{2}$. Таким образом, мы перепишем вышешриведенное уравнение в виде
\[
\left(H_{0}^{\prime}+H_{0}^{\prime \prime} \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial q}\right) \frac{\partial S_{1}}{\partial q}+\frac{1}{2} H_{0}^{\prime \prime}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial q}\right)^{2}+U_{3 / 2}(P, q)=K_{3 / 2}(P),(5.6 .1)
\]

где член $U_{3 / 2}$ определяется из предыдущего уравнения. Так как член $H_{3 / 2}$ отсутствует, то ошибка в определении $\bar{q}_{1}(P)$ (точка минимума функции $U_{3 / 2}(P, q)$ ) пмеет порядок малости $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$ по сравнению с величинами из рассматриваемого уравненія и, следовательно, допустима. Таким образом, мы определяем
Положим
\[
\begin{array}{l}
K_{3 / 2}(P)=U_{3 / 2}\left(P, \bar{q}_{1}(P)\right) . \\
U_{3 / 2}-K_{3 / 2}=F_{3 / 2}(P, q) .
\end{array}
\]

Определяя теперь
\[
\Delta S^{(1)}=S_{1 / 2}+S_{1}
\]

и
\[
F^{(3 / 2)}=F_{1}+F_{3 / 2},
\]

из уравнений (5.5.12) и (5.6.1) получаем уравнение
\[
H_{0}^{\prime} \frac{\partial \Delta S^{(1)}}{\partial q}+\frac{1}{2} H_{0}^{\prime \prime}\left(\frac{\partial \Delta S^{(1)}}{\partial q}\right)^{2}+F^{(3 / 2)}(P, q)=0,
\]

из которого, так же как и в первом приближении, находим $\Delta S^{(1)}$ или $S_{1}$.

Вдали от колебательного центра квадратичный член (т. е. член $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ ) в (5.6.1) не вносит ошибки, так как он имеет более высокий порядок. По мере приближения к центру каждый член в (5.6.1) стремится к нулю как $\varepsilon^{1 / 2}$. Следовательно, в пределе $F_{3 / 2}=0$, и координаты центра не изменились. Тем не менее, амплитуда колебаний может измениться на величину, порядою которой может быть больше $\varepsilon$. Этого не случится в стедующем приближении при определении $S_{3 / 2}$, так как в ощщем случае $H_{2}
eq 0$. Уравнение для следующего приближения будет иметь вид
\[
H_{0}^{\prime} \frac{\partial \Delta S^{(3 / 2)}}{\partial q}+\frac{1}{2} H_{0}^{\prime \prime}\left(\frac{\partial \Delta S^{(3 / 2)}}{\partial q}\right)^{2}+U^{(2)}(P, q)=K^{(2)}(P),
\]

и координаты колебательного центра теперь изменятся на величину $\bar{q}_{2}(P)$, являющуюся решеннем уравнений
\[
\frac{\partial U^{(2)}(P, q)}{\partial q}=0, \quad \frac{\partial^{2} U^{2}(P, q)}{\partial q^{2}}>0,
\]

а в силу исходного предположения об аналитичностп имеем
\[
\bar{q}-\bar{q}_{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Предыдущие приближения соответствующим образом исправляются, и уравнение (5.6.4) дает улучпенное решение. Можно теперь легко показать, что процесс может быть повторен до приближения любого порядка, так что в общем случае
\[
H_{0}^{\prime} \frac{\partial \Delta S^{(n)}}{\partial q}+\frac{1}{2} H_{0}^{\prime \prime}\left(\frac{\partial \Delta S^{(n)}}{\partial q}\right)^{2}+F^{(n+1 / 2)}(P, q)=0 .
\]

Если продесс сходится, то мы, очевидно, получаем
\[
\frac{\partial \Delta S}{\partial q}=\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}(-1+\mathrm{cn} u)
\]

или
\[
\frac{\partial \Delta S}{\partial q}=\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}(-1+\mathrm{dn} u)
\]

соответственно, если
\[
2 \frac{H_{0}^{\prime \prime}}{\left(H_{0}^{\prime}\right)^{2}} \max _{q} F^{\infty}(P, q)=\frac{1}{\sigma^{2}}=\frac{1}{k^{2}}>1
\]

или
\[
2 \frac{H_{0}^{\prime \prime}}{\left(H_{0}^{\prime}\right)^{2}} \max F^{\infty}(P, q)=\frac{1}{\sigma^{2}}=k^{2}<1 .
\]

Только в таком предельном приближении, если оно существует, можно определить асимптотическое движение. Сепаратриса определяется условием
\[
2 \frac{H_{0}^{\prime \prime}}{\left(H_{0}^{\prime}\right)^{2}} \max _{q} F^{\infty}(P, q)=1 .
\]

В этом случае соответствующее преоб́разование, очевидно, имеет вид
\[
2 \frac{H_{0}^{\prime \prime}}{\left(H_{0}^{\prime}\right)^{2}} F^{\infty}(P, q)=\operatorname{th}^{2} u,
\]

что дает
\[
\frac{\partial \Delta S}{\partial q}=\frac{H_{0}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}(-1+\operatorname{sch} u),
\]

и точка $q=0$ соответствует точке $u=\infty$. Отсюда следует, что
\[
p=p-\frac{H_{C}^{\prime}}{H_{0}^{\prime \prime}}(1-\operatorname{sch} u),
\]

и предельное значение $p$ определнется формулой
\[
p_{1 \mathrm{im}}=P-H_{0}^{\prime} / H_{0}^{\prime \prime},
\]

которая в точности совпадает с формулой для среднего значения в колебательном движении.

В общем случае, как уже говорилось, сходимости рядов можно добиться только для конечных интервалов времени $T=O\left(\varepsilon^{-1}\right)$ независимо от того, сколько приближений учитывается (см. [52]).