Случай собственного вырождения [4] является весьма общцим в теории возмущений. Строго говоря, в этом случае движение определяется не независимыми частотами невозмущенной спстемы.

Это означает, что для данного гамильтониана $H_{0}=H_{0}(x)$ и частот
\[
\omega_{j}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{j}} \quad(j=1, \ldots, n)
\]

имеет место собственное вырождение, если матрица
\[
\left\{\frac{\partial \omega_{j}}{\partial x_{k}}\right\} \quad(j: k=1, \ldots, n)
\]

является особенной. Это опредетение включает в себя и случай рациональной зависимости частот, и случай, когда некоторые пз переменных действие не входят в гамильтониан $H_{0}(\boldsymbol{x})$, т. е. по крайней мере одна из частот $\omega_{j}$ тождественно равна нулю. Оно также включает в себя и линейные системы, т. е. случаи, когда
\[
H_{0}=\omega_{1} x_{1}+\ldots+\omega_{n} x_{n} .
\]

Теперь рассмотрим случай, когда матрица (2.5.1) имеет по крайней мере один минор порядка $m(0<m \leqslant n)$, отличный от нуля. Невозмущенная система является нелинейной, интегрируемой и определяется $m$ независимыми частотами, соответствующими независимым угловым переменным $y_{k}=\omega_{k}(x) t+y_{k}^{0}$, где $k=$ $=1, \ldots \mathrm{m}$. В этом случае существует каноническое преобразование $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, такое, что, по крайней мере локально, гампльтониан $H_{0}$ завнсит только от $m$ импульсов $\boldsymbol{x}^{\prime}$, а соответствующая ему матрица (2.5.1) — неособенная.

Однако, может быть, стоит заметить, что если все импульсы $x$ входят в $H_{0}$, то иногда можно найти преобразование, после применения которого гессиан (2.5.1) нового гамильтониана будет неособенной матрицей. Действительно, рассмотрим гамильтовиан в самом общем виде
\[
H=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=H_{0}(\boldsymbol{x})+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \div \ldots
\]

и предположим, что $\omega_{j}=\partial H_{0} / \partial x_{j}
eq 0$, где $j=1, \ldots, n$. Если может быть найдена такая функция $F=\Phi(H)$, что
\[
F=F_{0}(x)+\varepsilon F_{1}(y, x)+\ldots,
\]

и такая, что для $\Omega_{j}=\partial F_{0} / \partial x_{j}$ матрица
\[
\left\{\frac{\hat{o} \Omega_{j}}{\hat{o} x_{k}}\right\}
\]

язляется неособенной, то кажущееся вырождение исчезаех.

Уравнения двшжения теперь принимают вид
\[
\dot{y}_{j}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial F}{\partial x_{j}}, \quad \dot{x}_{j}=-\frac{1}{\alpha} \frac{\partial F}{\partial y_{j}},
\]

где $\alpha$ — постоянная, определяемая через начальные условия формулой
\[
\dot{\Phi}(H)=\dot{\Phi}\left(H\left(y_{0}, x_{0}, \varepsilon\right)\right)=\dot{\Phi}(h)=\alpha .
\]

а $h$ — значение интеграла энергии, соответствующее начальным условиям $\boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{x}_{0}$. Очевидно, $\alpha$ можно представить в виде степенного ряда по $\varepsilon$ (предполагается, что $H$ — вещественная аналитическая функция по всем переменным), и если Ф — аналитическая функция, то степенной ряд
\[
\Phi(H)=F_{0}(x)+\varepsilon F_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\varepsilon^{2} F_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\ldots
\]

сходится. Эту процедуру нельзя применить к линейному случаю $(2.5 .2)$, так как незавпсимо от вида $\Phi(H)$ гессиан функции $F_{0}(x)$ равен нулю. Однако эту процедуру можно применить в остальных случаях. Например, это можно сделать в важном случае
\[
H_{0}=\frac{1}{x_{1}^{2}}+x_{2},
\]

встречающемся во мигих задачах небесной механики (задача двух тел во врацающейся системе координат, ограниченная задача трех тел во вращающейся системе координат и т. д.).Хотя гессиан функцип $H_{0}$ равен нулю ( $H_{0}$ линейно зависит от $x_{2}$ ), видно, что существует несколько функций, зависящих от $H_{0}$, которые приводят к функцип $F_{0}$ с не равным нулю гессианом (см., например, $\left.[91])^{1}\right)$.

Исключив пока из рассмотрения линейный случай, мы теперь псследуем случай, прп котором в $H_{0}$ отсутствуют некоторые импульсы. Пусть $x_{p+1}, \ldots, x_{n}$ — иипульсы, не входящие в $H_{0}$, и рассмотрим теперь уравнения, соогветствующие гамильтониану
\[
H=H_{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right)+\varepsilon H_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)+\ldots,
\]
т. e.
\[
\dot{y}_{k}=\frac{\partial H}{\partial x_{k}}, \quad \dot{x}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial y_{k}}=-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{k}}+\ldots
\]
1) Более подробное пзложение этого приема унпчтожения кажущегося вырождения см. в книге [4*] (прим. перев.).

Отсюда следует, что в нулевом приближенши переменные $x_{k}$ константы, а $y_{k}$ — линейные функции времени ( $k=1, \ldots, p$ ) или также константы $(k=p+1, \ldots, n)$. Еслп этот результат подставить в уравнения движения и усреднить $\operatorname{~Iх~по~} y_{1}, \ldots, y_{p}$, то в первом приближении получим
\[
y_{k}=\omega_{k}(x) t+y_{k}^{0}, \quad x_{k}=x_{k}^{0},
\]

где
\[
\begin{aligned}
\omega_{k} & =\omega_{k}^{0}+\varepsilon \omega_{k}^{1} & & (k=1, \ldots p), \\
\omega_{k} & =\varepsilon \omega_{k}^{1} & & \left(k=p_{-}+1, \ldots, n\right) .
\end{aligned}
\]

Это простое описание служит основанием к тому, чтобы назвать угіовые переменные $y_{1}, \ldots, y_{p}$ (которые являются сопряженными к импульсам $x_{1}, \ldots, x_{p}$, входящим в $H_{0}$ ) быстрыми, а угловые переменные $y_{p+1}, \ldots, y_{n}$ (которые являются сопряженными к импульсам, отсутствующим в гамильтониане $H_{0}$ ) — медленными переменными. Вследствие этого также говорят, что любая функция, содержащая хотя бы одну быструю переменную, является короткопериодической, а любая функция, не содержащая ни одной быстрой переменной — долгопериодической функцией. Разумеется, мы не хотим здесь дать точных определений, а только приводим традиционное объяснешие терминологии.

Для этого случая теперь рассмотрим проблему существования формальных рядов, представляющих производящую функцию метода Пуанкаре. Вообще говоря, ответ на вопрос о существовании является отрицательным, за исключением только некоторых исключительных ситуаций, которые мы и обсудим в настоящем параграфе.

Исключение быстрых переменных достигается таким обобщением проблемы Гамильтона, при котором мы требуем, чтобы новый гамильтониан содержал только медленные переменные. Более точно, мы стропм производящую функцию в виде формального ряда
\[
W(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X}, \varepsilon)=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}+\varepsilon S_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+\ldots,
\]

аналогичного (2.4.10), (2.4.11) и (2.4.12), п требуем выполнения закона сохранения энергии в виде
\[
H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=K\left(Y_{p+1}, \ldots, Y_{n}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{\varepsilon}\right),
\]

так чте исходная спстема сводится к спстеме с числом степеней свободы, равным $n-p$. Это всегда возможно, так как при определенин $m$-го приближения уравненше, которое надо проинтегрировать, нмеет вид
\[
\sum_{k=1}^{p} \omega_{k}(\boldsymbol{X}) \frac{\partial S_{m}}{\partial y_{k}}+F_{m}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})+H_{m}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{X})=K_{m}\left(y_{p+1}, \ldots, y_{n}, \boldsymbol{X}, \varepsilon\right),
\]

а $K_{m}$ определяется усреднением функции $F_{m}+H_{m}$ по быстрым переліенным. Новый гамильтониан получается в виде формального ряда. Если допустить, что такие ряды являются сходящимися (по крайней мере на конечном интервале времени), то теперь задача сводится к исследованию уравнений движения, соответствующих гамильтониану
\[
K=K_{0}(\boldsymbol{X}) \div \varepsilon K_{\mathbf{1}}\left(Y_{p+1}, \ldots, Y_{n} \boldsymbol{X}\right)+\ldots=K\left(Y_{p+1}, \ldots, Y_{n}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{\varepsilon}\right),
\]

в то время как постоянные импульсы $X_{1}, \ldots, X_{p}$ играют роль параметров. В случае сходящихся рядов выражения
\[
x_{k}=X_{k}+\varepsilon \frac{\partial S(y, X, \varepsilon)}{\partial y_{k}}
\]

при $k=1, \ldots, p$ представляют собой первые интегралы исходной системы, зависящие от $p$ параметров $X_{1}, \ldots, X_{p}$, для которых могут быть взяты произвольные значения.

Теперь при выполнении простых условий можно исключить медленные переменные. Действительно, в (2.5.4) функция $K_{0}(\boldsymbol{X})$ зависит тольжо от $X_{1}, \ldots, X_{p}$ и, следовательно, является константой движения. Гамильтониан теперь может быть записан в виде
\[
\varepsilon F=\varepsilon F_{1}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})+\varepsilon^{2} F_{2}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})+\ldots=\varepsilon F(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, \varepsilon),
\]

где $\boldsymbol{q}=\left(Y_{p+1}, \ldots, Y_{n}\right), \quad \boldsymbol{p}=\left(X_{p+1}, \ldots, X_{n}\right)$, а параметры $X_{1}, \ldots$ $\ldots, X_{p}$ можно дальше не рассматривать. Уравнения движения имеют простой вид ( $k=1, \ldots, n-p$ )
\[
\dot{q}_{k}=\varepsilon \frac{\partial F}{\partial p_{h}}, \dot{p}_{k}=-\varepsilon \frac{\partial F}{\partial q_{k}} .
\]

Если $n-p=1$, то система имеет одну степень свободы и задача теоретически разрешима. Если $n-p \geqslant 2$, то, очевидно, интегрирование можно осуществить методом последовательных приближений, который уже был изложен, при условии, что главная часть функции $\varepsilon F$, т. е. функция $\varepsilon F_{1}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})$, соответствует интегрируемой системе. Начиная с этого иеста, можно повторить всю процедуру Пуанкаре, описанную в предыдущем параграфе. По-видимому, будет полезно сказать, что формально задачу можно решить до конца, если функция $F_{1}(\boldsymbol{q}, p)$ не зависит ни от одной переменной $\boldsymbol{q}$ и содержит все переменные $\boldsymbol{p}$, т. е. переменные $X_{p+1}, \ldots$ $\ldots, X_{n}$. Существенным достижением Цейпеля [105] в решенип рассматриваемой задачи явилось понимание того факта, что хотя полная редукция системы может быть невозможна, тем не менее частичная редукция является существенным пагом вцеред в решении задачи.

Оценки ошибок метода были получены в работе Кинера [63], а в случае сходимости в работе Мозера [81] была использована процедура ускорения сходимости, основанная на применении итераций ньютоновского тиша. Впервые аналогичная процедура была предложена Колмогоровым [59], а затем она широко использовалась в различных работах Арнсльда $[3,4]$. В следующей главе об этом будет сказано более подробно. Очевидно, что в некоторых случаях оценка ошибки $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, полученная Ғинером, может быть значительно улучшена. Например, при доказательстве Мозером [78] сходимости закручивающих отображений может быть получена сходимость лучше, чем квадратичная, таг что ошибка уменьшается по мере увеличения степени $\varepsilon$ в процессе вычисления итераций. Для того, чтобы это утверждение было верным, не требуется даже аналитичности рассматриваемого отображения, а лишь существование конечного числа производных.