Рассмотрим гамильтониан
\[
H=H(x, y),
\]
где $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ – канонически сопряженные векторы импульсов и координат размерности $n$, и пусть $H$ – вещественная аналитическая функция в области $D 2 n$-мерного фазового пространства. Предположим, что $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ – вецественные переменные, а точка $(0,0) \in D$ – изолированное положение равновесия системы
\[
\dot{x}_{k}=-H_{y_{k}}, \quad \dot{y}_{k}=H_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]
Предположим также, что
\[
\operatorname{det}\left\{\frac{\partial^{\varepsilon} H}{\partial x_{i} \partial y_{j}}\right\}
eq 0
\]
при $\boldsymbol{x}=0, \boldsymbol{y}=0$. По предположению функция $H$ раскладывается в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки $(0,0)$, так что
\[
H=H_{2}+H_{3}+H_{4}+\ldots,
\]
где $H_{p}$ – однородные полиномы степени $p$ относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$, $y_{1}, \ldots, y_{n}$. В дальнейшем предположим, что все собственные числа квадратичной формы $H_{2}$ раэличны между собой. Обозначим их через $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n},-\lambda_{1}, \ldots,-\lambda_{n}$. Тогда существует линейное симплектическое преобразование, приводящее (3.4.3) к виду
\[
H=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} X_{k} Y_{k}+H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})+H_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})+\ldots
\]
Введем новые переменные по формулам
\[
\varepsilon \xi_{k}=X_{k}, \quad \varepsilon \eta_{k}=Y_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]
где $0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1$. Уравнения (3.4.2) теперь можно переписать так:
\[
\dot{\xi}_{k}=-\frac{\partial F}{\partial \eta_{k}}, \quad \dot{\eta}_{k}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{k}},
\]
где
\[
F=\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} \xi_{k} \eta_{k}+\varepsilon F_{1}(\xi, \boldsymbol{\eta}, \varepsilon)
\]
а функция $F_{1}$ является степенным рядом относительно $\xi_{k}, \eta_{k}, \varepsilon$, начинающимся с членов третьей степени относительно $\xi_{k}, \eta_{k}$.
Собственные числа могут быть вещественными или комплексными. Здесь мы будем предполагать, что точка $(0,0)$ является положением равновесия эллиптического типа, т. е. все $\lambda_{k}$ – чисто мнимые. Мы также определим
\[
\lambda_{k}=i \omega_{k} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]
где вещественные числа $\omega_{k}$ могут быть положительными или отрицательными, но не нулевыми ‘). В этом случае коэффициенты функции $F_{1}$ будут чисто мнимыми, и мы можем написать ${ }^{2}$ )
\[
F_{1}=-i H_{1},
\]
где $H_{1}$ – стеденной ряд относительно $\xi_{k}, \eta_{k}$ с вещественными коэффициентами, и он начинается с членов третьего порядка относительно $\xi_{k}, \eta_{k}$.
После применения канонического преобразования
\[
u_{k}=\frac{1}{2} \xi_{k} \eta_{k}, \quad v_{k}=2 i \ln \frac{\xi_{k}}{\eta_{k}},
\]
или
\[
\eta_{k}=\sqrt{2 u_{k}} e^{i v_{k}}, \quad \xi_{k}=\sqrt{2 u_{k}} e^{-i v_{k}},
\]
уравнения (3.4.6) принимают вид
\[
\dot{u}_{k}=-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial v_{k}}, \quad \dot{v}_{k}=\omega_{k}+\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial u_{k}} .
\]
Этим уравнениям соответствует функция Гамильтона
\[
H=\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} u_{k}+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \varepsilon),
\]
где функция $H_{1}$ периодична по каждой переменной $v_{k}$ с периодом $2 \pi$, а ее коэффициенты ряда Фурье являются полиномами относительно $u_{1}, \ldots, u_{n}{ }^{3}$ ).
1) Знаки величин $\omega_{k}$ выясняются на этапе линейной нормализадии (прим. перев.).
2) Это утверждение автора ошибочно. Например, квадратичная часть гамильтониана $H=\frac{1}{2} \omega\left(x^{2}+y^{2}\right)+2 \sqrt{2} x^{2} y$ в окрестности нулевого положения равновесия имеет чисто мнимое собственное значение $i \omega$, а тем не менее, записанный с помощью преобразования $x=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+i Y), y=\frac{1}{\sqrt{2}}(i X+Y)$ через переменные $X, Y$ гамильтониан имеет вид $H=i \omega X Y+\left(X^{2}+Y^{2}\right)(-Y+$ $+i X)$, т. е. не все его коэффициенты являются чисто мнимыми. Чтобы утверждение автора стало верным, исходный гамильтониан должен обладать некоторыми специальными свойствами (прим. перев.).
3) Эти полиномы обладают некоторыми специальными свойствами; см. (5.2.11) (прим. перев.).
Следовательно, задача построения решений в окрестности положения равновесия сводится к изучению возмущений интегрируемой системы дифференцильных уравнений, которая соответ. ствует гамильтониану
\[
H_{0}=\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} u_{k} .
\]
Теоремы, сформулированные в предыдущих параграфах, к этой задаче неприменимы, так как
\[
\operatorname{det}\left\{\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}\right\}=0 .
\]
С другой стороны, может оказаться, что функция
\[
H_{1 s}=\frac{1}{(2 \pi)^{n}} \int_{0}^{2 \pi} \ldots \int_{0}^{2 \pi} H_{1}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) d v_{1} \ldots d v_{n}
\]
равна нулю и, более того, частоты нормальных колебаний $\omega_{k}$ могут оказаться линейно зависимыми на множестве целых чисел. Однако в общем случае этого не будет. Именно с этой проблемой мы будем иметь дело в следующей главе, в которой строятся формальные ряды, являющиеся решением системы (3.4.10).
Важно отметить, что упомянутая проблема является частным случаем классической задачи о возмущениях линейных осцилляторов, т. е. задачи исследования уравнений ( $k=1, \ldots, n$ )
\[
\ddot{x}_{k}+\omega_{k}^{2} x_{k}=\varepsilon f_{k}(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{\varepsilon}) .
\]
Эти уравнения легко приводятся к виду
\[
\dot{u_{k}}=\varepsilon U_{k}, \quad \dot{v_{k}}=\omega_{k}+\varepsilon V_{k}
\]
с помощью преобразования
\[
\dot{x}_{k}+i \omega_{k} x_{k}=u_{k} e^{i v_{k}},
\]
т. е.
\[
\dot{x}_{k}=u_{k} \cos v_{k}, \quad \omega_{k} x_{k}=u_{k} \sin v_{k}
\]
где $x_{h}, \dot{x}_{h}(k=1, \ldots, n)$ – вещественные величины. Это и есть очень важная задача о возмущенных линейных колебаниях. Авторами основных результатов в этой задаче были: Крылов и Боголюбов [6], Ван дер Поль [42], Боголюбов [12, 13], Митропольский [28], Арнольд [1] и Мозер [29, 30].
Рассмотрим сначала автоноиный случай дифференциальных уравнений
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon Z(z, \dot{z}),
\]
где функция $Z$ нредполагается апалитической по $z, z$ в некоторой области фазового пространства $(z, \dot{z})$ п по $\varepsilon$ при $0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1$. Частота $\omega$ – вещественная і постоянная. С помощью преобразования
\[
z=\sqrt{\frac{2 x}{\omega}} \sin y, \quad \dot{z}=\sqrt{2 \omega x} \cos y
\]
это уравнение переходит в уравнения
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon \sqrt{\frac{2 x}{\omega}} \cos y Z^{*}(x, y)=\varepsilon g(r, y), \\
\dot{y}=\omega-\varepsilon \frac{\sin y}{\sqrt{2 \omega x}} Z^{*}(x, y)=\omega+\varepsilon f(x, y),
\end{array}
\]
и будем считать функции $g$ и $f$ периодическими по $y$ с периодом $2 \pi$. Мы попытаемся получить такое преобразование (см. [34])
\[
\begin{array}{l}
x=\xi+\varepsilon v(\eta, \varepsilon)+\varepsilon V(\eta, \varepsilon) \xi=x(\xi, \eta, \varepsilon), \\
y=\eta+\varepsilon u(\eta, \varepsilon)=y(\eta, \varepsilon),
\end{array}
\]
что уравнения (3.4.14) сводятся к уравнениям
\[
\dot{\xi}=O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \dot{\eta}=\tilde{\omega}+O(\xi) .
\]
Положив $\xi=0$, мы, очевидно, сведем уравнения (3.4.16) к линейной интегрируемой системе.
Рассмотрим более общую систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\Omega+M x+\varepsilon g(x, y), \\
\dot{y}=\omega+\lambda+\varepsilon f(x, y),
\end{array}
\]
и будем считать, что существуют такие постоянные $\Omega, \boldsymbol{M}, \lambda$, зависящие от $\varepsilon$, $\omega$, что система (3.4.17) сводится к системе (3.4.16). Решение этой задачи будет возможно, если систему алгебраических уравнений
\[
\begin{aligned}
\Omega(\varepsilon, \omega) & =M(\varepsilon, \omega)=0 \\
\widetilde{\omega} & =\omega+\lambda(\varepsilon, \omega)
\end{aligned}
\]
можно решить для данных о и $\varepsilon$ из некоторого интервала $0 \leqslant \varepsilon \leqslant \varepsilon_{0}$. Мы предположим, что функцив $v, V, u$ являются периодическими с периодом $2 \pi$ по $\eta$, аналитическими по $\varepsilon$ и $\eta$ и имеют нулевое среднее относительно $\eta$. Более того, мы предположим, что существуют формальные ряды
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\varepsilon \lambda_{1}+\varepsilon^{2} \lambda_{2}+\ldots \\
M=\varepsilon M_{1}+\varepsilon^{2} M_{2}+\ldots \\
\Omega=\varepsilon \Omega_{1}+\varepsilon^{2} \Omega_{2}+\ldots
\end{array}
\]
В силу сделанных предположений об аналитичности можно записать
\[
\begin{array}{l}
v=v_{0}+\varepsilon v_{1}+\varepsilon^{2} v_{2}+\ldots \\
V=V_{0}+\varepsilon V_{1}+\varepsilon^{2} V_{2}+\ldots \\
u=u_{0}+\varepsilon u_{1}+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots
\end{array}
\]
где коэффициенты $v_{k}, V_{k}, u_{k}(k=0,1, \ldots)$ раскладываются в ряды Фурье; например,
\[
v_{k}=\sum_{j} v_{k j} e^{i j \eta}, \quad v_{k j}=\text { const. }
\]
Из второго соотношения (3.4.15) следует, что
\[
\dot{y}=\dot{\eta}+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \eta} \dot{\eta}
\]
и, сравнивая это уравнение со вторым соотнопением (3.4.16), имеем
\[
\ddot{\eta}+\varepsilon \frac{\partial u}{\partial \tau} \dot{\eta}=\omega+\lambda+\varepsilon f(x(\xi, \eta, \varepsilon), y(\eta, \varepsilon)) .
\]
Из первых соотношений (3.4.15) и (3.4.16) получаем
\[
\begin{aligned}
\dot{\xi}+\varepsilon \frac{\partial v}{\partial \eta} & \dot{\eta}+\varepsilon \frac{\partial V}{\partial \eta} \dot{\xi} \dot{\eta}+\varepsilon V \dot{\xi}= \\
& =\Omega+M(\xi+\varepsilon v+\varepsilon V \xi)+\varepsilon g(x(\xi, \eta, \varepsilon), y(\eta, \varepsilon)) .
\end{aligned}
\]
Дифферендирование этого уравнения по $\xi$ дает
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \dot{\xi}}{\partial \dot{\xi}}+\varepsilon \frac{\partial v}{\partial \eta} \frac{\partial \dot{\eta}}{\partial \xi}+\varepsilon \frac{\partial V}{\partial \eta} \dot{\eta}+\varepsilon \frac{\partial V}{\partial \eta} \xi \frac{\partial \dot{\eta}}{\partial \dot{\xi}}+\varepsilon V \frac{\partial \dot{\xi}}{\partial \xi}= & \\
& =M(1+\varepsilon V)+\varepsilon \frac{\partial g}{\partial \xi}
\end{aligned}
\]
Считая уравнения (3.4.16) вышолненными при $\xi=0$, из (3.4.21),
(3.4.22) и (3.4.23) получаем
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon \omega \frac{\partial u}{\partial \eta}=\lambda+\varepsilon f(\varepsilon v, \eta+\varepsilon u) \\
\varepsilon \omega \frac{\partial v}{\partial \eta}=\Omega+\varepsilon M v+\varepsilon g(\varepsilon v, \eta+\varepsilon u) \\
\varepsilon \omega \frac{\partial V}{\partial \eta}=M(1+\varepsilon V)+\varepsilon \frac{\partial g}{\partial \xi}(\varepsilon v, \eta+\varepsilon u)(1+\varepsilon V)
\end{array}
\]
Осталось показать, что из (3.4.24) можно получить функции $u, v, V$, определяющие нужным образом величины $\lambda, M$ и $\Omega$. Используя (3.4.19) и (3.4.20), для членов порядка $O(\varepsilon)$ получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
\omega \frac{d d_{0}}{d \eta}=\lambda_{1}+f(0, \eta), \\
\omega \frac{d v_{0}}{d \eta}=\Omega_{1}+g(0, \eta), \\
\omega \frac{d V_{0}}{d \eta}=M_{1}+\frac{\partial \xi}{\partial \xi}(0, \eta) .
\end{array}
\]
В силу сделанных предположений имеем
\[
\begin{array}{l}
f(\xi, \eta)=\sum_{k} f_{k}(\xi) e^{i k \eta} \quad(k
eq 0), \\
g(\xi, \eta)=\sum_{k} g_{k}(\xi) e^{i k \eta} \quad(k
eq 0), \\
\frac{\partial g}{\partial \xi}(\xi, \eta)=\sum_{k} g_{k}^{\prime}(\xi) e^{i k \eta} .
\end{array}
\]
Полагая
\[
u_{0}=\sum_{k} u_{0 k} e^{i k \eta} \quad(k
eq 0),
\]
из первого уравнения (3.4.25) получаем
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}=-f_{0}(0)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(0, \eta) d \eta=\text { const }, \\
u_{0 h}=\frac{f_{k}(0)}{i \omega_{k}}=\text { const. }
\end{array}
\]
Аналогичным образом находим
\[
\begin{array}{c}
\Omega_{1}=-g_{0}(0)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} g(0, \eta) d \eta=\text { const }, \\
v_{0 k}=\frac{g_{k}(0)}{i \omega_{k}}=\mathrm{const}
\end{array}
\]
и
\[
\begin{array}{l}
M_{1}=-\frac{d g_{0}(0)}{d \xi}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\partial g}{\partial \xi}(0, \eta) d \eta=\mathrm{const}, \\
V_{0 k}=\frac{g_{k}^{\prime}(0)}{i \omega_{k}}=\text { const. }
\end{array}
\]
В общем случае нетрудно показать, что уравнения для членов порядка $\varepsilon^{k}(k=2,3, \ldots)$ имегот вид (3.4.25), т. е. в результате получим
\[
\begin{array}{l}
\eta=\omega t+\eta_{0}, \\
x=\varepsilon v(\eta, \varepsilon)=\varepsilon \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j} \varepsilon^{k} v_{k j} e^{i j\left(\omega t+\eta_{0}\right)}, \\
y=\omega t+\eta_{0}+\sum_{k=j}^{\infty} \sum_{j} \varepsilon^{k} u_{k j} e^{i j\left(\omega t+\eta_{0}\right)},
\end{array}
\]
и, следовательно, учитывая (3.4.13), можно заключить, что мы напли периодическое решение ( $\xi=0$ ) уравнения (3.4.12), обобщенного нами для того, чтобы можно было учесть члены, получающиеся при подстановке (3.4.14) в (3.4.17). Сходимость метода оказывается возможной, если предположить, что величина $|\omega|$ не слишком близка к нулю, и если предположить сходимость выражений (3.4.20) (см., например, [34]).
Типичным примером рассмотренной задачи является система автономных уравнений
\[
\dot{z}_{1}=z_{2}, \quad z_{2}=-\omega^{2} z_{1}+\varepsilon Z\left(z_{1}, z_{2}\right),
\]
в которых функция $Z$ является полиномом относительно $z_{1}$ и $z_{2}$. Эти уравнения можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{z_{1}}=z_{2}, \\
\dot{z_{1}}=\left(\varepsilon \omega_{1}-\omega^{2}\right) z_{1}+\varepsilon \omega_{2} z_{2}+\varepsilon P_{2}\left(z_{1}, z_{2}\right),
\end{array}
\]
где $P_{2}$ – полином, начинающийся с членов не ниже второй степени.
Предположим, что собственные числа задачи, определяемые уравнением
\[
\left|\begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
\varepsilon \omega_{i}-\omega^{2} & \varepsilon \omega_{2}-\lambda
\end{array}\right|=0,
\]
различны, т. е. $\omega^{2}
eq \varepsilon \omega_{1}+\frac{1}{4} \varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}$. В этом случае линейная часть может быть приведена к диагональному виду с помощью 11 г. Е. о. Джакалья линейного преобразования
\[
\boldsymbol{z}=B \boldsymbol{x}, \quad|B|
eq 0,
\]
получающегося при условии, что
\[
B^{-1} A B=\Lambda=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & 0 \\
0 & \lambda_{2}
\end{array}\right),
\]
где $A$ – матрица линейной части уравнений.
В результате преобразования получаем
\[
\dot{x}=\Lambda x+\varepsilon B^{-1}\left(\begin{array}{l}
0 \\
P_{2}
\end{array}\right)=\Lambda x+g(x),
\]
где функции $g_{k}(k=1,2)$ являются полиномами относительно $x_{1}, x_{2}$, начинающимися с членов не ниже второго порядка.
Посмотрим, при каких условиях существует преобразование
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}+\varphi^{*}(y),
\]
приводящее уравнения (3.4.27) к линейному впду
\[
\dot{y}=\Lambda y
\]
т. е. к виду $\dot{y}_{k}=\lambda_{k} y_{k}(k=1,2)$. Пусть функции $\varphi_{k}$ являются степенными рядами относительно $y_{1}, y_{2}$, а разложение функции $\varphi_{k}^{*}$ начинается с членов не ниже второго порядка.
Используя выписанные выше соотнопения, получаем такие уравнения относительно $\varphi$ :
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial y} \Lambda y=\Lambda \varphi+g(\varphi) .
\]
Учитывая вид функций $g$, легко проверить, что уравнения
\[
\sum_{k=1}^{2} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial y_{k}} \lambda_{k} y_{k}=\lambda_{n} \varphi_{n}+g_{n}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)
\]
при $n=1,2$ дают коэффициенты функций $\varphi$, если только
\[
\sum_{k=1}^{2} \lambda_{k} p_{k}-\lambda_{j}
eq 0 \quad(j=1,2),
\]
где $p_{1}$ и $p_{2}$ – целые неотрицательные числа, а $p_{1}+p_{2} \geqslant 2$.
Если вещественные части величин $\lambda_{k}$ имеют одинаковые знаки, то доказательство сходимости можно провести так же, как это сделал Зигель [40] при доназательстве сходимости процедуры построения периодических движений, определяемых теоремой Ляпунова, однако такое доказательство для общих случаев неизвестно ${ }^{1}$ ).
Важно отметить, что упомянутые выше предположения для уравнения Ван дер Поля
\[
\ddot{z}+\omega^{2} z=\varepsilon\left(1-z^{2}\right) \dot{z}
\]
выполняются при $\omega>\varepsilon / 2$.
