В большинстве случаев, когда применяется метод усреднения, основное предположение заключается в том, что гамильтониан является периодической функцией по каждой из угловых переменных $y_1,\dots ,y_n$. Как было видно из § 4 настоящей главы, понятие условно-периодических функций было некоторым небольшим обобщением понятия перисдичности по каждой из переменных, применявшихся в соответствующих определениях понятия усреднения. Такие предположевия напоминают о тех специальных областях, для которых были развиты этп методы: небесная механика и теория колебаний в механических и электрических системах.

Для того чтобы найти более сбщий подход к решению нужных задач, подход, при котором не надо проверять перечисленные выше гипотезы (предположения), рассмотрим сначала простой пример. Пусть функция Гамильтона имеет вид
$$H(y_1,y_2,x_1,x_2)=H_0+H_1+H_2+\dots ,$$

где
$$\begin{array}{c}{H}_0=\frac{1}{2}{A}_{11}(x_1^2+y_1^2)+\frac{1}{2}{A}_{22}(x_2^2+y_2^2)+A_{12}(x_1{x}_2+y_{\mathbf{1}}{y}_{\mathbf{2}}),\\ H_p=H_p(y_1,y_2,x_1,x_2)(p=1,2,3,\dots ).\end{array}$$

Здесь $H_p$ — однородные полиномы степени $p+2$. Решение «главной» части задачи получается сразу же, если можно уничтожить члены $x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Вообще говоря, это весьма легко можно сделать с помощью линейного канонического преобразования $(\mathit{y},\mathit{x})\to (\eta ,\xi )$ :
$$x_j=\sum _{k=1}^2{a}_{jk}{\xi }_k,{\eta }_j=\sum _{k=1}^2{a}_{kj}{y}_k$$

где, например, можно положить
$$\begin{array}{c}{a}_{12}=A_{12},a_{22}=A_{22}-A_{11},a_{11}=(1+a_{12}{a}_{21})/a_{22},\\ a_{21}=(A_{12}{a}_{22}-A_{22}{a}_{12})/(A_{22}{a}_{12}^2+A_{11}{a}_{22}^2-2A_{12}{a}_{12}{a}_{22}),\end{array}$$

если исключить случай $A_{11}=A_{22}$, когда вышисанное преобразование становится особенным. Разумеется, этот один особый случай много легче исследовать отдельно. В общем случае гамильтониан принимает вид
$$H=H_0+H_1+H_2+\dots ,$$

где $H_0=A_1({\xi }_1^2+{\eta }_1^2)+A_2({\xi }_2^2+{\eta }_2^2)$, а $H_1,H_2,\dots$ опять являются однородными полиномами степени $3,4,\dots$ относительно ${\xi }_1,{\xi }_2,{\eta }_1,{\eta }_2$. Также можно написать
$$\begin{array}{l}{A}_1=\frac{1}{2}(A_{11}{a}_{11}^2+A_{22}{a}_{21}^2+2a_{11}{a}_{21}{A}_{12})\\ A_2=\frac{1}{2}(A_{11}{a}_{12}^2+A_{22}{a}_{22}^2+2a_{12}{a}_{22}{A}_{12}).\end{array}$$

Решение уравнения Гамильтона — Якоби
$$A_1[{\left(\frac{\partial S}{\partial {\eta }_1}\right)}^2+{\eta }_1^2]+A_2[{\left(\frac{\partial S}{\partial {\eta }_2}\right)}^2+{\eta }_2^2]=F_0({\alpha }_1,{\alpha }_2)$$

получается сразу же. Естественным образом выбирая
$$F_0=A_1{\alpha }_1^2+A_2{\alpha }_2^2$$

находим $S=S_1+S_2$, где
$${\left(\frac{\partial S_k}{\partial {\eta }_k}\right)}^2+{\eta }_k^2={\alpha }_k^2(k=1,2),$$

п, следовательно,
$${\alpha }_k^2={\xi }_k^2+{\eta }_k^2,{\beta }_k={({\xi }_k^2+{\eta }_k^2)}^{1/2}\arcsin \left({\eta }_k/{\alpha }_k\right).$$

Обратное преобразование имеет вид
$${\eta }_k={\alpha }_k\sin \frac{{\beta }_k}{{\alpha }_k},{\xi }_k={\alpha }_k\cos \frac{{\beta }_k}{{\alpha }_k}(k=1,2).$$

Главная часть функции Гамильтона запишется так:
$$H_0=F_0=A_1{\alpha }_1^2+A_2{\alpha }_2^2,$$

а вся функция Гамильтона может быть в общем виде представлена как сумма членов
$${\alpha }_1^p{\alpha }_2^q\frac{\cos }{\sin }(m\frac{{\beta }_1}{{\alpha }_1}+n\frac{{\beta }_2}{{\alpha }_2}).$$

Решение нулевого порядка
$${\alpha }_k=\text{ const },{\beta }_k=2A_k{\alpha }_{k}t+{\beta }_k^0(k=1,2)$$

показывает, что применение метода Пуанкаре обязательно приведет к появлению смешанных секулярных членов, обусловленных дифференцированием по ${\alpha }_1$ или ${\alpha }_2$ в производящей функции метода (функция обязательно содержит члены вида (2.6.1) )¹).

В дсйствительности вопрос репается проще, по крайней мерь в формальном смысле. В самом деле, пусть функция Гамильтона содержит переменные $\mathit{x},\mathit{y}$ только в виде комбинаций $x_1^2+y_1^2$ и $x_2^2+$ $+y_2^2$, т. e.
$$H=H(x_1^2+y_1^2,x_2^2+y_2^2).$$

В этом случае в силу уравнений движения
$${\dot{x}}_j=\frac{\partial H}{\partial (x_j^2+y_j^2)}2y_j,{\dot{y}}_j=-\frac{\partial H}{\partial (x_j^2+y_j^2)}2x_j$$

получаем, что
$$x_j^2+y_j^2=c_j^2=\mathrm{const},$$
1) Отметим, что указанное автором появление секулярных членов обусловлено не существом задачи, а неудачной заменой переменных ${\eta }_h$, ${\xi }_k\to {\alpha }_k,{\beta }_k$. Если ввести каноничесую унивалентную замену по формулам
$${\eta }_k=\sqrt{2{\alpha }_k}\sin {\beta }_k,{\xi }_k=\sqrt{2{\alpha }_k}\cos {\beta }_k,$$

то секулярные члены не появятся, и рещение может быть записано в виде формальных рядов при некоторых дополнительных ограничениях на линейные члены (прим. перев.).

и, следовательно,
$$x_j=c_j\cos ({\omega }_{j}t+{\sigma }_j),y_j=c_j\sin ({\omega }_{j}t+{\sigma }_j),$$

где
$${\omega }_j=-2\frac{\partial H}{\partial (x_j^2+y_j^2)}=\text{ const },$$
a $c_j,{\sigma }_j$ — произвольные постоянные. Ситуация здесь аналогична случаю, рассмотренному в книге Уиттекера [103], когда гамильтониан является только функцией переменных ${\omega }_j=x_j{y}_j$, а ${\mathit{\omega }}_j$ тогда — постоянные. Разумеется, такая ситуация будет иметь место и для стучая любых других комбинаций координат и импульсов. Такие рассмотрения приводят нас к естественному вопросу: возможно ли привести весь гамильтониан к такому виду, когда он зависит только от комбинаций $x_1^2+y_1^2$ и $x_2^2+y_2^2$, если $H_0$ имеет вид
$$H_0=A_1(x_1^2+y_1^2)+A_2(x_2^2+y_2^2).$$

Ответ на этот вопрос будет утвердительным в том смысле, что по крайней мере формально такую редукцию в общем случае можно пронзвести рядами, состоящими из зависящих от всех переменных полиномов, хотя вопрос о сходимости этих рядов как таковых никогда не исследовался. Тем не менее, эквивалентность упомянутого здесь преобразования проблеме нормализации Биркгофа очевидна.

Пусть теперь главная часть $H_0$ функции Гамильтона будет функцией только выражений $x_1^2+y_1^2$ и $x_2^2+y_2^2$, а члены высших порядков в функции Гамильтона являются функциями перемепных $x,y$, которые входят, скажем, только в комбинациях
$$w_1^p{w}_2^q{u}_1^m{u}_2^n,$$

где
$$\begin{array}{ll}{w}_1=x_1{x}_2+y_1{y}_2,& w_2=x_1{y}_2-x_2{y}_1\\ u_1=x_1^2+y_1^2,& u_2=x_2^2+y_2^2.\end{array}$$

Такой случай, например, встречается в небесной механике при исследованин в переменных Пуанкаре (см., например, [12]). В общем случае можнно считать, что члены высших порядков в $\mathit{H}$ являются однородными полиномами увеличивающихся степеней относптельно $x_1,y_1,x_2,y_2$. Исключение всех членов (кроме комбпнаций из $u_1,u_2$ ) в $H_1$ можно осуществить с помощью производяцей функции
$$S=x_1^{\prime }{y}_1+x_2^{\prime }{y}_2+S_1+S_2+\dots ,$$

так что приходим к уравнению
$$H_1({\mathit{x}}^{\prime },\mathit{y})+\sum _{k=1}^2\frac{\partial S_1}{\partial y_k}\frac{\partial H_0}{\partial x_k^{\prime }}=H_1^{\prime }({\mathit{x}}^{\prime },\mathit{y})+\sum _{k=1}^2\frac{\partial S_1}{\partial x_k^{\prime }}\frac{\partial H_0^{\prime }}{\partial y_k},$$

где штрихом отмечены новые переменные и новый гамильтониан. Далее, так как $H_0=A_1{u}_1+A_2{u}_2$, то функция $H_1^{\prime }$ определяется той частью функции $H_1$, которая содержит только комбинации из $u_1$ и $u_2$; обозначим эту часть через $H_1$. Оставшаяся часть, обозначаемая как $H_{1p}$, будет служить для определения $S_1$. Так как $H_0^{\prime }(x^{\prime },y)=H_0(x^{\prime },y)$, то отсюда следует, что
$$\sum _{k=1}^2(\frac{\partial H_0}{\partial x_k^{\prime }}\frac{\partial S_1}{\partial y_k}-\frac{\partial H_0}{\partial y_k}\frac{\partial S_1}{\partial x_k^{\prime }})=-H_{1p}(x^{\prime },y),$$

где в $H_{1p}$ любой член, в который входит $u_1$ п (или) $u_2$, в качестве множителя содержит члены, зависящие от $w_1$ или $w_2$. Далее, учитывая вид $H_0$, имеем
$$\frac{\partial H_0}{\partial x_i^{\prime }}=2{\alpha }_i{x}_i^{\prime },\frac{\partial H_0}{\partial y_i}=2{\alpha }_i{y}_i,$$

где
$${\alpha }_i={\left(\frac{\partial H_0}{\partial u_i}\right)}_{x=x^{\prime }}.$$

Следовательно, уравнение для $S_1$ принимает вид
$$2\sum _i{\alpha }_i(x_i^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial y_i}-y_i\frac{\partial S_1}{\partial x_i^{\prime }})=-H_{1p}(x^{\prime },y).$$

С другой стороны, из рассмотрения выражений для $w_k$ и $u_k$ $(k=1,2)$ следует, что
$$\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial y_1}-y_1\frac{\partial S_1}{\partial x_1^{\prime }}=w_2^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial w_1^{\prime }}-w_1^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial w_2^{\prime }}\\ x_2^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial y_2}-y_2\frac{\partial S_1}{\partial x_2^{\prime }}=w_1^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial w_2^{\prime }}-w_2^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial w_1^{\prime }}\end{array}$$

где
$$w_1^{\prime }=x_1^{\prime }{x}_2^{\prime }+y_1{y}_2,w_2^{\prime }=x_1^{\prime }{y}_2-x_2^{\prime }{y}_1.$$

Уравнение для $S_1$ становится таким:
$$2({\alpha }_1-{\alpha }_2)(w_2^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial w_1^{\prime }}-w_1^{\prime }\frac{\partial S_1}{\partial w_2^{\prime }})=-H_{1p}(w_1^{\prime },w_2^{\prime },u_1^{\prime },u_2^{\prime })=\mathrm{\Phi }{}_{1p}(w_1^{\prime },w_2^{\prime }),$$

где зависимость от $u_1^{\prime },u_2^{\prime }$ исчезает и не будет больше встречаться в дальнейших выкладках (до тех пор, пока не возникнет вопрос о зависимости только от величин $u_1^{\prime },u_2^{\prime }$ ). Решение этого последнего уравнения можно получить введением вспомогательных переменных интегрирования
$$z_1={\left(w_1^{\prime }\right)}^2-{\left(w_2^{\prime }\right)}^2,z_2={\left(w_1^{\prime }\right)}^2+{\left(w_2^{\prime }\right)}^2.$$

Произведя эти замены, мы находим
$$S_1=\frac{1}{4({\alpha }_1-{\alpha }_2)}\int \frac{{\mathrm{\Phi }}_{1p}(z_1,z_2)}{{(z_1^2-z_2^2)}^{1/2}}d{z}_1+{\mathrm{\Phi }}_1\left(z_2\right),$$

где ${\mathrm{\Phi }}_1$ — произвольная функция $z_2,u_1^{\prime },u_2^{\prime }$. Этот метод нельзя применить, если ${\alpha }_1={\alpha }_2$, т. е.
$$\frac{\partial H_0}{\partial u_1}=\frac{\partial H_0}{\partial u_2}.$$

Очевидно, это есть случай внутреннего резонанса в линейном приближении, который является исключительным. Аналогичные выкладки и общие рассуждения справедливы для приближения любого порядка. Гамильтониан, по крайней мере формально, приводится к виду
$$H^{\prime }=H_0^{\prime }+H_1^{\prime }+\dots =H^{\prime }(u_1^{\prime },u_2^{\prime }),$$

так что
$$u_1^{\prime }={\left(x_1^{\prime }\right)}^2+{\left(y_1\right)}^2=\text{ const },u_2^{\prime }={\left(x_2^{\prime }\right)}^2+{\left(y_2\right)}^2=\text{ const. }$$

Связь между переменными со штрихами и переменными без птрихов получается из соотношений
$$\begin{array}{l}{y}_k=y_k^{\prime }-\frac{\partial S_1}{\partial x_k^{\prime }}-\frac{\partial S_2}{\partial x_k^{\prime }}-\dots \\ x_k=x_k^{\prime }+\frac{\partial S_1}{\partial y_k}+\frac{\partial S_2}{\partial y_k}+\dots \end{array}$$

Проведенные выше рассмотрения устанавливают тесную связь между цроблемой Пуанкаре и нормализацией Биркгофа $[6,98]$. В действительности эти задачи эквивалентны по их целям, и такая эквивалентность в некоторых специальных прикладных вопросах была недавно показана в работах Депри [28-31].

Хорошо известно, что в общем случае ряды, вводимые при нормализации Биркгофа, расходятся, хотя и существуют некоторые исключения. Новые результаты, касающиеся таких проблем, крайне редки ${}^1$ ), и теоремы Колмогорова и Мозера можно применить только из-за пелинейности уравнений, соответствующих функции $H_0$.

Следующим важным понятием, введенным Уиттекером [103], является понятие дополнительных интегралов. Определение этих величпн и их представление в виде рядов, которое получил Уиттекер, недавно было использовано в работе Контопулоса [20], где, между прочим, показано, что такие интегралы, до сих пор считавшиеся формальным результатом, на практике остаются постоянными в течение очень большого интервала времени, а именно, настолько долго, наскольго ӘВМ дает возможность проводить интегрирование с разумной достоверностью в точности результата. Отсюда следует вопрос: можно ли для консервативной системы найти другой интеграл, кроме интеграла энергии? Очевидно, существуют системы, для которых это справедливо. Действительно, по определению интегрируемая система с $n$ степенями свободы имеет $n$ таких интегралов. Хотя хорошо известный результат Пуанкаре указывает, что динамическая система пеинтегрируема, это касается только существовапия однозначното (относительно некоторого параметра) интеграла. Зигель [96] такие показал, что в окрестности особой точки не существует дифферснцируемых интегралов. Тем не менее, могут существовать интегралы для отдельных значений параметров, появляющихся в уравнениях, для отдельных значений начальных условий или, в исключительных случаях, например, даже непрерывные интегралы. В конце этого параграфа мы приведем пример такого псключительного случая.

Пусть функция $F(\mathit{y},\mathit{x},t)$ будет дифференцируемым в области $D$ интегралом консервативной системы, определяемой гамильтонианом $\mathit{H}(\mathit{y},\mathit{x})$; пусть он, кроме того, принадлежит классу $C^2$ в некоторой области $D2n$-мерного фазового пространства $\mathit{y}=(y_1,\dots ,y_n),\mathit{x}=(x_1,\dots ,x_n)$. Хорошо известно, что для того, чтобы независимая от $H$ функция $F$ была первым интегралом, необходшмо и достаточно вышолнения соотношения
$$(F,H)+\frac{\partial F}{\partial t}=0\text{. }$$

В явном виде скобки Пуассона здесь записываются так:
$$(F,H)=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial F}{\partial y_k}\frac{\partial H}{\partial x_k}-\frac{\partial F}{\partial x_k}\frac{\partial H}{\partial y_k}).$$
1) Существенные новые результаты о сходимости рядов нормализующих преобразований получены в работах А. Д. Брюно [5*-12*] (прим. ред.).

Если интеграл $F$ не зависит явно от времени, то упомянутое условие принимает простой вид: $(F,H)=0$.

Теперь рассмотрим случай, при котором $H$ зависит от безразмерного параметра $\epsilon ,|\epsilon |\in [0,1]$, и $H$ раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки $\epsilon =0$ при $|\epsilon |<{\epsilon }_0$ :
$$H(y,x,\epsilon )=H_0(x)+\epsilon H_1(y,x)+{\epsilon }^2{H}_2(y,x)+\dots$$

Наконец, предположим, что $F$ не зависит от времени явно и является аналитической функцией (в вещественном смысле) параметра $\epsilon$ при $|\epsilon |<{\epsilon }_0$. Тогда
$$F(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )=F_0(\mathit{y},\mathit{x})+\epsilon F_1(\mathit{y},\mathit{x})+{\epsilon }^2{F}_2(\mathit{y},\mathit{x})+\dots ,$$

и потребуем, чтобы функции $F_k(\mathit{y},\mathit{x})$ при $k=0,1,2,\dots$ были дифференцируемыми в области $D$. Если $F$ является интегралом для всех $\epsilon$ при $|\epsilon |<{\epsilon }_0$, то должно быть выполнено равенство $(F_0,H_0)=0$ или в явном виде
$$\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_0}{\partial y_k}\frac{\partial H_0}{\partial x_k}=0$$

Ясно, что любая функция вида $F_0(x)$ удовлетворяет уравнению $(2.6.5)$. Если функция $F_0^{\ast }(x,y$ ! является решением уравнения $(2.6.5)$, то функция $F_0^{\ast }(x,y)+F_0^{\ast \ast }(x)$ также будет его решением незваисимо от вида функции $F_0^{\ast \ast }(x)$. Мы будем исключать из рассмотрения случаи резонансов, т. е. случаи, когда функции ${\omega }_k^0=\partial H_0/\partial x$ являются зависимыми или, в частности, линейно зависимыми на множестве целых чисел для $x\in D$.В действительности мы будем предполагать выполненными бесконечное множество условий
$$\left|\sum _{k=1}^n{j}_k{\omega }_k^0\right|>K\left({\omega }^0\right){\left[\sum _{k=1}^n\left|j_k\right|\right]}^{-n-1}$$

для всех одновременно не обращающихся в пуль целых чисел $j_k$ и некоторой постоянной $K$. Резонансные случаи или случаи, близкие к резонансным, в применении к задаче о дополнительных интегралах детально изучены в работах Контопулоса $[25,26]$. Для систем с числом степеней свободы $n>2$ в литературе не встречается даже приближенного решения рассматриваемой задачи, хотя его можно получить без особого труда. Выписанные выше условия исключают частные решения (или «почти» решения) типа
$$F_0=\sum _{k=1}^n{p}_k{y}_k$$

где $p_k$ — такие целые числа, что
$$\sum _{k=1}^n{j}_k{p}_k=0$$

Тогда мы имеем следующее утверждение.
Лемма 1. Функция $F_0$ является произвольной функцией переменных $x_1,\dots ,x_n$ и произвольной функцией линейной формы ${\alpha }_1{y}_1+\dots +{\alpha }_n{y}_n$, где вещественные, не являющиеся все одноеременно рациональными числа ${\alpha }_k$ таковы, что
$${\alpha }_1{\omega }_1^0+\dots +{\alpha }_n{\omega }_n^0=0.$$

Отметим, что так как решение системы уравнений, соответствующих функции Гамильтона $H_0$, имеет вид
$$x_k=\mathrm{const},y_k={\omega }_k^0(\mathit{x})t+y_k^0,$$

то любая функция от ${\alpha }_1{y}_1+\dots +{\alpha }_n{y}_n$ сводится к независимой постоянной. По этой причине мы будем рассматривать только $F_0=F_0(x)$ в качестве решения уравнения (2.6.5). В действительности это очевидно, так кан функция $F_0$ должна быть интегралом системы уравнений, соответствующих гамильтониану $H_0$, и, следовательно, функцией $n$ интегралов этой системы $x_1,\dots ,x_n$.

Лемма 2. Если $F_0=F_0(x)$ и функция $F_1(y,x)$ является $2\pi$-периодической относительно $y_1,\dots ,y_n$ с нулевым средним, то функция ( $H_1,F_1)$ также будет $2\pi$-периодической относительно $y_1,\dots ,y_n$ с нулевым средним при условии, что $H_1(\mathit{y},\mathit{x})-2\pi$-периодическая функция относительно $y_1,\dots ,y_n$.

Действительно, условие $(F,H)=.0$ приводит к такому набору условий при $p=1,2,3,\dots$ :
$$(F_p,H_0)+(F_{p-1},H_1)+(F_{p-2},H_2)+\dots +(F_0,H_p)=0.$$

При $p=1$ мы имеем
$$\begin{array}{l}(F_1,H_0)+(F_0,H_1)=0,\\ \sum _{j=1}^n{\omega }_j^0\frac{\partial F_1}{\partial y_j}=\sum _{j=1}^n{P}_j(x)\frac{\partial H_1}{\partial y_j},\end{array}$$

где
$$P_j(x)=\frac{\partial F_0}{\partial x_j}.$$

Правая часть уравнения (2.6.8) — $2\pi$-периодическая по каждому $y_k$ и пмеет нулевое среднее. Аналогичное утверждение справедливо и относительно функции $F_1(y,x)$, в которой можно пренебречь любой произвольной функцией $x$; величины ${\omega }_j^0$; удовлетворяют условию (2.6.6). Пусть теперь $\theta =p_1{y}_1+\dots +p_n{y}_n$ — произвольный аргумент в ряде Фурье функции $H_1(\mathit{y},\mathit{x})$, где целые чпсла $p_1,\dots ,p_n$ одновременно в нуль не обращаются. В силу линейности уравнения (2.6.8) можно обойтись этим единственным аргументом. Таким образом, отбросив произвольную функцию $\mathit{x}$, для этого аргумента получаем
$$F_1=\frac{\sum _{j=1}^n{p}_j{P}_j}{\sum _{j=1}^n{p}_j{\omega }_j^0}(-A\sin \theta +B\cos \theta ),$$

где, согласно определению, $H_1=A\cos \theta +B\sin \theta +\dots$ Сомножитель, стоящий перед скобкой в правой части (2.6.9), является Функцией $x$, которую обозначим через $C(x)$, и, учитывая (2.6.6), находим, что он не слишком велик (очевидно, надо, чтобы постоянная $K\left({\omega }^0\right)$ в (2.6.6) была $O(1)$ но сравнению с $\epsilon$ ).
Отсюда следует равенство
$${(F_1,H_1)}_{\theta }=\left\{\sum _{j=1}^n{p}_j\frac{\partial C}{\partial x_j}\right\}\{\frac{B^2-A^2}{2}\sin 2\theta +AB\cos 2\theta \},$$

которое и доказывает лемму, так как члены, не зависящие от $\theta$, можно считать периодическими функциями этого аргумента.

Рассмотрим уравнение (2.6.7) для $p=2$. Функция $F_2$ определяется формулой
$$(F_2,H_0)+(F_1,H_1)+(F_0,H_2)=0$$
I.тII
$$\sum _{k=1}^n{\omega }_h^0\frac{\partial F_2}{\partial y_k}=\sum _{k=1}^n{P}_k(x)\frac{\partial H_2}{\partial y_k}-(F_1,H_1)$$

откуда следует, что если пренебречь произвольной функцией переменных $x$, то $F_2$ также будет $2\pi$-периодической функцией относптельно $y_1,\dots ,y_n$.

Однако в общем случае утверждение о $2\pi$-периодичности по улловым переменным $y_1,\dots ,y_n$ функции $F_p$ является неверным. Оно остается справедливым только при выполнении очень специальных условий. Наиболее важный пример такого рода — это когда $H$ представляется рядами из косинусов углов $y_1,\dots ,y_n$. В этом случае легко видеть, что $F$ также представляется рядами из косинусов. Следовательно, любая функция, получаемая при вычислении скобок Пуассона, будет выражаться через ряды из синусов и не может содержать постоянных членов. В этом легко убедиться, если написать выражение
$$(F,H)=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial F}{\partial y_k}\frac{\partial H}{\partial x_k}-\frac{\partial F}{\partial x_k}\frac{\partial H}{\partial y_k})$$

и обнаружить, что в каждом слагаемом один сомножитель есть ряд из синусов, а другой — ряд из косинусов.

Аналогичное утверждение верно, когда $H$ представляется рядами из синусов. В задачах небесной механики, в которых рассматриваются ньютоновские силы, эти условия часто бывают выполнены.

Сходимость такого метода последовательных приближений была доказана Уиттекером [102] дія некоторого специального класса задач с двумя степенями свободы, а именно: для движения в окрестности положения равновесия в общем эллиптическом случае при рационально независимых частотах нормальных колебаний ${\omega }_1,{\omega }_2$ и в достаточно малой окрестности равновесия. Хотя Уиттекер считал, тто для большинства случаев имеет место сходимость, он, тем не менее, указал на факт, что такие дополнительные интегралы в общем случае не могут быть равномерно сходящимися для любого значения независимой переменной и по отношению ко всем значениям постоннных интегрирования или параметрам задачи из любого интервала. Это последнее утверждение очевидно следует из того факта, что по мере того, как отнопение ${\omega }_1/{\omega }_2$ изменяется от иррационального значения к некоторому рациональному, ряды, определяющие дополнительные интегралы, принимают совершенно другой вид. Аналогичная ситуация имеет место при применении метода усреднения по отношению к типу движения, определяемого гамильтонианом $H_0$ (опорное решение). При нелинейных колебаниях нормальная форма зависит от начальных условий и, следовательно, кажется естественным заключить, что, насколько это касается начальных условий, сходимость в любой области фазового пространства невозможна. В действительности аналогичные соображения лежали в основе теоремы Пуанкаре о расходимости рядов в небесной механике [91].

Разумеется, существует один случай, при котором вопрос о сходимости даже не встает: очевидная ситуация, когда ряды обрываются. Даже если интеграл существует в виде полинома относительно $\epsilon$, остается воцрос о том, каким должно быть нулевое приближение $F_0$. Разница между получением рядов (в конечном счете расходящихся) и полинома может зависеть от выбора функции $F_0(x)$. Если бы был найден общий принцип нахождения таких функций, то мы могли бы иметь критерий существования пнтегралов, являющихся полиномаии относительно некоторых физических параметров. Рассмотрим, например, случай
$$H=H_0(x)+H_1(y,x),$$

достаточно общий в задачах теории возмущений. В этом случае уравнение, определяющее функции $F_p$, имеет вид ( $p=1,2,\hat{ȷ},\dots$ )
$$(F_p,H_0)+(F_{p-1},H_1)=0.$$

Очевидно, если $F_k(k⩾p$ ) тождественно равны нулю, то отсюда следует, что $F=F_0+F_1+\dots +F_{p-1}$, где
$$\begin{array}{l}(F_0,H_0)=0,\\ (F_1,H_0)+(F_0,H_1)=0,\\ (F_2,H_0)+(F_1,H_1)=0,\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ \cdot F_{p-1},H_0)+(F_{p-2},H_1)=0,\\ (F_{p-1},H_1)=0.\end{array}$$

Последнее условие подразумевает, что функция $F_{p-1}$ является интегралом системы уравнений, соответствующей гамильтониану $H_1$. Это есть необходимое условие того, что интеграл $F$ является полиномом степени $p-1$ относительно $\epsilon$. Ясно, что для этого достаточно, чтобы функция $F_{p-1}$ была равна $H_1$ или являлась функцией от $H_1$.

Например, такая ситуация имела место в случае интегрируемости Ковалевской для движения симметричного волчка под действием гравитационного поля. Для изучения этого движения введем переменные Андуайе [2]
$$L=p_{\psi }=G\cos b,p_{\theta }=G\sin b\cdot \sin (l-\psi ),p_{\varphi }=H=G\cos I,$$

где $\phi ,\psi ,\theta$ — углы Эйлера, определение которых можно найти, например, в книге Голдстейна [44], $G$ — величина кинетического момента, $I$ — наклонение плоскости $p$ (нормальной к вектору кинетического момента) к инерциальной әкваториальной плоскости, $b$ — наклонение главной инерциальной экваториальной плоскости тела к плоскости $p$, а $l$ — угол между связанной с телом осью $Ox$ и линией пересечения плоскости $Oxy$, связанной с телом, с плоскостью $p$. Пусть $h$ — угол между инерциальной осью $OX$ п линией пересечения плоскостей $OXY$ п $p$, а $g$ — угол между линиями пересечения плоскости $p$ с плоскостями $OXY$ и $Oxy$. Тогда переменные $L,G,H,l,g,h$ будут канонически сопряженными (см., нашример, [31]), и кинетическая энергия имеет вид
$${\mathcal{H}}_0=\frac{1}{2}(\frac{1}{A}{\sin }^{2}l+\frac{1}{B}{\cos }^{2}l)(G^2-L^2)+\frac{1}{2C}{L}^2,$$

где $A,B,C$ — главные центральные моменты инерции (по осям $Ox,Oy,Oz$ соответственно). Если положить $A=B$, то
$${\mathcal{C}}_0=\frac{1}{2}(\frac{1}{C}-\frac{1}{A})L^2+\frac{1}{2A}{G}^2.$$

Потенциальная энергия при сделанном выборе осей может быть записана в виде
$$\begin{array}{rl}w{\mathcal{H}}_1=w\{x_G[\sin I\sin g\cos l+& (\sin b\cos I+\cos b\sin I\cos g)\sin l]+\\ & +z_G[\cos b\cos I-\sin b\sin I\cos g]\},\end{array}$$

где $w$ — вес волчка, а $x_G,y_G=0,z_G$ — координаты центра масс в системе координат, связанной с телом. Очевидно, мы имеем интегралы ${\mathcal{H}}_0+w{\mathcal{H}}_1=E$ (интеграл энергии) и $H=G\cos I=H_0$ (так как $h$ — циклическая координата).

Рассмотрим интеграл системы $F(L,G,H,l,g,h)$, такой, что $F=F_0+w{F}_1+\dots$,
$$F_0=\psi (L,G),F_k=F_k(L,G,l,g)(k=1,2,\dots ),$$

где по предположению $h$ — циклическая переменная, а $H=H_0$ параметр, зависимость от которого явно не показана. Мы можем переписать ${\mathcal{H}}_0,{\mathcal{H}}_1$ в виде
$$\begin{array}{l}{\mathcal{H}}_0=\frac{a}{2}{L}^2+\frac{b}{2}{G}^2,\\ {\mathcal{H}}_1=A^0\sin (l+g)+B^0\sin (l-g)+C^0\sin l+D^0\cos g+E^0,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{rl}{A}^0& =x_G\frac{(L-G)\sqrt{G^2-H^2}}{2G^2},\\ B^0& =x_G\frac{(L-G)\sqrt{G^2-H^2}}{2G^2},\\ C^0& =x_G\frac{H\sqrt{G^2-L^2}}{G^2},\\ D^0& =-z_G\frac{\sqrt{(G^2-L^2)(G^2-H^2)}}{G^2},\\ E^0& =z_G\frac{LH}{G^2}.\end{array}$$

Условия того, что функция $F$ — ннтеграл, имеют вид ( $k=1,2,\dots$ )
$$({\mathcal{H}}_0,F_k)+({\mathcal{H}}_1,F_{k-1})=0.$$

Оставим пока функцию $\psi (L,G)=F_0$ неопределенной и попытаемся определить, при каких условиях на $\psi$ и физические параметры ряд для $F$ обрывается. Из (2.6.10) получаем
$$\begin{array}{l}aL\frac{\partial F_k}{\partial l}+bG\frac{\partial F_k}{\partial g}=\\ =[A^0\cos (l+g)+B^0\cos (l-g)+C^0\cos l]\frac{\partial F_{k-1}}{\partial L}+\\ +[A^0\cos (l+g)-B^0\cos (l-g)-D^0\sin g]\frac{\partial F_{k-1}}{\partial G}-\\ -[A_L^0\sin (l+g)+B_L^0\sin (l-g)+C_L^0\sin l+D_L^0\cos g+E_L^0]\frac{\partial F_{k-1}}{\partial l}-\\ -[A_G^0\sin (l+g)+B_G^0\sin (l-g)+C_G^0\sin l+D_G^0\cos g+E_G^0]\frac{\partial F_{k-1}}{\partial g}.\end{array}$$

При $k=1$ находим
$$\begin{array}{l}{F}_1=\frac{A^0({\psi }_L+{\psi }_G)}{aL+bG}\sin (l+g)+\frac{B^0({\psi }_L-{\psi }_G)}{aL-bG}\sin (l-g)+\\ +\frac{C^0{\psi }_L}{aL}\sin l+\frac{D^0{\psi }_G}{bG}\cos g+E^{\prime }=\\ =A^{\prime }\sin (l+g)+B^{\prime }\sin (l-g)+C^{\prime }\sin l+D^{\prime }\cos g+E^{\prime },\end{array}$$

где $E^{\prime }$ — произвольная функция, зависящая от $L,G$. Функция $F_1$ имеет тот же вид, что и ${\mathcal{H}}_1$. Действительно, это условие является необходимым, так как, взяв за $\psi$ функцию ${\mathcal{H}}_0(\psi ={\mathcal{H}}_0)$, мы должны получить $F_1={\mathcal{H}}_1+$ произвольная функция, зависящая от $L,G$. Также ясно, что не существует функции $\psi ot0$, такой, что $F_1=0$. При $k=2$ уравнения (2.6.11) дают (см. [38])
$$\begin{array}{l}{F}_2=A_{0,1}\cos g+A_{0,2}\cos 2g+A_{1,-1}\cos (l-g)+\\ +A_{1,0}\cos l+A_{1,1}\cos (l+g)+A_{1,2}\cos (l+2g)+\\ +A_{2,-2}\cos (2l-2g)+A_{2,-1}\cos (2l-g)+A_{2,0}\cos 2l+\\ +A_{2,1}\cos (2l+g)+A_{2,2}\cos (2l+2g)+B_{1,-2}\sin (l-2g)+\\ +B_{1,-1}\sin (l-g)+B_{1,0}\sin l+B_{1,1}\sin (l+g)+\\ +B_{1,2}\sin (l+2g)+E^{\prime \prime }\end{array}$$

где $E^{\prime \prime }$ — произвольная функция, зависящая от $L,G$, а $A_{j,k},B_{j,k}-$ определенные функции, зависящие от ${\psi }_L,{\psi }_G,A^0,B^0,C^0,D^0,E^{\prime },L$, $G,a,b$ и их производных. Если предположить $F_2=0$, то все эти коәффициенты должны быть тождественно равны нулю, и мы находим, что
$$E^{\prime \prime }=E_L^{\prime }=E_G^{\prime }=0,$$

а при условии, что $k$ — ненулевая постоянная, должно быть
$$\begin{array}{ll}{A}^{\prime }=k{A}^0,& B^{\prime }=k{B}^0,\\ C^{\prime }=k{C}^0,& D^{\prime }=k{D}^0,\end{array}$$

так что $F_0=k{\mathcal{H}}_0$ п $F_1=k{\mathcal{H}}_1$. Отсюда видно, что любой дифференцируемый интеграл (справедливый для всех значений $w$ ), имеющий вид $F_0+w{F}_1$, необходимо должен быть пропорционален функции ${\mathcal{H}}_0+w{\mathcal{H}}_1$.
Из (2.6.11) прп $k=3$ находим
$$F_3=\sum _{k=-3}^3\sum _{j=-3}^3[A_{k,j}^{\prime }\cos (kl+jg)+B_{k,g}^{\prime }\sin (kl+jg)].$$

где индексы $k,j$ одновременно в нуль не обращаются, а $A_{k,j}^{\prime },B_{k,j}{}^{\prime }$ функцип, зависящие от ${\psi }_{\pm },{\psi }_G,A^0,B^0,C^0,D^0,E^{\prime },E^{\prime \prime },L,G,a,b$ и их производных. Полагая равными нулю все коэффициенты этого тригонометрического полинома, находим
I) $a=b(A=2C)$,
II) $D^0=E^0=E^{\prime }=0(z_G=0)$,
$$\psi =\frac{{(G^2-L^2)}^2}{A^4},$$
IV)
$$E^{\prime \prime }=2x_G^2\frac{G^2(L^2+H^2)-2L^2{H}^2}{A^2{G}^4}.$$

При этих условиях из (2.6.12) следует, что
$$\begin{array}{rl}{F}_1=\frac{2x_G}{A^3}(1-\frac{1}{G^2})& \sqrt{G^2-H^2}[(G-L)\sin (l+g)-\\ & -(G+L)\sin (l-g)]+\frac{4x_G{H}^2}{A^3{G}^{22}}\sqrt{{(G^2-H^2)}^3}\sin l\end{array}$$

илти
$$\begin{array}{r}{F}_1=\frac{4x_G}{A^3}{G}^2{\sin }^{2}b[\sin I(\sin g\cos l-\cos b\cos g\sin l)-\\ -\cos I\sin b\sin l].\end{array}$$

Из (2.6.13) находим
$$\begin{array}{l}{F}_2=\frac{4x_G^2}{A^2}\lfloor \frac{1}{2}(\frac{L^2+H^2}{G^2}-2\frac{L^2{H}^2}{G^4})-\frac{1}{2}(1-\frac{H^2+L^2}{G^2}+\frac{L^2{H}^2}{G^4})\cos 2g+\\ +2\frac{LH}{G^2}\sqrt{(1-\frac{L^2}{G^2})(1-\frac{H^2}{G^2})}\cos g]\end{array}$$

или
$$\begin{array}{l}{F}_2=\frac{4x_G^2}{A}(1-{\cos }^{2}b{\cos }^{2}I-{\sin }^{2}b{\sin }^{2}I{\cos }^{2}g+\\ +2\sin b\cos b\sin I\cos I\cos g).\end{array}$$

Легко видеть, что функции $F_3,F_4,\dots$ равны нулю, т. е. мы установилш существованне интеграла
$$F=F_0+w{F}_1+w^2{F}_2$$

который является интегралом Ковалевской (см., например, [68]). Записывая $F$ через $p,q,r$ (компоненты вектора угловой скорости по осям $Ox,Oy,Oz$ ) и углы Эйлера, находим
I) $F_0=\frac{G^4}{A^4}{(1-\frac{L^2}{G^2})}^2=\frac{G^4}{A^4}{\sin }^{4}b={(p^2+q^2)}^2$,
II) $F_1=-\frac{4x_G}{A}[(p^2-q^2)\sin \theta \sin \psi +2pq\sin \theta \cos \psi ]$,
III)
$$F_2=\frac{4x_G^2}{A^2}(1-{\cos }^2\theta )=\frac{4x_G^2}{A^2}{\sin }^2\theta$$

Используя обозначения Лейманиса [68]
$$\begin{array}{c}\mu =w{x}_G{A}^{-1},\xi =\sin \psi \sin \theta ,\\ \eta =\cos \psi \sin \theta ,\zeta =\cos \theta ,\end{array}$$

получаем
$$\overrightarrow{F}={(p^2-q^2-2\mu \xi )}^2+(2pq-2\mu \eta {)}^2.$$

Таким образом, для любого значения $w$ (которое здесь играет роль $\epsilon$ ) найден интеграл, правда, при условии $A=B=2C$. При более общих условиях Арнольд [3] показал, что эта система интегрируема для достаточно малых значений $w$, т. е. он показал устойчивость быстрого. волчка.