Рассмотрим сначала систему с двумя стененями свободы ‘ $(n=2)$. Условно-периодические орбиты описываются формулами
$$y_k={\omega }_k(x_1^0,x_2^0)t+y_k^0,x_k=x_k^0(k=1,2).$$

Тор $T^2$ можно получить двумя путями: как прямое произведепие двух окружностей с радиусами $x_1$ п $x_2$ и с помощью квадрата в плоскости $y_1,y_2$. Второй путь гроще и лучше обозрим в многомерных случаях. Если значения $y_1$ и $y_2$ брать по модулю $2\pi$, то можно отождествить противоположные стороны квадрата, т. е. точки $(0,y_2)$ и $(y_1,0)$ с точками $(2\pi ,y_2)$ и $(y_1,2\pi )$ соответственно. Таким образом, тор имеет классическое ошределенне через соотношение эгвивалентности. Траекторип являются отрезками прямой линип, наклоненной $\kappa$ оси $y_1$ под углом ${\omega }_2/{\omega }_1$. Ясно, что если величина ${\omega }_2/{\omega }_1$ иррациональна, то траекториц погрывают весь квадрат и являются условно-периодическими (эргодический поток). В любом случае решения остаются на торе, который, следовательно, инвариантен по отношению к потоку.
Если предположить вышолненным условпе Колмогорова
$$\det \left\{\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_i\partial x_j}\right\}eq0,$$

то отсюда следует, что для авалитической функции $H=H_0+$ $+\mu H_1$, достаточно малых $\mu$ и д.тя всех ${\omega }_1$, ${\omega }_2$, рационально независимых и удовлетворяющих условию $|m_1{\omega }_1+m_2{\omega }_2|⩾K$ при всех не обращающихся одновременно в нуль целых $m_1,m_2$, существуют инвариантные торы
$$x_k=A_k(Y_1,Y_2),y_k=Y_k+{\mathrm{\Phi }}_k(Y_1,Y_2)(k=1,2),$$

а решение на каждом торе определяется формулами $Y_k={\omega }_{k}t+$ $+Y_k^0$. Этот факт можно выразить иначе, сказав, что эргодический поток может быть непрерывным при возмущениях.

Сведе́ние этой проблемы к изучению сохраняющего площадь отображения множества на себя дает определенные преимущества, которые следуют из геометрических свойств такого отображения. Проводниками геометрической линии исследования являлись Пуанкаре [31], Биркгоф [5] и Мозер [24, 26, 27].

Рассмотрим задачу Мозера о сохраняющем площадь отображении кругового кольца на себя. Для данного кругового кольца $A\{0⩽a⩽r⩽b\}$ рассмотрим отображение
$$U_0\{\begin{array}{l}{\theta }^{\ast }=\theta +\omega (r)\\ r^{\ast }=r\end{array}$$

где $d\omega /dr>0,r\in A$.
Такое отображение не изменяет окружностей, а просто вводит поворот’ на угол $\omega (r)$, увеличивающнйся вместе с $r$. Рассмотрим’ теперь возмущенное отображение
$$U\{\begin{array}{l}{\theta }^{\ast }=\theta +\omega (r)+F(r,\theta ),\\ r^{\ast }=r+G(r,\theta ),\end{array}$$

где $|F(r,\theta )|<\omega (r)$ для всех $\theta ,|G(r,\theta )|<r$ для $r\in A$ и периодических по $\theta$ (периода $2\pi$ ) функций $F,G$. Тогда можно показать, что при некоторых условиях на $\omega (r),F,G$ п прп $U_0$ и $U$; сохраняющих площадь, отображение $U$ (отображение кручения) имеет замкнутье инвариантные кривые, которые близки к инвариантным окружностям отображения $U_0$. Одним из существенных условий является то, что величина $\omega$ должна быть несоизмерима с $2\pi$. Связь этого результата с консервативными системами с одной степенью свободы очевидна. Действительно, инвариантными множествами интегрируемой одеомерной гамильтоновой системы являются окружности.

Теперь рассмотрим систему с двумя степенями свободы, соответствующую гамильтониану
$$H=H_0(x_1,x_2)+\mu \{H_{1s}(x_1,x_2)+H_{1p}(x_1,x_2,y_1,y_2)\},$$

который аналитичен в некоторой области $D$ фазового пространства и вериодичен (с периодом $2\pi$ ) относительно $y_1$ и $y_2$, а $|\mu |<{\mu }_0$, где $0⩽{\mu }_0⩽1$. Пусть условия теоремы Колмогорова выполнены, и в области $D$ справедливо: $\partial H_0/\partial x_{2}eq0$. Следовательно, можно решить уравнение
$$H_0(x_1,x_2)+\mu H_1(x_1,x_2,y_1,y_2)=h=\mathrm{const}$$

относительно $x_2$ и найти
$$x_2=\tilde{K}(x_1,y_1,y_2,h,\mu ),$$

где $K$ — аналитическая фунгция в некоторой области $D^{\prime }\{(x_1,h\}$; $|\mu |<{\mu }_0\}$ и она периодична по $y_1,y_2$ с периодом $2\pi$. Тогда можно разложить $\tilde{K}$ в степенной ряц относительно $\mu$. В действительности нам достаточно знать, что при сделанных предположениях можно написать
$$\tilde{K}=K_0(x_1,h)+\mu K_1(x_1,y_1,y_2,h,\mu ).$$

Теперь, исключив переменную $x_2$, можно также исключить из сястемы время. Действительно,
$$\frac{d{x}_1}{d{y}_2}=-\frac{\partial H}{\partial y_1}|\frac{\partial H}{\partial x_2}=\frac{\partial \tilde{K}}{\partial y_1},\frac{d{y}_1}{d{y}_2}=\frac{\partial H}{\partial x_1}|\frac{\partial H}{\partial x_2}=-\frac{\partial \tilde{K}}{\partial x_1},$$

где $\tilde{K}$ определяется формулой (4.3.5). Определим величины
$$y_2=\tau ,x_1=x,y_1=y,$$

так что, обозначив штрихом дифференцирование по $\tau$, пмеем счстему
$$x^{\prime }=\frac{\partial K}{\partial y},y^{\prime }=-\frac{\partial K}{\partial x}$$

с гамильтонианом
$$K=K_0(x)+\mu K_1(x,y,\tau ,\mu ).$$

В пространстве перемениы $x,y,\tau$ изучение решений системы (4.3.7) может быть сведено к изучению отображения $T_{\mu }$ плоскости $\tau =0$ в плоскость $\tau =2\pi$. Такое отображение полностью определяется системой уравнений (4.3.7). Пусть при $\tau =0$ имеются начальные условия $x=x_0,y=y_0$, лежащие в области $D$, а соответствующее решение уравнений (4.3.7) имеет вид
$$x=\phi (\tau ,x_0,y_0,\mu ),y=\psi (\tau ,x_0,y_0,\mu ).$$

Тогда отображение $T_{\mu }$ определяегся формулами
$$\begin{array}{l}{x}^{\ast }=\phi (2\pi ,x,y,\mu ),\\ y^{\ast }=\psi (2\pi ,x,y,\mu ).\end{array}$$

При $\mu =0$ отображение $T_0$ имеет вид
$$\begin{array}{l}{x}^{\ast }={\phi }_0(2\pi ,x,y)=\phi (2\pi ,x,y,0),\\ y^{\ast }={\psi }_0(2\pi ,x,y)=\psi (2\pi ,x,y,0),\end{array}$$

где ${\phi }_0$ и ${\psi }_0$ можно сразу же выписать в явпом виде. Действительно, при $\mu =0$ гамильтониан $K=K_0(x)$ и, следовательно,
$$y(\tau ,x_0,y_0)=y_0+\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}\tau ,x(\tau ,x_0,y_0)=x_0,$$

где
$${\omega }_i{}^{=}=\frac{\partial H_0}{\partial x_i}(x_1,x_2(y_1,y_2,x_1))={\omega }_i(x),$$

а отсю;а ${\omega }_1/{\omega }_2=\omega (x)$. Считая $\alpha (x)=2\pi \omega (x)$, отображение $T_0$ можно записать в виде
$$x^{\ast }=x,y^{\ast }=y+\alpha (x),$$

что в точности совпадает с видом отображений, изученных Мозером. Отображение $T_{\mu }$ в конечном счете может быть записано в виде
$$\begin{array}{l}{x}^{\ast }=x+\mu G(x,y,\mu ),\\ y^{\ast }=y+\alpha (x)+\mu F(x,y,\mu ),\end{array}$$

а величину $x$ можно считать определенной в кольде $0<a⩽$ $⩽x⩽b$. Ясно, что отображение (4.3.10) сохраняет площадь, т. е. площадь $dxdy$ инвариантна относительно $T_{\mu }$. С другой стороны, легко видеть, что, в силу сделанных предположений, функции $G$ и $F$ периодичны по $y$ с периодом $2\pi$. Если в данном кольце имеем ${\alpha }^{\prime }(x)>0$, а $\alpha (x)$ удовлетворяет условию
$$|\alpha -\frac{m}{n}2\pi |>\mu n^{3/2-\sigma },$$

где $\sigma$ — целое число, большее четырех, $m$ и $neq0$ — целые числа, то теорема Мозера [26] гарантирует, что шри достаточно малых $\mu$ отображение $T_{\mu }$ имеет инвариантные кривые, близкие к окружностям $x^{\ast }=$ const, которые являются инвариантными кривыми отображения $T_0$. Другими словами, инвариантные кривые отображения $T_0$ мало изменяются при малых возмущениях.

С другой стороны, если существует интеграл $J(x,y)=\mathrm{const}$, то, очевидно, $J(x^{\ast },y^{\ast })=\mathit{J}(x,y)$ и, следовательно, кривые $J(x,y)=\mathrm{const}$ являются инвариантными кривыми. Это дает необходимое условие существования интегралов системы (4.3.7), близких к интегралам $x=$ const при $\mu =0$.

Наконец, посмотрим, как условие ${\alpha }^{\prime }(x)eq0$ выражается в терминах исходного гамильтониана. По определению
$$\alpha =2\pi \frac{\frac{\partial H_0}{\partial x_1}(x_1,x_2\left(x_1\right))}{\frac{\partial H_0}{\partial x_2}(x_1,x_2\left(x_1\right))}=\alpha \left(x_1\right).$$

Таким образом,
$$\frac{d\alpha }{d{x}_1}=\frac{2\pi }{{\left(\frac{\partial H_0}{\partial x_2}\right)}^2}[\frac{\partial H_0}{\partial x_2}(\frac{{\hat{\partial }}^2{H}_0}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1\partial x_2}\frac{d{x}_2}{d{x}_1})-\frac{\partial H_0}{\partial x_1}(\frac{{\partial }^2{H}_n}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_2^2}\frac{d{x}_2}{d{x}_1})].$$

Но из определения $H_0(x_1,x_2)=h$ следует, что
$$\frac{\partial H_0}{\partial x_1}+\frac{\partial H_0}{\partial x_2}\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=0$$

или
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{\frac{\partial H_0}{\partial x_1}}{\frac{\partial H_0}{\partial x_2}}$$

и, следовательно,
$$\frac{d\alpha }{d{x}_1}=-\frac{2\pi }{{\left(\frac{\partial H_0}{\partial x_2}\right)}^3}\mathrm{\Delta }(x_1,x_2),$$

где $\mathrm{\Delta }$ — определитель:
$$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{lll}\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1\partial x_2}& \frac{\partial H_0}{\partial x_1}\\ \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1\partial x_2}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_2^2}& \frac{\partial H_0}{\partial x_2}\\ \frac{\partial H_0}{\partial x_1}& \frac{\partial H_0}{\partial x_2}& 0\end{array}\right|,$$

который должен быть отличен от нуля. Это условие является менее жестким, чем условие, рассмотренное Колмогоровым [17], а в действительности оно было получено Арнольдом [3] в его теореме. Здесь оно является следствием гипотезы Мозера [26] ${}^1$ ).