Эта глава имеет две главные цели. Во-первых, описываются известные методы канонической теории возмущений и приводятся некоторые примеры, на которых основываются теоремы в главах III и IV. Во-вторых, описываются некоторые основные результаты, касающиеся нтеративных шроцедур, которые играют очень важную роль в методах усреднения. Важнейшие, часто пересекающиеся друг с другом, результаты в этих областях получили Јиндстедт [70], Пуанкаре [91], Уиттекер [102], Зигель [96], Крылов [61], Боголюбов [7], Колмогоров [59], Арнольд [3, 4], Дилиберто [32], Плисс [89], Кинер [63], Мозер [78], Хейл [47]. Многие из этих результатов сообщили и подробно описали в своих ценных книгах Зигель [98], Уинтнер [104], Немыцкий и Степанов [88], Чезари [15], Хейл [50], Абрахам [1], Биркгоф [6], Боголюбов и Митропольский [8], Лефшец [67], Минорский [74], Сансоне и Конті [95], Стернберг [99].

Общепринятым, хотя и долгое время не упоминавшимся, фактом является то, что методы усреднения были введены впервые Линдстедтом [70]. Вполне возможно, что идеи Линдстедта появились в результате усилий Эйлера [34], предпринятых им для решения проблемы движения Луны.

В линейных периодических системах метод усреднения сразу же приводит к определению характеристических показателей Флоке — Јяпунова, а в нелинейных гамильтоновых системах к разделению «завязанного» уравнения Гамильтона — Якоби и, следовательно, к определению переменных действие — угол ${}^1$ ). В общих нелинейных системах (т. е. не обязательно в гамильтоновых) метод усреднения приводит к разделению движения в расширенном фазовом пространстве, которое можно назвать котангенциальным пространством исходного пространства системы.

Относительно гамильтоновых систем общеизвестен и общепризнан тот факт, что, вообще говоря, они являются неинтегрируемыми. Тем не менее, такое утверждение надо рассматривать
1) По-видимому, автор имеет в виду применение метода усреднения только к устойчивым системам. Для неустойчивых систем это утверждепие опибочно (прим. перев.).

с осторожностью и в зависимости от определения самого понятия ннтегируемости. Действительно, если гамитьтониан принадлежит по крайней мере классу $C^2$ в некоторой области $D$ фазового пространства, то существует, и притом единственное, решенге, соответствующее любой начальной точке из области $D$. В этом смысле система является, разумеется, ивтегрируемой. С другой стороны, слово «интегрируемость» в гамильтоновых системах часто связывается с идеей разделимости іднжения, т. е. с так называемыми системами Штеккеля (или, в частности, с системами Лиувилля). Связь между двумя этими понятиями можно проследить, если вспомнить, что при существовании и единственности репения для моментов времени из интерзала $0⩽t<T$ движение в фазовом пространстве есть отображение, сохраняющее площадь (или, по-другому, дивергенция потока гамильтоновой системы равна нулю). Верно также то, что такой поток является каноническим, т. е. любая точка решения $P(t)$ (при $0⩽t<T$ ) получается из начальной точки $P(0)$ каноническим преобразованием, которое при достаточно малых $t$ принадлежит класу $C^2$ и, кроме того, обратимо. Отсюда следует, что в терминах начальных условий, взятых в качестве частного набора канонических переменных, система с необходимостью будет разделимой с гамильтонианом, сводящимся к константе. Разумеется, такого рода разделимости можно достичь только после топ, как решение известным образом явно записано в виде функции времени и начальных условий, так что никакой пользы от такого результата нет. Однако он служит для указания связп между двумя вышеупомянутыми понятиями интегрируемости.

Что касается периодических линейных систем, то нам известно, что при некоторых достаточно общих условиях решение всегда существует и, согласно теории Флоке — Ляпунова, имеет вполне определенный вид.

Для общих нелинейных систем пнтегрируемость можно понимать только как существование п единственность решения. Однако связь с идеей разделимости можно установить «тамильтонизацией» системы в котангенциальном пространстве, о чем подробно будет рассказано ниже.

Большинство результатов, касающихся неинтегрируемости, основано на чсследовании существования интегралов в окрестности особой точки (см. [96]), на приводимости к нормальной форме Биркгофа с помощью степенных рядов или на сходимости итеративных процедур. Не очевидно, что отрицание вышеперечисленных утверждений подразумевает неинтегрируемость. Биркгофом было доказано, что в общем случае нормальная форма для гамильтоновых систем не может быть получена с помощью сходяцихся рядов. Хотя методы усреднения, по существу, являются шереведенной на некоторый другой язык нормализацией Биркгофа, мы, тем не менее, не можем сделать вывода об их расходимости, так как известно, что операции с рядами могут изменить свойство сходимости или расходимости метода. В самом деле, как будет показано на примерах, метод усреднения эквивалентен нормализации, и, следовательно, в общем случае мы вцраве ожидать ето расходимости. С другой стороны, методы усреднения можно так обобщить, переопределить, дополнить и подчинить возмущения таким условиям, что эти методы будут сходиться по крайней мере для некоторого набора начальных условий.

Как было показано для некоторых специальных примеров, дополнительные интегралы, определяемые формальными рядами (см. [24]), имеют почти тот же смысл, что й истинные интегралы движения, и это было проверено численно для очень больших интервалов времени. Метод поверхностей сечения (см. [91]) оказал неоценимую помощь при поисках возможных интегралов, и было показано, что интегралы (не обязательно общие или допускаемые глобально) могут существовать и для систем, определяемых вначале как неинтегрируемые (см. [9]).