В этом введении кратко описывается последовательность, в которой мы собираемся излагать основные проблемы теории возмущений. Здесь мы хотим привести некоторые простые утверждения, не вдаваясь в математические подробности относительно рассматриваемых функций. Все необходимые предположения будут сделаны в последующих главах книги.

Следуя историческому пути развития, мы сначала рассмотрим проблему Линдстедта [46.1] ${ }^{1}$ ), которая заключается в получении решения такого уравнения:
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=\varepsilon f(x, \dot{x}, t),
\]

где $0<\varepsilon<1$ – параметр. Решение ищется в виде рядов, не содержащих секулярных и (или) смешанных секулярных членов. Как было обнаружено, возможность получения решения
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0}(t)+\varepsilon x_{1}(t)+\varepsilon^{2} x_{2}(t)+\ldots, \\
\dot{x}=\dot{x}_{0}(t)+\varepsilon \dot{x_{1}}(t)+\varepsilon^{2} \dot{x}_{2}(t)+\ldots
\end{array}
\]

приведенного выше уравнения, где $x_{j}(t), \dot{x}_{j}(t)$ – ограниченные функции при всех $t \in R$, существенно зависит от природы функции $f$ и ее производных до некоторого порядка. Как было найдено Линдстедтом, опорное решение $x_{0}(t), \dot{x}_{0}(t)$ дается формуламп
\[
\begin{array}{c}
x_{0}=a \cos (\omega t+\sigma), \\
\dot{x_{0}}=-a \omega \sin (\omega t+\sigma) .
\end{array}
\]

Здесь $\omega$-вначале неизвестная величина, по предположению
1) В дальнейшем при ссылках на литературу первое число означает порядіовый номер цитируемой работы в списке литературы к главам I-V coответственно. Второе число – номер тлавы, данный арабской цифрой,- может отсутствовать, если источник приводится в конце этой же главы. Номера статей и монографий из списка литературы, добавленной при переводе. даются в подстрочных примечаниях и отмечены звездочкой (прим. перев.).
представимая в виде степенного ряда
\[
\omega=\omega_{0}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\varepsilon^{3} \omega_{3}+\ldots,
\]

где $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots$ – константы, зависящие от $\omega_{0}, a$ и $f$. Строго говоря, самые первые пошытки исследования возмущенных колебательных систем были сделаны еще Эйлером [23.1] при рассмотрении движения Луны. Делоне [16.1] был вторым исследователем, обнаружившим, что при уничтожении неограниченных членов в рядах решения для таких систем большую трудность представляет выбор опорной частоты – факт, который привел его, возможно впервые, к систематической процедуре определения рядов, которые сегодня называются характеристическили показателями Фтоке – Ляпунова. Переход от метода последовательных канонических преобразований Делоне к методу, использующему пропзводящую функцию, впервые был предложен Тиссераном [68.1]. Через некоторое время была опубликована работа Линдстедта [46.1], результаты которой сразу же были применены Пуанкаре [57.1] ₹ систематической процедуре усреднения для гамильтоновых спстем (не обязательно автономных). По существу весь второй том его «Небесной механики» посвящен этому методу и связанным с нпм вопросам, среди которых важнейшим является проблема резонансов (причем в нелинейном смысле). Пуанкаре достиг больших успехов в обобщении всех предшествующих работ, включая п фундаментальные работы Бохлина и Гильдена. В хронологическом отношении дальнейшие успехи в рассматриваемой проблеме быпи достпгнуты опять же в небесной механике Цейпелем [105.2], обобщившим идеи Пуанкаре. Здесь мы не будем вдаваться в детальное обсуждение всех этих работ, а укажем только на различные обзоры рассматриваемого вопроса (Чезари [13.1]; Джакалья [29.1]; Кинер [43.1]). После этого прошло более десяти лет, прежде чем похожие проблемы и задачи возникли в нелинейной теории цепей; они привели затем к появлению метода усреднения Крылова – Боголюбова [39.1], [40.1], который стал доступным для западных матемжтиков благодаря усилениям Лефшеца [67.2]. Работа Брауна [8.1] по нелинейным резонансам была хорошо воспринята после работ Пуанкаре, занимавшегося этой проблемой; в действительности она основана на примерах, которые Браун привел для иллюстрации метода Бохлина. Начиная примерно с 1950 года появилась обширная литература по методам теории возмущений и процедурам усреднения, и специальные ссылки на эти работы будут даваться в соответствующих местах настоящей книги. Что касается чисто аналитических работ, направленных на исследование качественных закономерностей, то для последнего столетия тппичными являются работы, посвященные класспческому анализу явно вависящих от времени решений спстем лифрференциальных уравнений.

Если даже исходить из различных точек зрения, то первым, кто пытался понять геометрические аспекты дифференциальных систем, был Пуанкаре [60.1]. Его предположение о существовании неподвижных точек у сохраняющих площадь отображений, связанное с репением автономных систем, было доказано Биркгофом [3.1], чья работа должна рассматриваться как работа, оказавшая наиболее глубокое влияние на развитие понятия решения дифференциальных систем. Будучи без сомнения родоначальником топологии, он ввел такие важные понятия, как инвариантные множества, блуждающие точки и т. д.-все они связаны с геометрическим поведением интегральных кривых систем дифференциальных уравнений. По-видимому, основные проблемы в этой области были решены в знаменитой работе Мозера [55.1] о сохраняющем площадь отображении кольца на себя, в работе Хейла [33.1] об интегральных многообразиях возмущенных систем и в работе Крылова и Боголюбова [39.1]. Более подробные ссылки на литературу будут даны в соответствующих местах при изучении инвариантных множеств.

Классическими (п вероятно старейшими) методами теории возмущений являются методы типа метода Эйлера – Лагранжа, обобщенного Пуассоном. Основной частью их консервативных аналогов является теорема Якоби о вариацин канонических переменных. Так как метод Пуассона является наиболее общим, то он заслуживает здесь особого упоминания, что і будет сделано по мере исторического изложения результатов.
Рассмотрим систему дифферендиальных уравнений
\[
\dot{x}=\boldsymbol{f}(x, t),
\]

где $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{f}$ – $n$-мерные векторы. Для простоты будем считать, что функция $f$ аналитична в некоторой области $D$ n-мерного векторного пространства и $t \in R$. Пусть в $D$ величина
\[
\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)
\]

будет первым интегралом системы уравнений (1). Отсюда следует, что вдоль любого репения системы (1) в области $D$ мы имеем
\[
\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \boldsymbol{x}} \dot{\boldsymbol{x}}+\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial t}=0,
\]

где $\boldsymbol{\sigma}-m$-мерный вектор $(m \leqslant n)$, так что $\partial \boldsymbol{\sigma} / \partial \boldsymbol{x}$-прямоугольная матрица Якоби размерности $m \times n$. Тогда для любого $x \in D$ імеем тождество
\[
\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \boldsymbol{x}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t)+\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial t}=0 .
\]

Рассмотрим теперь возмущенную систему
\[
\dot{x}=f(x, t)+g(x, t),
\]

где опять функция $g(x, t)$ предполагается аналитической в области $D \times R$. Рассмотрим вариацию интеграла (2) вдоль репения системы (4), т. е.
\[
\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \boldsymbol{x}}[\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t)+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, t)]+\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial t}
\]

или, учитывая (3),
\[
\dot{\sigma}=\frac{\partial \sigma}{\partial \boldsymbol{x}} g(x, t) \text {. }
\]

Уравнение (5) было в общем виде получено Пуассоном и как частный случай содержит уравнения Лагранжа для вариации произвольных постоянных и теорему Якоби. В частном случае динамической системы
\[
\ddot{x}=f(x, \dot{x}, t)+g(x, \dot{x}, t)
\]

уравнение Пуассона принимает вид
\[
\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \dot{x}} g(x, \dot{x}, t)
\]

где $\boldsymbol{\sigma}$ – интеграл при $\boldsymbol{g} \equiv 0$. Весьма интересно, что все основные теоремы классической механики сразу же выводятся из (6). Например, если $\sigma$ является интегралом энергии
\[
E=\frac{1}{2} \dot{x}^{2}+V(x, t),
\]

то отсюда следует $E_{\dot{x}}=\dot{\boldsymbol{x}}$, и справедливо соотношение
\[
\dot{E}=\dot{x}^{\mathrm{T}} g(x, \dot{x}, t),
\]

являющееся основным законом энергии и работы. Если $\boldsymbol{\sigma}-$ интеграл количества движения
\[
L=x \times \dot{\boldsymbol{x}},
\]

то, записав выражение для $\boldsymbol{L}_{\dot{x}}$ и подставив его в (6), получим соотношение
\[
\dot{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}, t),
\]

которое является основным законом количества движения и импульса.

Пусть система уравнений (1) является гамильтоновой ( $x$ $2 n$-мерный вектор), так что
\[
\dot{x}=M H_{x}^{\mathrm{T}},
\]

где $H=H(\boldsymbol{x}, t), M$ – каноническая матрица размерности $2 n \times$ $\times 2 n:$
\[
M=\left(\begin{array}{ll}
O & I \\
-I & O
\end{array}\right),
\]
a $I$ и $O$ – единичная п нулевая матрицы размерности $n \times n$. Положим
\[
H=H_{0}+H_{1} .
\]

Если $\boldsymbol{\sigma}$ – первый интеграл системы (7) при $H=H_{0}$, т. е. $\boldsymbol{\sigma}$ находітся в инволюции с $H_{0}$, то
\[
\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \boldsymbol{x}} M\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial \boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{T}} .
\]

Если, кроме того, матрица Якоби $J=\partial \sigma / \partial \boldsymbol{x}$ является симплектической (т. е. преобразование $\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{\sigma}$ каноническое), то отсюда следует соотношение
\[
\dot{\boldsymbol{\sigma}}=\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \boldsymbol{x}} M\left(\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial \boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{T}}\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial \boldsymbol{\sigma}}\right)^{\mathrm{T}}=M\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial \boldsymbol{\sigma}}\right)^{\mathrm{T}},
\]

являюшееся утверждением теоремы:
Теорема Якоби. Если б является $2 n$-мерным вектором, то уравнения (8) являются уравнениями Лагранжа для вариаций произвольных постоянных в случае не зависящих от времени сил.

Ћлассическим подходом к решению уравнений (9) является попытка искать $\sigma$ в виде степенны́х рядов по некоторому малому параметру и таким образом сводить задачу к методу последовательных приближений. В большпнстве случаев эта процедура приводит к появлению секулярных и смешанных секулярных членов, и, следовательно, эти ряды не будут сходящимися для всех моментов времени. Если рассматривать только ограниченные промежутки времени, то в конце концов сходимости можно добиться; повндимому, самой ранней работой, посвященной этому вопросу, является работа Макмиллана [71.2]. Мы ссылаемся на эту работу, так как она простая и довольно строгая.

В большинстве достаточно сложных методов усреднения (для гамильтоновых систем) предполагается, что функция Гамильтона 2л-периодична по каждой из угловых переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}$ и представляется сходящимся рядом Фурье
\[
H=\sum_{j} A_{j}(\boldsymbol{x}) \exp \left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)
\]

где $\boldsymbol{j}=\left(j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}\right)^{\mathrm{T}}$ – целочисленный вектор.
Уравнения, соответствующие функцип Гамильтона (10), пмеют BH,
\[
\dot{x}=-\left(\frac{\partial H}{\partial y}\right)^{\mathrm{T}}, \quad \dot{y}=\left(\frac{\partial H}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}} .
\]

Если рассматривать только часть функции $H$, соответствующую $\boldsymbol{j}=0$, т. .
\[
H_{0}=A_{0}(x),
\]

то система уравнений (11), очевидно, является интегрируемой, и где
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}, \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\omega}\left(x_{0}\right) t+y_{0},
\]
\[
\omega_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\partial H_{0} /\left.\partial x_{i}\right|_{x=x_{0}} .
\]

Если в некоторой области величины $A_{j}(x)$ при $\boldsymbol{j}
eq 0$ таковы, что Iх производные малы (в некотором смысле) по отношению $\mathrm{k}$ $\omega_{i}(x)$, то величину $H-H_{0}$ можно рассматривать как возмущенне. При классическом подхоце говорят, что если әта ситуация имеет место, то решение уравнений (11) никогда не уходіт слишком далеко от решения (12). Такое предположение в данном случае, очевидно, неверно и редко подтверждается, даже если рассматрпвать только «орбитальную близость», не обращая внимания на время. В действительности «временна́я близость» соответствующих точек чаще всего разрушаегся возмущениями. По аналогпи с понятием устойчивости здесь можно сказать, что более распространенной является орбитальная, а не ляпуновская устойчивость.

В любом случае, используя (12) в качестве опорного решения с модифицированным вектором частот $v\left(x_{0}\right)$ и используя метод птераций, мы получаем формальные ряұы
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0}+\sum_{j} \frac{C_{\boldsymbol{j}}\left(x_{0}\right)}{\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}\left(x_{0}\right)} \exp \left[i\left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}\right) t\right], \\
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) t+\boldsymbol{y}_{0}+\sum_{\boldsymbol{j}} \frac{D_{j}\left(x_{0}\right)}{j^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}\left(x_{0}\right)} \exp \left[i\left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{v}\right) t\right],
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{v}=\omega_{0}+\boldsymbol{\varepsilon} \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots$ Я $+j_{2} v_{2}+\ldots+j_{n} v_{n}$, стоящие в знаменателях, могут стать сколь угодно малыми при $j_{1}, j_{2}, \ldots, i_{n}$, принимающих все возможные целочисленные значения. Для таких рядов Пуанкаре пришел к выводу, что они будут расходящимися для всюду плотного множества частот, что, вообще говоря, есть явление случайное. Колмогоров [38.1] показал, что существует множество частот с ненулевой мерой (тем большей, чем меньше $\varepsilon$ ), на котором рассматриваемые ряды сходятся. Главным образом это следует из того, что для всех целых чисел $j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}$ возможно указать нижнюю границу чисел $j_{1} v_{1}+j_{2} v_{2}+\ldots+j_{n} v_{n}$, как это делается в теории диофантовых приближений. Способ, которым этого можно достичь в рядах, будет описан в главе II чисто формальным образом; последующие главы будут посвящены проблеме сходимости введенных методов. Глава I посвящена объяснению обозначений п терминологии, используемых во всей книге. Последняя глава книги посвящена вопросу о нелинейных резонансах.