В большинстве случаев, когда применяется метод усреднения, основное предположение заключается в том, что гамильтониан является периодической функцией по каждой из угловых переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}$. Как было видно из § 4 настоящей главы, понятие условно-периодических функций было некоторым небольшим обобщением понятия перисдичности по каждой из переменных, применявшихся в соответствующих определениях понятия усреднения. Такие предположевия напоминают о тех специальных областях, для которых были развиты этп методы: небесная механика и теория колебаний в механических и электрических системах.

Для того чтобы найти более сбщий подход к решению нужных задач, подход, при котором не надо проверять перечисленные выше гипотезы (предположения), рассмотрим сначала простой пример. Пусть функция Гамильтона имеет вид
\[
H\left(y_{1}, y_{2}, x_{1}, x_{2}\right)=H_{0}+H_{1}+H_{2}+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
H_{0}=\frac{1}{2} A_{11}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2} A_{22}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)+A_{12}\left(x_{1} x_{2}+y_{\mathbf{1}} y_{\mathbf{2}}\right), \\
H_{p}=H_{p}\left(y_{1}, y_{2}, x_{1}, x_{2}\right) \quad(p=1,2,3, \ldots) .
\end{array}
\]

Здесь $H_{p}$ – однородные полиномы степени $p+2$. Решение «главной» части задачи получается сразу же, если можно уничтожить члены $x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}$. Вообще говоря, это весьма легко можно сделать с помощью линейного канонического преобразования $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow(\eta, \xi)$ :
\[
x_{j}=\sum_{k=1}^{2} a_{j k} \xi_{k}, \quad \eta_{j}=\sum_{k=1}^{2} a_{k j} y_{k}
\]

где, например, можно положить
\[
\begin{array}{c}
a_{12}=A_{12}, a_{22}=A_{22}-A_{11}, a_{11}=\left(1+a_{12} a_{21}\right) / a_{22}, \\
a_{21}=\left(A_{12} a_{22}-A_{22} a_{12}\right) /\left(A_{22} a_{12}^{2}+A_{11} a_{22}^{2}-2 A_{12} a_{12} a_{22}\right),
\end{array}
\]

если исключить случай $A_{11}=A_{22}$, когда вышисанное преобразование становится особенным. Разумеется, этот один особый случай много легче исследовать отдельно. В общем случае гамильтониан принимает вид
\[
H=H_{0}+H_{1}+H_{2}+\ldots,
\]

где $H_{0}=A_{1}\left(\xi_{1}^{2}+\eta_{1}^{2}\right)+A_{2}\left(\xi_{2}^{2}+\eta_{2}^{2}\right)$, а $H_{1}, H_{2}, \ldots$ опять являются однородными полиномами степени $3,4, \ldots$ относительно $\xi_{1}, \xi_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}$. Также можно написать
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=\frac{1}{2}\left(A_{11} a_{11}^{2}+A_{22} a_{21}^{2}+2 a_{11} a_{21} A_{12}\right) \\
A_{2}=\frac{1}{2}\left(A_{11} a_{12}^{2}+A_{22} a_{22}^{2}+2 a_{12} a_{22} A_{12}\right) .
\end{array}
\]

Решение уравнения Гамильтона – Якоби
\[
A_{1}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial \eta_{1}}\right)^{2}+\eta_{1}^{2}\right]+A_{2}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial \eta_{2}}\right)^{2}+\eta_{2}^{2}\right]=F_{0}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)
\]

получается сразу же. Естественным образом выбирая
\[
F_{0}=A_{1} \alpha_{1}^{2}+A_{2} \alpha_{2}^{2}
\]

находим $S=S_{1}+S_{2}$, где
\[
\left(\frac{\partial S_{k}}{\partial \eta_{k}}\right)^{2}+\eta_{k}^{2}=\alpha_{k}^{2} \quad(k=1,2),
\]

п, следовательно,
\[
\alpha_{k}^{2}=\xi_{k}^{2}+\eta_{k}^{2}, \quad \beta_{k}=\left(\xi_{k}^{2}+\eta_{k}^{2}\right)^{1 / 2} \arcsin \left(\eta_{k} / \alpha_{k}\right) .
\]

Обратное преобразование имеет вид
\[
\eta_{k}=\alpha_{k} \sin \frac{\beta_{k}}{\alpha_{k}}, \quad \xi_{k}=\alpha_{k} \cos \frac{\beta_{k}}{\alpha_{k}} \quad(k=1,2) .
\]

Главная часть функции Гамильтона запишется так:
\[
H_{0}=F_{0}=A_{1} \alpha_{1}^{2}+A_{2} \alpha_{2}^{2},
\]

а вся функция Гамильтона может быть в общем виде представлена как сумма членов
\[
\alpha_{1}^{p} \alpha_{2}^{q} \frac{\cos }{\sin }\left(m \frac{\beta_{1}}{\alpha_{1}}+n \frac{\beta_{2}}{\alpha_{2}}\right) .
\]

Решение нулевого порядка
\[
\alpha_{k}=\text { const }, \quad \beta_{k}=2 A_{k} \alpha_{k} t+\beta_{k}^{0} \quad(k=1,2)
\]

показывает, что применение метода Пуанкаре обязательно приведет к появлению смешанных секулярных членов, обусловленных дифференцированием по $\alpha_{1}$ или $\alpha_{2}$ в производящей функции метода (функция обязательно содержит члены вида (2.6.1) )¹).

В дсйствительности вопрос репается проще, по крайней мерь в формальном смысле. В самом деле, пусть функция Гамильтона содержит переменные $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ только в виде комбинаций $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ и $x_{2}^{2}+$ $+y_{2}^{2}$, т. e.
\[
H=H\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}, x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) .
\]

В этом случае в силу уравнений движения
\[
\dot{x}_{j}=\frac{\partial H}{\partial\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)} 2 y_{j}, \quad \dot{y}_{j}=-\frac{\partial H}{\partial\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)} 2 x_{j}
\]

получаем, что
\[
x_{j}^{2}+y_{j}^{2}=c_{j}^{2}=\mathrm{const},
\]
1) Отметим, что указанное автором появление секулярных членов обусловлено не существом задачи, а неудачной заменой переменных $\eta_{h}$, $\xi_{k} \rightarrow \alpha_{k}, \beta_{k}$. Если ввести каноничесую унивалентную замену по формулам
\[
\eta_{k}=\sqrt{2 \alpha_{k}} \sin \beta_{k}, \quad \xi_{k}=\sqrt{2 \alpha_{k}} \cos \beta_{k},
\]

то секулярные члены не появятся, и рещение может быть записано в виде формальных рядов при некоторых дополнительных ограничениях на линейные члены (прим. перев.).

и, следовательно,
\[
x_{j}=c_{j} \cos \left(\omega_{j} t+\sigma_{j}\right), \quad y_{j}=c_{j} \sin \left(\omega_{j} t+\sigma_{j}\right),
\]

где
\[
\omega_{j}=-2 \frac{\partial H}{\partial\left(x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)}=\text { const },
\]
a $c_{j}, \sigma_{j}$ – произвольные постоянные. Ситуация здесь аналогична случаю, рассмотренному в книге Уиттекера [103], когда гамильтониан является только функцией переменных $\omega_{j}=x_{j} y_{j}$, а $\boldsymbol{\omega}_{j}$ тогда – постоянные. Разумеется, такая ситуация будет иметь место и для стучая любых других комбинаций координат и импульсов. Такие рассмотрения приводят нас к естественному вопросу: возможно ли привести весь гамильтониан к такому виду, когда он зависит только от комбинаций $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ и $x_{2}^{2}+y_{2}^{2}$, если $H_{0}$ имеет вид
\[
H_{0}=A_{1}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+A_{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) .
\]

Ответ на этот вопрос будет утвердительным в том смысле, что по крайней мере формально такую редукцию в общем случае можно пронзвести рядами, состоящими из зависящих от всех переменных полиномов, хотя вопрос о сходимости этих рядов как таковых никогда не исследовался. Тем не менее, эквивалентность упомянутого здесь преобразования проблеме нормализации Биркгофа очевидна.

Пусть теперь главная часть $H_{0}$ функции Гамильтона будет функцией только выражений $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ и $x_{2}^{2}+y_{2}^{2}$, а члены высших порядков в функции Гамильтона являются функциями перемепных $x, y$, которые входят, скажем, только в комбинациях
\[
w_{1}^{p} w_{2}^{q} u_{1}^{m} u_{2}^{n},
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
w_{1}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}, & w_{2}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1} \\
u_{1}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}, & u_{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Такой случай, например, встречается в небесной механике при исследованин в переменных Пуанкаре (см., например, [12]). В общем случае можнно считать, что члены высших порядков в $\boldsymbol{H}$ являются однородными полиномами увеличивающихся степеней относптельно $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$. Исключение всех членов (кроме комбпнаций из $u_{1}, u_{2}$ ) в $H_{1}$ можно осуществить с помощью производяцей функции
\[
S=x_{1}^{\prime} y_{1}+x_{2}^{\prime} y_{2}+S_{1}+S_{2}+\ldots,
\]

так что приходим к уравнению
\[
H_{1}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}\right)+\sum_{k=1}^{2} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{k}} \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}^{\prime}}=H_{1}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}\right)+\sum_{k=1}^{2} \frac{\partial S_{1}}{\partial x_{k}^{\prime}} \frac{\partial H_{0}^{\prime}}{\partial y_{k}},
\]

где штрихом отмечены новые переменные и новый гамильтониан. Далее, так как $H_{0}=A_{1} u_{1}+A_{2} u_{2}$, то функция $H_{1}^{\prime}$ определяется той частью функции $H_{1}$, которая содержит только комбинации из $u_{1}$ и $u_{2}$; обозначим эту часть через $H_{1}$. Оставшаяся часть, обозначаемая как $H_{1 p}$, будет служить для определения $S_{1}$. Так как $H_{0}^{\prime}\left(x^{\prime}, y\right)=H_{0}\left(x^{\prime}, y\right)$, то отсюда следует, что
\[
\sum_{k=1}^{2}\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}^{\prime}} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{k}}-\frac{\partial H_{0}}{\partial y_{k}} \frac{\partial S_{1}}{\partial x_{k}^{\prime}}\right)=-H_{1 p}\left(x^{\prime}, y\right),
\]

где в $H_{1 p}$ любой член, в который входит $u_{1}$ п (или) $u_{2}$, в качестве множителя содержит члены, зависящие от $w_{1}$ или $w_{2}$. Далее, учитывая вид $H_{0}$, имеем
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 \alpha_{i} x_{i}^{\prime}, \quad \frac{\partial H_{0}}{\partial y_{i}}=2 \alpha_{i} y_{i},
\]

где
\[
\alpha_{i}=\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial u_{i}}\right)_{x=x^{\prime}} .
\]

Следовательно, уравнение для $S_{1}$ принимает вид
\[
2 \sum_{i} \alpha_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{i}}-y_{i} \frac{\partial S_{1}}{\partial x_{i}^{\prime}}\right)=-H_{1 p}\left(x^{\prime}, y\right) .
\]

С другой стороны, из рассмотрения выражений для $w_{k}$ и $u_{k}$ $(k=1,2)$ следует, что
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{1}}-y_{1} \frac{\partial S_{1}}{\partial x_{1}^{\prime}}=w_{2}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{1}^{\prime}}-w_{1}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{2}^{\prime}} \\
x_{2}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial y_{2}}-y_{2} \frac{\partial S_{1}}{\partial x_{2}^{\prime}}=w_{1}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{2}^{\prime}}-w_{2}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{1}^{\prime}}
\end{array}
\]

где
\[
w_{1}^{\prime}=x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime}+y_{1} y_{2}, \quad w_{2}^{\prime}=x_{1}^{\prime} y_{2}-x_{2}^{\prime} y_{1} .
\]

Уравнение для $S_{1}$ становится таким:
\[
2\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)\left(w_{2}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{1}^{\prime}}-w_{1}^{\prime} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{2}^{\prime}}\right)=-H_{1 p}\left(w_{1}^{\prime}, w_{2}^{\prime}, u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}\right)=\Phi{ }_{1 p}\left(w_{1}^{\prime}, w_{2}^{\prime}\right),
\]

где зависимость от $u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}$ исчезает и не будет больше встречаться в дальнейших выкладках (до тех пор, пока не возникнет вопрос о зависимости только от величин $u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}$ ). Решение этого последнего уравнения можно получить введением вспомогательных переменных интегрирования
\[
z_{1}=\left(w_{1}^{\prime}\right)^{2}-\left(w_{2}^{\prime}\right)^{2}, \quad z_{2}=\left(w_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(w_{2}^{\prime}\right)^{2} .
\]

Произведя эти замены, мы находим
\[
S_{1}=\frac{1}{4\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)} \int \frac{\Phi_{1 p}\left(z_{1}, z_{2}\right)}{\left(z_{1}^{2}-z_{2}^{2}\right)^{1 / 2}} d z_{1}+\Phi_{1}\left(z_{2}\right),
\]

где $\Phi_{1}$ – произвольная функция $z_{2}, u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}$. Этот метод нельзя применить, если $\alpha_{1}=\alpha_{2}$, т. е.
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial u_{1}}=\frac{\partial H_{0}}{\partial u_{2}} .
\]

Очевидно, это есть случай внутреннего резонанса в линейном приближении, который является исключительным. Аналогичные выкладки и общие рассуждения справедливы для приближения любого порядка. Гамильтониан, по крайней мере формально, приводится к виду
\[
H^{\prime}=H_{0}^{\prime}+H_{1}^{\prime}+\ldots=H^{\prime}\left(u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}\right),
\]

так что
\[
u_{1}^{\prime}=\left(x_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(y_{1}\right)^{2}=\text { const }, \quad u_{2}^{\prime}=\left(x_{2}^{\prime}\right)^{2}+\left(y_{2}\right)^{2}=\text { const. }
\]

Связь между переменными со штрихами и переменными без птрихов получается из соотношений
\[
\begin{array}{l}
y_{k}=y_{k}^{\prime}-\frac{\partial S_{1}}{\partial x_{k}^{\prime}}-\frac{\partial S_{2}}{\partial x_{k}^{\prime}}-\ldots \\
x_{k}=x_{k}^{\prime}+\frac{\partial S_{1}}{\partial y_{k}}+\frac{\partial S_{2}}{\partial y_{k}}+\ldots
\end{array}
\]

Проведенные выше рассмотрения устанавливают тесную связь между цроблемой Пуанкаре и нормализацией Биркгофа $[6,98]$. В действительности эти задачи эквивалентны по их целям, и такая эквивалентность в некоторых специальных прикладных вопросах была недавно показана в работах Депри [28-31].

Хорошо известно, что в общем случае ряды, вводимые при нормализации Биркгофа, расходятся, хотя и существуют некоторые исключения. Новые результаты, касающиеся таких проблем, крайне редки ${ }^{1}$ ), и теоремы Колмогорова и Мозера можно применить только из-за пелинейности уравнений, соответствующих функции $H_{0}$.

Следующим важным понятием, введенным Уиттекером [103], является понятие дополнительных интегралов. Определение этих величпн и их представление в виде рядов, которое получил Уиттекер, недавно было использовано в работе Контопулоса [20], где, между прочим, показано, что такие интегралы, до сих пор считавшиеся формальным результатом, на практике остаются постоянными в течение очень большого интервала времени, а именно, настолько долго, наскольго ӘВМ дает возможность проводить интегрирование с разумной достоверностью в точности результата. Отсюда следует вопрос: можно ли для консервативной системы найти другой интеграл, кроме интеграла энергии? Очевидно, существуют системы, для которых это справедливо. Действительно, по определению интегрируемая система с $n$ степенями свободы имеет $n$ таких интегралов. Хотя хорошо известный результат Пуанкаре указывает, что динамическая система пеинтегрируема, это касается только существовапия однозначното (относительно некоторого параметра) интеграла. Зигель [96] такие показал, что в окрестности особой точки не существует дифферснцируемых интегралов. Тем не менее, могут существовать интегралы для отдельных значений параметров, появляющихся в уравнениях, для отдельных значений начальных условий или, в исключительных случаях, например, даже непрерывные интегралы. В конце этого параграфа мы приведем пример такого псключительного случая.

Пусть функция $F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, t)$ будет дифференцируемым в области $D$ интегралом консервативной системы, определяемой гамильтонианом $\boldsymbol{H}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$; пусть он, кроме того, принадлежит классу $C^{2}$ в некоторой области $D 2 n$-мерного фазового пространства $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Хорошо известно, что для того, чтобы независимая от $H$ функция $F$ была первым интегралом, необходшмо и достаточно вышолнения соотношения
\[
(F, H)+\frac{\partial F}{\partial t}=0 \text {. }
\]

В явном виде скобки Пуассона здесь записываются так:
\[
(F, H)=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial y_{k}} \frac{\partial H}{\partial x_{k}}-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} \frac{\partial H}{\partial y_{k}}\right) .
\]
1) Существенные новые результаты о сходимости рядов нормализующих преобразований получены в работах А. Д. Брюно [5*-12*] (прим. ред.).

Если интеграл $F$ не зависит явно от времени, то упомянутое условие принимает простой вид: $(F, H)=0$.

Теперь рассмотрим случай, при котором $H$ зависит от безразмерного параметра $\varepsilon,|\varepsilon| \in[0,1]$, и $H$ раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки $\varepsilon=0$ при $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$ :
\[
H(y, x, \varepsilon)=H_{0}(x)+\varepsilon H_{1}(y, x)+\varepsilon^{2} H_{2}(y, x)+\ldots
\]

Наконец, предположим, что $F$ не зависит от времени явно и является аналитической функцией (в вещественном смысле) параметра $\varepsilon$ при $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$. Тогда
\[
F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=F_{0}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\varepsilon F_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\varepsilon^{2} F_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\ldots,
\]

и потребуем, чтобы функции $F_{k}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$ при $k=0,1,2, \ldots$ были дифференцируемыми в области $D$. Если $F$ является интегралом для всех $\varepsilon$ при $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$, то должно быть выполнено равенство $\left(F_{0}, H_{0}\right)=0$ или в явном виде
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{0}}{\partial y_{k}} \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}}=0
\]

Ясно, что любая функция вида $F_{0}(x)$ удовлетворяет уравнению $(2.6 .5)$. Если функция $F_{0}^{*}(x, y$ ! является решением уравнения $(2.6 .5)$, то функция $F_{0}^{*}(x, y)+F_{0}^{* *}(x)$ также будет его решением незваисимо от вида функции $F_{0}^{* *}(x)$. Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции $\omega_{k}^{0}=\partial H_{0} / \partial x$ являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел для $x \in D$.В действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное множество условий
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} j_{k} \omega_{k}^{0}\right|>K\left(\omega^{0}\right)\left[\sum_{k=1}^{n}\left|j_{k}\right|\right]^{-n-1}
\]

для всех одновременно не обращающихся в пуль целых чисел $j_{k}$ и некоторой постоянной $K$. Резонансные случаи или случаи, близкие к резонансным, в применении к задаче о дополнительных интегралах детально изучены в работах Контопулоса $[25,26]$. Для систем с числом степеней свободы $n>2$ в литературе не встречается даже приближенного решения рассматриваемой задачи, хотя его можно получить без особого труда. Выписанные выше условия исключают частные решения (или «почти» решения) типа
\[
F_{0}=\sum_{k=1}^{n} p_{k} y_{k}
\]

где $p_{k}$ – такие целые числа, что
\[
\sum_{k=1}^{n} j_{k} p_{k}=0
\]

Тогда мы имеем следующее утверждение.
Лемма 1. Функция $F_{0}$ является произвольной функцией переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и произвольной функцией линейной формы $\alpha_{1} y_{1}+\ldots+\alpha_{n} y_{n}$, где вещественные, не являющиеся все одноеременно рациональными числа $\alpha_{k}$ таковы, что
\[
\alpha_{1} \omega_{1}^{0}+\ldots+\alpha_{n} \omega_{n}^{0}=0 .
\]

Отметим, что так как решение системы уравнений, соответствующих функции Гамильтона $H_{0}$, имеет вид
\[
x_{k}=\mathrm{const}, \quad y_{k}=\omega_{k}^{0}(\boldsymbol{x}) t+y_{k}^{0},
\]

то любая функция от $\alpha_{1} y_{1}+\ldots+\alpha_{n} y_{n}$ сводится к независимой постоянной. По этой причине мы будем рассматривать только $F_{0}=F_{0}(x)$ в качестве решения уравнения (2.6.5). В действительности это очевидно, так кан функция $F_{0}$ должна быть интегралом системы уравнений, соответствующих гамильтониану $H_{0}$, и, следовательно, функцией $n$ интегралов этой системы $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Лемма 2. Если $F_{0}=F_{0}(x)$ и функция $F_{1}(y, x)$ является $2 \pi$-периодической относительно $y_{1}, \ldots, y_{n}$ с нулевым средним, то функция ( $\left.H_{1}, F_{1}\right)$ также будет $2 \pi$-периодической относительно $y_{1}, \ldots, y_{n}$ с нулевым средним при условии, что $H_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})-2 \pi$-периодическая функция относительно $y_{1}, \ldots, y_{n}$.

Действительно, условие $(F, H)=.0$ приводит к такому набору условий при $p=1,2,3, \ldots$ :
\[
\left(F_{p}, H_{0}\right)+\left(F_{p-1}, H_{1}\right)+\left(F_{p-2}, H_{2}\right)+\ldots+\left(F_{0}, H_{p}\right)=0 .
\]

При $p=1$ мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\left(F_{1}, H_{0}\right)+\left(F_{0}, H_{1}\right)=0, \\
\sum_{j=1}^{n} \omega_{j}^{0} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{j}}=\sum_{j=1}^{n} P_{j}(x) \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{j}},
\end{array}
\]

где
\[
P_{j}(x)=\frac{\partial F_{0}}{\partial x_{j}} .
\]

Правая часть уравнения (2.6.8) – $2 \pi$-периодическая по каждому $y_{k}$ и пмеет нулевое среднее. Аналогичное утверждение справедливо и относительно функции $F_{1}(y, x)$, в которой можно пренебречь любой произвольной функцией $x$; величины $\omega_{j}^{0}$; удовлетворяют условию (2.6.6). Пусть теперь $\theta=p_{1} y_{1}+\ldots+p_{n} y_{n}$ – произвольный аргумент в ряде Фурье функции $H_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$, где целые чпсла $p_{1}, \ldots, p_{n}$ одновременно в нуль не обращаются. В силу линейности уравнения (2.6.8) можно обойтись этим единственным аргументом. Таким образом, отбросив произвольную функцию $\boldsymbol{x}$, для этого аргумента получаем
\[
F_{1}=\frac{\sum_{j=1}^{n} p_{j} P_{j}}{\sum_{j=1}^{n} p_{j} \omega_{j}^{0}}(-A \sin \theta+B \cos \theta),
\]

где, согласно определению, $H_{1}=A \cos \theta+B \sin \theta+\ldots$ Сомножитель, стоящий перед скобкой в правой части (2.6.9), является Функцией $x$, которую обозначим через $C(x)$, и, учитывая (2.6.6), находим, что он не слишком велик (очевидно, надо, чтобы постоянная $K\left(\omega^{0}\right)$ в (2.6.6) была $O(1)$ но сравнению с $\varepsilon$ ).
Отсюда следует равенство
\[
\left(F_{1}, H_{1}\right)_{\theta}=\left\{\sum_{j=1}^{n} p_{j} \frac{\partial C}{\partial x_{j}}\right\}\left\{\frac{B^{2}-A^{2}}{2} \sin 2 \theta+A B \cos 2 \theta\right\},
\]

которое и доказывает лемму, так как члены, не зависящие от $\theta$, можно считать периодическими функциями этого аргумента.

Рассмотрим уравнение (2.6.7) для $p=2$. Функция $F_{2}$ определяется формулой
\[
\left(F_{2}, H_{0}\right)+\left(F_{1}, H_{1}\right)+\left(F_{0}, H_{2}\right)=0
\]
I.тII
\[
\sum_{k=1}^{n} \omega_{h}^{0} \frac{\partial F_{2}}{\partial y_{k}}=\sum_{k=1}^{n} P_{k}(x) \frac{\partial H_{2}}{\partial y_{k}}-\left(F_{1}, H_{1}\right)
\]

откуда следует, что если пренебречь произвольной функцией переменных $x$, то $F_{2}$ также будет $2 \pi$-периодической функцией относптельно $y_{1}, \ldots, y_{n}$.

Однако в общем случае утверждение о $2 \pi$-периодичности по улловым переменным $y_{1}, \ldots, y_{n}$ функции $F_{p}$ является неверным. Оно остается справедливым только при выполнении очень специальных условий. Наиболее важный пример такого рода – это когда $H$ представляется рядами из косинусов углов $y_{1}, \ldots, y_{n}$. В этом случае легко видеть, что $F$ также представляется рядами из косинусов. Следовательно, любая функция, получаемая при вычислении скобок Пуассона, будет выражаться через ряды из синусов и не может содержать постоянных членов. В этом легко убедиться, если написать выражение
\[
(F, H)=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial F}{\partial y_{k}} \frac{\partial H}{\partial x_{k}}-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} \frac{\partial H}{\partial y_{k}}\right)
\]

и обнаружить, что в каждом слагаемом один сомножитель есть ряд из синусов, а другой – ряд из косинусов.

Аналогичное утверждение верно, когда $H$ представляется рядами из синусов. В задачах небесной механики, в которых рассматриваются ньютоновские силы, эти условия часто бывают выполнены.

Сходимость такого метода последовательных приближений была доказана Уиттекером [102] дія некоторого специального класса задач с двумя степенями свободы, а именно: для движения в окрестности положения равновесия в общем эллиптическом случае при рационально независимых частотах нормальных колебаний $\omega_{1}, \omega_{2}$ и в достаточно малой окрестности равновесия. Хотя Уиттекер считал, тто для большинства случаев имеет место сходимость, он, тем не менее, указал на факт, что такие дополнительные интегралы в общем случае не могут быть равномерно сходящимися для любого значения независимой переменной и по отношению ко всем значениям постоннных интегрирования или параметрам задачи из любого интервала. Это последнее утверждение очевидно следует из того факта, что по мере того, как отнопение $\omega_{1} / \omega_{2}$ изменяется от иррационального значения к некоторому рациональному, ряды, определяющие дополнительные интегралы, принимают совершенно другой вид. Аналогичная ситуация имеет место при применении метода усреднения по отношению к типу движения, определяемого гамильтонианом $H_{0}$ (опорное решение). При нелинейных колебаниях нормальная форма зависит от начальных условий и, следовательно, кажется естественным заключить, что, насколько это касается начальных условий, сходимость в любой области фазового пространства невозможна. В действительности аналогичные соображения лежали в основе теоремы Пуанкаре о расходимости рядов в небесной механике [91].

Разумеется, существует один случай, при котором вопрос о сходимости даже не встает: очевидная ситуация, когда ряды обрываются. Даже если интеграл существует в виде полинома относительно $\varepsilon$, остается воцрос о том, каким должно быть нулевое приближение $F_{0}$. Разница между получением рядов (в конечном счете расходящихся) и полинома может зависеть от выбора функции $F_{0}(x)$. Если бы был найден общий принцип нахождения таких функций, то мы могли бы иметь критерий существования пнтегралов, являющихся полиномаии относительно некоторых физических параметров. Рассмотрим, например, случай
\[
H=H_{0}(x)+H_{1}(y, x),
\]

достаточно общий в задачах теории возмущений. В этом случае уравнение, определяющее функции $F_{p}$, имеет вид ( $p=1,2, \hat{\jmath}, \ldots$ )
\[
\left(F_{p}, H_{0}\right)+\left(F_{p-1}, H_{1}\right)=0 .
\]

Очевидно, если $F_{k}(k \geqslant p$ ) тождественно равны нулю, то отсюда следует, что $F=F_{0}+F_{1}+\ldots+F_{p-1}$, где
\[
\begin{array}{l}
\left(F_{0}, H_{0}\right)=0, \\
\left(F_{1}, H_{0}\right)+\left(F_{0}, H_{1}\right)=0, \\
\left(F_{2}, H_{0}\right)+\left(F_{1}, H_{1}\right)=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\left.\cdot F_{p-1}, H_{0}\right)+\left(F_{p-2}, H_{1}\right)=0, \\
\left(F_{p-1}, H_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Последнее условие подразумевает, что функция $F_{p-1}$ является интегралом системы уравнений, соответствующей гамильтониану $H_{1}$. Это есть необходимое условие того, что интеграл $F$ является полиномом степени $p-1$ относительно $\varepsilon$. Ясно, что для этого достаточно, чтобы функция $F_{p-1}$ была равна $H_{1}$ или являлась функцией от $H_{1}$.

Например, такая ситуация имела место в случае интегрируемости Ковалевской для движения симметричного волчка под действием гравитационного поля. Для изучения этого движения введем переменные Андуайе [2]
\[
L=p_{\psi}=G \cos b, \quad p_{\theta}=G \sin b \cdot \sin (l-\psi), \quad p_{\phi}=H=G \cos I,
\]

где $\varphi, \psi, \theta$ – углы Эйлера, определение которых можно найти, например, в книге Голдстейна [44], $G$ – величина кинетического момента, $I$ – наклонение плоскости $p$ (нормальной к вектору кинетического момента) к инерциальной әкваториальной плоскости, $b$ – наклонение главной инерциальной экваториальной плоскости тела к плоскости $p$, а $l$ – угол между связанной с телом осью $O x$ и линией пересечения плоскости $O x y$, связанной с телом, с плоскостью $p$. Пусть $h$ – угол между инерциальной осью $O X$ п линией пересечения плоскостей $O X Y$ п $p$, а $g$ – угол между линиями пересечения плоскости $p$ с плоскостями $O X Y$ и $O x y$. Тогда переменные $L, G, H, l, g, h$ будут канонически сопряженными (см., нашример, [31]), и кинетическая энергия имеет вид
\[
\mathscr{H}_{0}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{A} \sin ^{2} l+\frac{1}{B} \cos ^{2} l\right)\left(G^{2}-L^{2}\right)+\frac{1}{2 C} L^{2},
\]

где $A, B, C$ – главные центральные моменты инерции (по осям $O x, O y, O z$ соответственно). Если положить $A=B$, то
\[
\mathscr{C}_{0}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{A}\right) L^{2}+\frac{1}{2 A} G^{2} .
\]

Потенциальная энергия при сделанном выборе осей может быть записана в виде
\[
\begin{aligned}
w \mathscr{H}_{1}=w\left\{x_{G}[\sin I \sin g \cos l+\right. & (\sin b \cos I+\cos b \sin I \cos g) \sin l]+ \\
& \left.+z_{G}[\cos b \cos I-\sin b \sin I \cos g]\right\},
\end{aligned}
\]

где $w$ – вес волчка, а $x_{G}, y_{G}=0, z_{G}$ – координаты центра масс в системе координат, связанной с телом. Очевидно, мы имеем интегралы $\mathscr{H}_{0}+w \mathscr{H}_{1}=E$ (интеграл энергии) и $H=G \cos I=H_{0}$ (так как $h$ – циклическая координата).

Рассмотрим интеграл системы $F(L, G, H, l, g, h)$, такой, что $F=F_{0}+w F_{1}+\ldots$,
\[
F_{0}=\psi(L, G), \quad F_{k}=F_{k}(L, G, l, g) \quad(k=1,2, \ldots),
\]

где по предположению $h$ – циклическая переменная, а $H=H_{0}$ параметр, зависимость от которого явно не показана. Мы можем переписать $\mathscr{H}_{0}, \mathscr{H}_{1}$ в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{H}_{0}=\frac{a}{2} L^{2}+\frac{b}{2} G^{2}, \\
\mathscr{H}_{1}=A^{0} \sin (l+g)+B^{0} \sin (l-g)+C^{0} \sin l+D^{0} \cos g+E^{0},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
A^{0} & =x_{G} \frac{(L-G) \sqrt{G^{2}-H^{2}}}{2 G^{2}}, \\
B^{0} & =x_{G} \frac{(L-G) \sqrt{G^{2}-H^{2}}}{2 G^{2}}, \\
C^{0} & =x_{G} \frac{H \sqrt{G^{2}-L^{2}}}{G^{2}}, \\
D^{0} & =-z_{G} \frac{\sqrt{\left(G^{2}-L^{2}\right)\left(G^{2}-H^{2}\right)}}{G^{2}}, \\
E^{0} & =z_{G} \frac{L H}{G^{2}} .
\end{aligned}
\]

Условия того, что функция $F$ – ннтеграл, имеют вид ( $k=1,2, \ldots$ )
\[
\left(\mathscr{H}_{0}, F_{k}\right)+\left(\mathscr{H}_{1}, F_{k-1}\right)=0 .
\]

Оставим пока функцию $\psi(L, G)=F_{0}$ неопределенной и попытаемся определить, при каких условиях на $\psi$ и физические параметры ряд для $F$ обрывается. Из (2.6.10) получаем
\[
\begin{array}{l}
a L \frac{\partial F_{k}}{\partial l}+b G \frac{\partial F_{k}}{\partial g}= \\
=\left[A^{0} \cos (l+g)+B^{0} \cos (l-g)+C^{0} \cos l\right] \frac{\partial F_{k-1}}{\partial L}+ \\
+\left[A^{0} \cos (l+g)-B^{0} \cos (l-g)-D^{0} \sin g\right] \frac{\partial F_{k-1}}{\partial G}- \\
-\left[A_{L}^{0} \sin (l+g)+B_{L}^{0} \sin (l-g)+C_{L}^{0} \sin l+D_{L}^{0} \cos g+E_{L}^{0}\right] \frac{\partial F_{k-1}}{\partial l}- \\
-\left[A_{G}^{0} \sin (l+g)+B_{G}^{0} \sin (l-g)+C_{G}^{0} \sin l+D_{G}^{0} \cos g+E_{G}^{0}\right] \frac{\partial F_{k-1}}{\partial g} .
\end{array}
\]

При $k=1$ находим
\[
\begin{array}{l}
F_{1}=\frac{A^{0}\left(\psi_{L}+\psi_{G}\right)}{a L+b G} \sin (l+g)+\frac{B^{0}\left(\psi_{L}-\psi_{G}\right)}{a L-b G} \sin (l-g)+ \\
+\frac{C^{0} \psi_{L}}{a L} \sin l+\frac{D^{0} \psi_{G}}{b G} \cos g+E^{\prime}= \\
=A^{\prime} \sin (l+g)+B^{\prime} \sin (l-g)+C^{\prime} \sin l+D^{\prime} \cos g+E^{\prime}, \\
\end{array}
\]

где $E^{\prime}$ – произвольная функция, зависящая от $L, G$. Функция $F_{1}$ имеет тот же вид, что и $\mathscr{H}_{1}$. Действительно, это условие является необходимым, так как, взяв за $\psi$ функцию $\mathscr{H}_{0}\left(\psi=\mathscr{H}_{0}\right)$, мы должны получить $F_{1}=\mathscr{H}_{1}+$ произвольная функция, зависящая от $L, G$. Также ясно, что не существует функции $\psi
ot 0$, такой, что $F_{1}=0$. При $k=2$ уравнения (2.6.11) дают (см. [38])
\[
\begin{array}{l}
F_{2}=A_{0,1} \cos g+A_{0,2} \cos 2 g+A_{1,-1} \cos (l-g)+ \\
\quad+A_{1,0} \cos l+A_{1,1} \cos (l+g)+A_{1,2} \cos (l+2 g)+ \\
\quad+A_{2,-2} \cos (2 l-2 g)+A_{2,-1} \cos (2 l-g)+A_{2,0} \cos 2 l+ \\
+A_{2,1} \cos (2 l+g)+A_{2,2} \cos (2 l+2 g)+B_{1,-2} \sin (l-2 g)+ \\
+B_{1,-1} \sin (l-g)+B_{1,0} \sin l+B_{1,1} \sin (l+g)+ \\
\quad+B_{1,2} \sin (l+2 g)+E^{\prime \prime}
\end{array}
\]

где $E^{\prime \prime}$ – произвольная функция, зависящая от $L, G$, а $A_{j, k}, B_{j, k}-$ определенные функции, зависящие от $\psi_{L}, \psi_{G}, A^{0}, B^{0}, C^{0}, D^{0}, E^{\prime}, L$, $G, a, b$ и их производных. Если предположить $F_{2}=0$, то все эти коәффициенты должны быть тождественно равны нулю, и мы находим, что
\[
E^{\prime \prime}=E_{L}^{\prime}=E_{G}^{\prime}=0,
\]

а при условии, что $k$ – ненулевая постоянная, должно быть
\[
\begin{array}{ll}
A^{\prime}=k A^{0}, & B^{\prime}=k B^{0}, \\
C^{\prime}=k C^{0}, & D^{\prime}=k D^{0},
\end{array}
\]

так что $F_{0}=k \mathscr{H}_{0}$ п $F_{1}=k \mathscr{H}_{1}$. Отсюда видно, что любой дифференцируемый интеграл (справедливый для всех значений $w$ ), имеющий вид $F_{0}+w F_{1}$, необходимо должен быть пропорционален функции $\mathscr{H}_{0}+w \mathscr{H}_{1}$.
Из (2.6.11) прп $k=3$ находим
\[
F_{3}=\sum_{k=-3}^{3} \sum_{j=-3}^{3}\left[A_{k, j}^{\prime} \cos (k l+j g)+B_{k, g}^{\prime} \sin (k l+j g)\right] .
\]

где индексы $k, j$ одновременно в нуль не обращаются, а $A_{k, j}^{\prime}, B_{k, j}{ }^{\prime}$ функцип, зависящие от $\psi_{ \pm}, \psi_{G}, A^{0}, B^{0}, C^{0}, D^{0}, E^{\prime}, E^{\prime \prime}, L, G, a, b$ и их производных. Полагая равными нулю все коэффициенты этого тригонометрического полинома, находим
I) $a=b \quad(A=2 C)$,
II) $D^{0}=E^{0}=E^{\prime}=0 \quad\left(z_{G}=0\right)$,
\[
\psi=\frac{\left(G^{2}-L^{2}\right)^{2}}{A^{4}},
\]
IV)
\[
E^{\prime \prime}=2 x_{G}^{2} \frac{G^{2}\left(L^{2}+H^{2}\right)-2 L^{2} H^{2}}{A^{2} G^{4}} .
\]

При этих условиях из (2.6.12) следует, что
\[
\begin{aligned}
F_{1}=\frac{2 x_{G}}{A^{3}}\left(1-\frac{1}{G^{2}}\right) & \sqrt{G^{2}-H^{2}}[(G-L) \sin (l+g)- \\
& -(G+L) \sin (l-g)]+\frac{4 x_{G} H^{2}}{A^{3} G^{22}} \sqrt{\left(G^{2}-H^{2}\right)^{3}} \sin l
\end{aligned}
\]

илти
\[
\begin{array}{r}
F_{1}=\frac{4 x_{G}}{A^{3}} G^{2} \sin ^{2} b[\sin I(\sin g \cos l-\cos b \cos g \sin l)- \\
-\cos I \sin b \sin l] .
\end{array}
\]

Из (2.6.13) находим
\[
\begin{array}{l}
F_{2}=\frac{4 x_{G}^{2}}{A^{2}}\left\lfloor\frac{1}{2}\left(\frac{L^{2}+H^{2}}{G^{2}}-2 \frac{L^{2} H^{2}}{G^{4}}\right)-\frac{1}{2}\left(1-\frac{H^{2}+L^{2}}{G^{2}}+\frac{L^{2} H^{2}}{G^{4}}\right) \cos 2 g+\right. \\
\left.+2 \frac{L H}{G^{2}} \sqrt{\left(1-\frac{L^{2}}{G^{2}}\right)\left(1-\frac{H^{2}}{G^{2}}\right)} \cos g\right] \\
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
F_{2}=\frac{4 x_{G}^{2}}{A}\left(1-\cos ^{2} b \cos ^{2} I-\sin ^{2} b \sin ^{2} I \cos ^{2} g+\right. \\
+2 \sin b \cos b \sin I \cos I \cos g) .
\end{array}
\]

Легко видеть, что функции $F_{3}, F_{4}, \ldots$ равны нулю, т. е. мы установилш существованне интеграла
\[
F=F_{0}+w F_{1}+w^{2} F_{2}
\]

который является интегралом Ковалевской (см., например, [68]). Записывая $F$ через $p, q, r$ (компоненты вектора угловой скорости по осям $O x, O y, O z$ ) и углы Эйлера, находим
I) $\quad F_{0}=\frac{G^{4}}{A^{4}}\left(1-\frac{L^{2}}{G^{2}}\right)^{2}=\frac{G^{4}}{A^{4}} \sin ^{4} b=\left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}$,
II) $\quad F_{1}=-\frac{4 x_{G}}{A}\left[\left(p^{2}-q^{2}\right) \sin \theta \sin \psi+2 p q \sin \theta \cos \psi\right]$,
III)
\[
F_{2}=\frac{4 x_{G}^{2}}{A^{2}}\left(1-\cos ^{2} \theta\right)=\frac{4 x_{G}^{2}}{A^{2}} \sin ^{2} \theta
\]

Используя обозначения Лейманиса [68]
\[
\begin{array}{c}
\mu=w x_{G} A^{-1}, \quad \xi=\sin \psi \sin \theta, \\
\eta=\cos \psi \sin \theta, \quad \zeta=\cos \theta,
\end{array}
\]

получаем
\[
\vec{F}=\left(p^{2}-q^{2}-2 \mu \xi\right)^{2}+(2 p q-2 \mu \eta)^{2} .
\]

Таким образом, для любого значения $w$ (которое здесь играет роль $\varepsilon$ ) найден интеграл, правда, при условии $A=B=2 C$. При более общих условиях Арнольд [3] показал, что эта система интегрируема для достаточно малых значений $w$, т. е. он показал устойчивость быстрого. волчка.