Рассмотрим аналитический (в некоторой области) и 2л-периодический по каждой компоненте $y_1,\dots ,y_n$ вектора $y$ гамильтониан
$$H=H_0(x)+\mu H_1(\mathit{x},\mathit{y}).$$

При $\mu =0$ условно-периодические решения
$$y_k={\mathrm{\Omega }}_k\left(x^0\right)t+y_k^0,x_k=x_k^0(k=1,\dots ,n),$$

лежат на торе $T_n$, и поток является эргодическим. Вдоль каждого решения системы уравнений, соответствующих гамильтониану (4.4.1), мы имеем
$$H(\mathit{x}(t),\mathit{y}(t)\mathrm{j}=h=\mathrm{const}.$$

Предположим, что $\partial H/\partial x_{n}eq0$. Тогда мы можем решить ураввение $H=h$ относительно $x_n$ и найти
$$x_n=f(x_1,\dots ,x_{n-1},y_1,\dots ,y_n,h,\mu ).$$

Обознатая $y_n=\tau$ и исктючая из уравнений время $t$, пмеем
$$x_k^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial y_k},y_k^{\prime }=-\frac{\partial f}{\partial x_k}(k=1,\dots ,n-1),$$

іде
$$f=f(x_1,\dots ,x_{n-1},y_1,\dots ,y_{n-1},\tau ,h,\mu ).$$

Если функция $H$ аналитичпа, то функция $f$ также будет аналитична. Опять нзучение решеннй системы (4.4.4) может быть сведено к изучению определяемого системой (4.4.4) отображения $T_{\text{н плоскости }}\tau =0$ в плоскость $\tau =2\pi$. Действительно, пусть в плоскости $y_n=\tau =0$ выбраны пачальные условия $x_k^0,y_k^0(k=$ $=1,\dots ,n-1)$. Репение уравшенй (4.4.4), проходящее через тоџку при $\tau =0$, будет пметь вид
$$\begin{array}{l}{x}_k=x_k(\tau ,x^0,y^0,\mu ),\\ y_k=y_k(\tau ,x^0,y^0,\mu )\end{array}(k=1,\dots ,n-1),$$

и, следовательно,
$$T_{\mu }\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k(2\pi ,x,y,\mu ),\\ y_k^{\ast }=y_k(2\pi ,x,y,\mu )\end{array}(k=1,\dots ,n-1).$$

С другой стороны,
$$\frac{\partial f_0}{\partial x_k}=-\frac{\frac{\partial H_0}{\partial x_k}}{\frac{\partial H_0}{\partial x_n}}=-\frac{{\mathrm{\Omega }}_k}{{\mathrm{\Omega }}_n}(x_1,\dots ,x_{n-1}),$$

так что при $\mu =0(k=1,\dots ,n-1)$
$$\begin{array}{l}{x}_k=x_k^0,\\ y_k=\frac{{\mathrm{\Omega }}_k}{{\mathrm{\Omega }}_n}(x_1^0,\dots ,x_{n-1}^0)\tau +y_k^0.\end{array}$$

Положив ${\alpha }_k=2\pi {\mathrm{\Omega }}_k/{\mathrm{\Omega }}_n$, получаем ( $k=1,\dots ,n-1$ )
$$T_0\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k,\\ y_k^{\star }={\alpha }_k(x_1,\dots ,x_{n-1})+y_k,\end{array}$$

и при $\mu eq0(k=1,\dots ,n-1)$
$$T_{\mu }\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k+G_k(x_1,\dots ,x_{n-1},y_1,\dots ,y_{n-1}),\\ y_k^{\star }=y_k+{\alpha }_k(x_1,\dots ,x_{n-1})+F_k(x_1,\dots ,x_{n-1},y_1,\dots ,y_{n-1})\end{array}$$

где переменные $x_k$ берутся из кольца $0<a_k⩽x_k⩽b_k$. Ясно, что функции $G_k$ и $F_k$ зависят от $\mu$ и должны стремиться к нулю при $\mu \to 0$.Так как система уравнений (4.4.4) является гамильтоновой, интеграл системы (4.4.4), то он является инвариантным по отношению к отображению $T_{\mu }$. Более того, периодические решения периода $2\pi p$, где $p>0$ — целое число, должны быть таковы, что
$$T_{\mu }^p({\mathit{x}}^0,{\mathit{y}}^0)=({\mathit{x}}^0,{\mathit{y}}^0),$$
т. е. точка $(x^0,y^0)$ является неподвижной точкой отображения $T_{\mu }$.

На геометрическом языке теорема Колмогорова теперь может быть сформулирована в следующем виде. Мы хотим определить, при капих условиях отображение $T_{\mu }$ имеет инвариантные множества, близкие $к$ инвариантным множествам (торам) отображения $T_0$.

Рассмотрим $T_0$, определенное в кольце $0<a_k⩽x_k⩽b_k$ ( $k=$ $=1,\dots ,N)$, при условии
$$\det \left\{\frac{\partial {\alpha }_k}{\partial x_j}\right\}eq0$$

Торы $T^N$, являющиеся прямым произведением $N$ окружностей $x_k=$ const, инвариантны относительно отображения $T_0$. Рассмотрим теперь отображение $T_{\mu }$, где $F_k$ и $G_k$ — ограниченные и $2\pi$-периодические по $y_1,\dots ,y_N$ функции. Предположим, что каждое замкнутое ограниченное множество, близкое к $T^N$ и представленное в виде
$$x_k=f_k(y_1,\dots ,y_N)=f_k(y_1+2\pi ,\dots ,y_N+2\pi ),$$

пересекается со своим образом при отображении $T_{\mu }$, где функции $\partial f_k/\partial y_j$ удовлетворяют некоторым условиям ограниченности. При сделанных предположениях теперь можно показать, что отображение $T_{\mu }$ имеет ограниенные замкнутые инвариантные множества при достаточно малых значениях функций $F_k$ и $G_k$ и при условии, что эти функции являются некоторое число раз дифференцируемьми.

Здесь мы только дадим схему доказательства этой основнсй теоремы, начав изложение с некоторых важных лемм. При $\mathit{N}=1$ детальное доказательство было дано Мозером [26].

Tеорема. Для данных $\epsilon >0$ и целых $s>1$ отображение $T_{\mu }$ имеет ограниченное замкнутое инвариантное множество
$$\mathit{y}={\mathit{y}}^0+\mathit{p}\left({\mathit{y}}^0\right),\mathit{x}={\mathit{x}}^0+\mathit{q}\left({\mathit{y}}^0\right),$$

гое $\mathit{p}$ и $\mathit{q}-N$-мерные векторы, периодические по каждой компоненте $y_1,\dots ,y_N$ вектора $\mathit{y}$, принадлежащие классу $C^{\ast }$ и при ${\left|p_k\right|}_s+{\left|q_k\right|}_s<\epsilon$, удовлетворяющие условиям:
a) ғаждое замкнутое множество и его образ при отображении $T_{\mu }$, определяемом формулами (4.4.10), имеет хотя бы одну общую точку;
б) в кольце $0⩽a_k⩽x_k⩽b_k,b_k-a_k⩾1$ можно найти такое $C_0>1$, что
$$\frac{1}{N!C_0^N}⩽\left|\det \left\{\frac{\partial {\alpha }_k(x)}{\partial x}\right\}\right|<N!C_0^N.$$

Тогда можно найти такую фрукцию $f_0(\epsilon ,s,C_0)>0$ целое число $m(s)$, что $F_k\in C^m,G_k\in C^m{}_u$
$$\begin{array}{rl}{\left|F_k\right|}_0+{\left|G_k\right|}_0& <{\delta }_0,\\ {\left|{\alpha }_k\right|}_0+{\left|F_k\right|}_m+{\left|G_k\right|}_m& <C_0.\end{array}$$

Более того, отображение, индуцируемое множеством (4.4.11), имеет вид
$${\tilde{y}}_k=y_k^0+{\alpha }_k\left(x^0\right)=y_k^0+{\alpha }_k.$$

Точнее, для данного ${\alpha }_k$, удовлетєоряющего условиям
$$\begin{array}{c}{\alpha }_k(a)+\epsilon <{\alpha }_k<{\alpha }_k(b)-\epsilon ,\\ |\sum _{k=1}^N{j}_k{\alpha }_k+j_{N+1}2\pi |⩾\epsilon {\left\{\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|\right\}}^{-N-1/2},\end{array}$$

при всех одновременно не равных нулю целых числах $j_k$ существуют инвариантные множества (4.4.11) с ${\alpha }_k\left(x^0\right)={\alpha }_k$ (коэффициент кручения).
В теореме использовано обозначение
$$|f{|}_s=sup|{\left(\frac{\partial }{\partial x_1}\right)}^{s_1}\dots {\left(\frac{\partial }{\partial x_n}\right)}^{s_n}f(x_1,\dots ,x_n)|,$$

где $s=s_1+\dots +s_n$, а $\mathit{x}\in D$ — область определения функции $f(x)$.

Сначала можно доказать такое вспомогательное утвержідение. Лемма. Данное отображение
$$Q\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k+g_k(\mathit{x},\mathit{y}),\\ y_k^{\ast }=y_k+x_k+f_k(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}(k=1,\dots ,N),$$

определенное в кольце $0<a_k⩽x_k⩽b_k$, где $f_k$, g $g_k-2\pi$-периодические по каждой компоненте $y_1,\dots ,y_N$ вектора у функции, $b_k-a_k⩾1/C_{0}u$
a)
$$\begin{array}{c}|f{|}_1+|g{|}_1<{\delta }_0,\\ \left|D^m{f}_k\right|+\left|D^m{g}_k\right|<C_0,\end{array}$$
б)

где
$$D^m={\left(\frac{\partial }{\partial x_1}\right)}^{p_1}\cdots {\left(\frac{\partial }{\partial x_N}\right)}^{p_N}{\left(\frac{\partial }{\partial y_1}\right)}^{q_1}\cdots {\left(\frac{\partial }{\partial y_N}\right)}^{q_N}$$

при $p_1+\dots +p_N+q_1+\dots +q_N=m$,
B)
$$a_k+\epsilon <{\alpha }_k<b_k-\epsilon ,$$
r) $(\sigma ⩾2N+1)$ — уелое число), можно привести в виду
$$Q_0\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k,\\ y_k^{\ast }=y_k+x_k.\end{array}$$

Это приведение можно осуществить с помощью итерационной шроцедуры, очень похожей на процедуру, использованную при доказательстве теоремы Колмогорова. Однако в данном случае итерации сходятся таким образом, тто отклонение от $Q_0$ уменьшается вместе с ${\delta }_0^{q^n}$, где $n$ — номер итерации, а $q$ может быть взято равным $4/3$.

Действительно, пусть три параметра $Q,M,\delta$ удовлетворяют соотношениям
$$M=Q^v>Q>1,\delta =M^{-2q}$$

при
$$q=\frac{4}{3},v=6(\sigma +1),m=3+41v.$$

Параметры $Q_{n-1},M_{n-1},{\delta }_{n-1}$, получающиеся при итерации номера

$n-1$, связаны с $Q,M,\delta$ соотношениями
$$\begin{array}{rlrl}Q& =Q_{n-1}^q,& Q_{n-1}& =Q_0^{q^{n-1}},\\ M& =M_{n-1}^q,& M_{n-1}& =M_0^{q^{n-1}},\\ \delta & ={\delta }_{n-1}^q,& {\delta }_{n-1}& ={\delta }_0^{q^{n-1}}\end{array}$$

при условии, что на каждом шаге
$$\begin{array}{c}{\left|f_k\right|}_1+{\left|g_k\right|}_1<{\delta }_{n-1}\text{ при }|x_k-{\alpha }_k|<\frac{1}{M_{n-1}},\\ \left|D^{n_n}{Q}_{n-1}{f}_k\right|+\left|D^m{M}_{n-1}{g}_k\right|⩽Q_{n-1}^{q_1+\dots +q_N+1}{M}_{n-1}^{p_1+\dots +p_N+1}\end{array}$$

при $q_1+\dots +q_N+p_1+\dots +p_N=m$.
При $n=1$ соотношение (4.4.20) совпадает с (4.4.17) при достатодно малых $\delta$. Более того, беря $M_0>1/\epsilon$ и $|x_k-{\alpha }_k|<1/M_0<$ $<\epsilon$, мы, разумеется, имеем $a_k⩽x_k⩽b_k$. Аналогичным образом соотзошение (4.4.21) при $n=1$ совпадает с (4.4.18). Действительно, из (4.4.18) следует, что
$$\left|D^m{Q}_0{f}_k\right|+\left|D^m{M}_0{g}_k\right|⩽C_0{M}_0,$$

так жак $M>Q$. Таким образом, в силу того, что
$$\begin{array}{c}{q}_1+\dots +q_N+p_1+\dots +p_N=m⩾v,\\ Q_0^{q_1+\dots +q_N}{M}_0^{p_1+\dots +p_N}⩽Q_0^n>Q_0^v⩾M_0.\end{array}$$

получаем
$$C_0{M}_0⩽C_0{Q}_0^{q_1+\dots +q_N}{M}_0^{p_1+\dots +p_N}⩽Q_0^{q_1+\dots +q_N+1}{M}_0^{p_1+\dots +p_N+1},$$

так как $Q_0>C_0$. Следовательно, при $n=1$ мы должны взять $M_0>1/\epsilon$ и $Q_0>C_0$, т. е. ${\delta }_0<{\epsilon }^{2q},{\delta }_0<C_0^{-2qu}$, и в конце кондов ${\delta }_0$ можно взять «много меньшим, чем» выписанные выше величины.

Теперь мы подходим к доказательству основной леммы, которая нуждается в упоминании двух хорошо пзвестных утверждений.
A) Рассмотрим разностное уравнение
$$S(\mathit{y}+\mathit{\alpha })-S(\mathit{y})=F(\mathit{y}),$$

где $S$ п $F$ — периодические функции периода $2\pi$ по каждой компонеите $y_1,\dots ,y_N$ вектора $\mathit{y}$ и они имеют нулевое среднее. Пусть вектор $\alpha$ удовлетворяет неравенствам
$$|\sum _{k=1}^N{j}_k{\alpha }_k+2\pi j_{N+1}|⩾\epsilon {\left\{\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|\right\}}^{-\tau +N+1/2},$$

где $\tau ⩾2N+1$ — пелое число. Тогда, если функция $F(y)$ имеет $\tau ⩾2N+1$ непрерывных производных по каждой компоненте $y_j$, то уравнепие (4.4.22) имеет пепрерывное решение, такое, тто
$$|S(F){|}_0⩽\frac{C}{\epsilon }|F{|}_{\tau },$$

где $C$ — произвольная постоянная, которая не зависит ии от идного из параметров. Более того, можно взять $S(0)=0$. Действительно, используя для функции $F$ разложение в ряд Фурье
$$F=\sum _{j\overline{F}0}{F}_j{e}^{i\left(j^{\mathrm{T}}y\right)}$$

получаем решение в виде.
$$S=\sum _{jeq0}\frac{F_i}{e^{i\left(j^{\mathrm{T}}\mathit{\alpha }\right)}-1}{e}^{i\left(j^{\mathrm{r}}y\right)},$$

где $\mathit{j}=(j_1,\dots ,j_N)$. Так как функция $F$ имеет $\tau$ непрерывных производных по каждой компоненте $y_j$, то
$$\left|F_j\right|⩽{\left\{\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|\right\}}^{-\tau }|F{|}_{\tau },$$

где $\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|eq0$. С другой стороны,
$$|e^{i\left(j^{\mathrm{T}}\mathit{\alpha }\right)}-1|=|2\sin \frac{1}{2}\left({\mathit{j}}^{\mathrm{T}}\mathit{\alpha }\right)|⩾\frac{2}{\pi }\epsilon {\left\{\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|\right\}}^{-\tau +N+1/2}$$

для достаточно малых $\epsilon$, и, следовательно,
$$\left|\frac{F_j}{e^{i\left(j^{\mathrm{T}}\mathit{\alpha }\right)}-1}\right|⩽\frac{\pi }{2\epsilon }{\left\{\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|\right\}}^{-N-1/2}|F{|}_{\tau },$$

и ряд (4.4.25) является абсолютно сходящимся. Для того. чтобы показать справедливость оценки (4.4.24), достаточно взять
$$C=\sum _{jeq0}{\left\{\sum _{k=1}^N\left|j_k\right|\right\}}^{-N-1/2}.$$

Как следствие отсюда получаем, что если $F(x,y)$ является нее, то, как и раные, можно решить разностное уравнение
$$S(\mathit{x},\mathit{y}+\mathit{\alpha })-S(\mathit{x},\mathit{y})=F(\mathit{x},\mathit{y})$$

и получить
$$|S{|}_0⩽\frac{C}{\epsilon }{\left|D_y^{\tau }F\right|}_0.$$
Б) Мы можем определить действие операции сә.лаживания (см. $[26,3]$ ) на функцию $2N$ переменных. В некотором специальном смысле в результате этой операции функции $F(x,y)$ будут аппроксимироваться функциями $\mathrm{\Phi }(\mathit{x},\mathit{y})$, которые имеют более гладкое поведение, чем $F(x,y)$. В основном эта операция сводится к интерполяции производных фупцци $\mathrm{\Phi }$, которая оставляет инвариантными (точно интерполируег) полиномы пекоторой стешени.
Пусть $F(\mathit{x},\mathit{y})$ — непрерывная фуннция в области
$$a_k<x_k<b_k,-\mathrm{\infty }<y_k<+\mathrm{\infty }$$

шри $k=1,\dots ,N$. Степень апшоксимации по отношению к двум векторным переменным $\mathit{x}$ и $\mathit{y}$ может быть различной (в действительности она может быть различной дэя каждой из $2N$ переменных) и она определяется двумя параметрами $M$ и $Q>1$. Сглаживающая функция ${\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F)$ определяется в менией области
$${\alpha }_k=a_k+\frac{1}{M}<x_k<b_k-\frac{1}{M}={\beta }_k,$$

и предиолагается, что $2/M<b_k-a_k$. Эта фушнця определяется формулой
$${\mathbf{\Phi }}_{M,Q}(F(\mathit{x},\mathit{y}))=\int \underset{\begin{array}{c}{a}_k<{\xi }_k<b_k\\ -\mathrm{\infty }<{\eta }_k<+\mathrm{\infty }\end{array}}{}\dots {\iint }_{M,Q}(\mathit{x}-\mathit{\xi },\mathit{y}-\mathit{\eta })F(\mathit{\xi },\mathit{\eta })d\mathit{\xi }d\mathit{\eta }.$$
${\mathit{Я}}_{\text{дро }}{K}_{M,Q}(\mathit{x},\mathit{y})$ берстся так, ттобы
$$K_{M,Q}(x,y)=MK(Mx)\cdot QK(Qy),$$

где $K(\mathit{x})\in C^{\mathrm{\infty }}$, и удовлетворяет условиям
$$K(x)=0\text{ прн }\left|x_k\right|>1$$

и
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\dots \int x_1^{b_1}\dots x_N^{k_N}K(x)dx=\{\begin{array}{lll}1& \text{ для }& \mathrm{\Sigma }{k}_i=0\\ 0& \text{ для }& 0<\mathrm{\Sigma }{k}_i<m,\end{array}$$

где $k_i⩾0$ и $m-$ фиксированиые числа. Таким образом, функция ${\mathrm{\Phi }}_{м,Q}(F)$ зависит от $m$, которое выбирается так, ттобы удовлетворялись условия (4.4.13).

Условие (4.4.28) показывает, что $K_{м,Q}$ равно нулю при $\left|y_k\right|>$ $>1/Q$ и $\left|x_k\right|>1/M$. Следовательн, пнтервал интегрирования в (4.4.29) можно ограничить интервалом, содержащнмся в $a_k<$ $<{\xi }_k<b_k$, так как ${\alpha }_k<x_k<{\beta }_k$. Отсюда функцию (4.4.27) можно записать через новые переменые $u$, $v$, пмеющие очевидный смысл, так:
$${\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F(x,y))=\int \underset{\left|u_k\right|<1,\left|v_k\right|<1}{}{\iint }_{1,1}(\mathit{u},\mathit{v})F(\mathit{x}-\frac{\mathit{u}}{M},\mathit{y}-\frac{\mathit{v}}{Q})d\mathit{u}d\mathit{v}.$$

Накопец, условие (4.4.29) показывает, что полиномы $P_m(x,y)$ степени не выше $m$ остаются инвариантными при операции сглаживания, т. е.
$${\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(P_m(x,y))=P_m(x,y).$$

Теперь, если функция $F(x,y)$ непрерывна в кольце $a_k<x_k<$ $<b_k$, то при ${\alpha }_k<x_k<{\beta }_k$ легко проверить, что
$$|D_x^q{D}_y^p{\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F)|⩽\tilde{C}{Q}^{p_1+\dots +p_N}{M}^{q_1+\dots +q_N}\underset{a_k⩽x_k⩽b_k}{sup}|F|$$

для всех целых $p_1,\dots ,p_N,q_1,\dots ,q_N$, а постоянная $\tilde{C}$ зависит от ядра $K(\mathit{x})$ п чисел $\mathit{p},\mathit{q}$. Аналогичным образом, если $F(\mathit{x},\mathit{y})\in C^m$, то при ${\alpha }_k<x_k<{\beta }_k$ справедливы неравенства
$$\begin{array}{l}|F-{\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F)|⩽C{Q}^{-p_1-\dots -p_N}{M}^{-q_1-\dots -q_N}sup\left|D_x^q{D}_y^{p}F\right|\\ \text{ при }{p}_1+\dots +q_N=m,a_k<x_k<b_k\text{. }\\ \text{ Эти утверждения можно получить, если заметить, что }\\ \text{ из (4.4,27) следуют неравенства }\\ |D_x^q{D}_y^p{\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F)|⩽\\ ⩽\underset{a_k⩽x_k⩽b_k}{sup}|F|\int \dots \int |D_x^{\mathit{q}}{D}_{\mathit{y}}^{\mathit{p}}{K}_{M,Q}(\mathit{x}-\mathit{\xi },\mathit{y}-\mathit{\eta })|d\xi d\mathit{\eta }⩽\\ ⩽\underset{a_k⩽x_k⩽b_k}{sup}|F|Q^{p_1+\dots +p_N}{M}^{q_1+\dots +q_N}\int \dots \int |D_x^{q}K(x)|dx\times \\ \times \int \dots \int |D_y^{p}K(y)|dy,\end{array}$$

которые п доказывают (4.4.31). Далее, мы разложим фунццию $F(\mathit{x}-\mathit{u}/M,\mathit{y}-\mathit{v}/Q)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $\mathit{u}=\mathit{v}=$ $=0$ до членов порядка, меньшего $m$, с какимі-то остаточными членами. Так как ${\mathrm{\Phi }}_{M,Q}$ сохраняет полиномы степени ниже $m$, то только остаточные члены этого ряда $R_m(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{u},\mathit{v})$ дадут вклад в разложение $F-{\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F)=(I-{\mathrm{\Phi }}_{M,Q})F$. Эти остаточные члены могут быть оденены с помощью неравенств $(p_1+\dots +q_N=m$ )
$$\left|R_m\right|⩽\underset{(u,v)}{sup}\frac{|u_1^{q_1}\dots u_N^{q_N}{v}_1^{p_1}\dots v_N^{p_N}|}{Q^{p_1+\dots +p_N{M}^{q_1}+\dots +q_N}}|D_x^q{D}_y^{p}F(\xi ,\eta )|,$$

где
$$|{\xi }_k-x_k|<\frac{1}{M},|{\eta }_k-y_k|<\frac{1}{Q},\left|u_k\right|<1,\left|v_k\right|<1.$$

Следовательно, из (4.4.30) мы получаем
$$|(I-{\mathrm{\Phi }}_{M,Q})F(\mathit{x},\mathit{y})|⩽Csup{Q}^{-p_1-\dots -p_N}{M}^{-q_1-\dots -q_N}|D_x^q{D}_y^{p}F(\xi ,\mathit{\eta })|,$$

где $p_1+\dots +p_N+q_1+\dots +q_N=m$ и
$$C=N\underset{p_1+\dots +q_N=m}{sup}\int \dots \int |u_1^{q_1}\dots u_N^{q_N}{v}_1^{p_1}\dots v_N^{p_N}{K}_{1,1}(\mathit{u},\mathit{v})|d\mathit{u}d\mathit{v},$$

что и доказывает неравенства (4.4.32).
Замечание. Для $a_k<x_k<b_k$ при $p_1+\dots +p_N=\tau ,q_1=$ $=\dots =q_N=0$ мы имеем
$$S^{\ast }=\left|S({\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F(x,y)))\right|⩽\frac{C}{\epsilon }{|D_y^{\tau }{\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F)|}_0⩽\tilde{C}C\frac{Q^{\tau }}{\epsilon }|F{|}_0,$$

и, выбирая $Q>1/\epsilon ,\sigma =\tau +1$, отсюда, следовательно, полутаем
$$S^{\ast }⩽CC{Q}^{\tau +1}|F{|}_0=CC{Q}^{\sigma }|F{|}_0$$

п, аналогичным образом,
$$S^{{\ast }^2}=\left|S\left(S({\mathrm{\Phi }}_{M,Q}(F(\mathit{x},\mathit{y})))\right)\right|⩽\tilde{C}C{Q}^{2\sigma }|F{|}_0.$$

Можно также показать, что функция $K(x)$, обладающая упомянутыми свойствами, действительно существует (см. [26]).

Теперь мы переходим к рассмотрению итерационной процедуры в процессе приведения отображения к линейному виду отображения кручения Мозера.
Лемма. Рассмотрим отображение
$$T\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k+g_k(\mathit{x},\mathit{y}),\\ y_k^{\ast }=y_k+x_k+f_k(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}$$

при $|x_k-{\alpha }_k|<1/M_{n-1}$, удовлетворяющее уже упомянутым выше условиям
$$|f{|}_1+|g{|}_1<{\delta }_0,\left|D^m{f}_k\right|+\left|D^m{g}_k\right|<C_0$$
и такое. что каждая заикнутая ограниченная регулярная повер $x$ ность, близкая поверхности $x_k=$ const $(k=1,\dots ,N)$, и ее обра имеют хотя бы одну общую точку. Тогда для достаточно мальтх ${\delta }_0$ сущестеует преобразование
$$x_k={\xi }_k+u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),y_k={\eta }_k+v_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })$$
$npu$
$$|{\xi }_k-{\alpha }_k|<\frac{1}{U_n-1}-\frac{1}{iM}>\frac{1}{M},$$

такое, что
$${\left|v_k\right|}_1+{\left|u_k\right|}_1<\frac{1}{Q},$$

а отображение $T$ приводитсл $⋉$ виду
$${\xi }_k^{\ast }={\xi }_k+{\phi }_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),{\mathit{r}}_k^{\ast }={\eta }_k+{\xi }_k+{\psi }_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),$$

где
$${\left|{\phi }_k\right|}_0÷{\left|{\psi }_k\right|}_0<\delta ={\delta }_{n-1}^q$$

при $|{\xi }_k-{\alpha }_k|<1/Q$, и, более того,
$$\left|D_{\eta }^{p}DQ{\phi }_k\right|+\left|D_{\eta }^p{D}_{\xi }^{q}M{\mathrm{\Psi }}_k\right|<Q^{p_1+\dots +p_N+1}{M}^{q_1+\dots +q_N+1}$$
$n$ ри $p_1+\dots +p_N+q_1+\dots +q_N=m$.
Действительно, пз выписанных выше соотношений следует
$$\begin{array}{r}{\xi }_k+{\phi }_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+u_k({\xi }^{\ast },{\mathit{\eta }}^{\ast })={\xi }_k+u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+g_k(\mathit{\xi }+\mathit{u},\mathit{\eta }+\mathit{v}),\\ {\mathit{\eta }}_k+{\xi }_k÷{\psi }_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+v_k({\xi }^{\ast },{\mathit{\eta }}^{\ast })={\mathit{\eta }}_k+v_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+{\xi }_k+u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+\\ +f_k(\mathit{\xi }+\mathit{u},\mathit{\eta }+\mathit{v})\end{array}$$

или
$$\begin{array}{rl}{\phi }_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+u_k({\mathit{\xi }}^{\ast },{\mathit{\eta }}^{\ast })& =u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+g_k[\mathit{\xi }+\mathit{u}(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\mathit{\eta }+\mathit{v}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })]\\ {\psi }_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+v_k({\mathit{\xi }}^{\ast },{\mathit{\eta }}^{\ast })& =v_k(\mathit{\xi }\cdot \mathit{\eta })+u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+f_k[\mathit{\xi }+\\ & +\mathit{u}(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\mathit{\eta }+\mathit{v}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })]\end{array}$$

Теперь линеаризуем уравнения, которые получаются из соотношений ${\phi }_k={\psi }_k=0$ при условии, что величины $f_k,g_k,u_k,v_k$ и $|{\xi }_k-{\alpha }_k|$ имеют одинаковый порядок малости, т. е. являются величинами порядка $O(\mu )$. Будем пренебрегать членами порядка, равного или большего, чем $O\left({\mu }^2\right)$. В результате находим
$$\begin{array}{rl}{v}_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }+\mathit{\omega })-v_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })& =u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+f_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\\ u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }+\mathit{\omega })-u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })& =g_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }).\end{array}$$

Второе из этих уравнений можно решить в соответствии с предыдущей леммой, если только функция $g_k(\xi ,\eta )$ имеет нулевое среднее относительно $\eta$. В люо́ом случае к функциям $f_k$ и $g_k$ надо применить операцию сглаживания для того, чтобы восполнить «потерю» необходимого количества производных.
Определим функции $u_k,v_k$ как решение системы уравнений
$$\begin{array}{l}{u}_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }+\mathit{\alpha })-u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })=\mathrm{\Phi }(g_k-{\overline{g}}_k),\\ v_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }+\mathit{\alpha })-v_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })=u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })+\mathrm{\Phi }\left(f_k\right),\end{array}$$

где ${\overline{v}}_k=0$, черта означает среднее по отношению к $\eta$, а $\mathrm{\Phi }$ — определенный ранее оператор сглаживания.
Усреднение второго из этих уравнений дает
$${\overline{u}}_k+\overline{\mathrm{\Phi }}\left(f_k\right)=0$$

так что из первого уравнения находим
$$u_k=S\left(\mathrm{\Phi }\left(g_k\right)\right)+{\overrightarrow{u}}_k=S\left(\mathrm{\Phi }\left(g_k\right)\right)-\overline{\mathrm{\Phi }}\left(f_k\right),$$

где оператор $S$ определяется формулой (4.4.22). Из второго уравнения (4.4.43) следует, что
$$v_k=S(u_k+\mathrm{\Phi }\left(f_k\right))=S\left(S\left(\mathrm{\Phi }\left(g_k\right)\right)\right)+S\left(\mathrm{\Phi }\left(f_k\right)\right).$$

Уравнения (4.4.44) и (4.4.45) определяют функции $u_k,v_k$ в кольце
$$|{\xi }_k-{\alpha }_k|<\frac{1}{M_{n-1}}-\frac{1}{{}^M}=\mu .$$

Остается проверить только соотношения (4.4.37), (4.4.39) и $(4.4.40)$.
a) Используя (4.4.33) и (4.4.34) и рассматривая (4.4.20), находим
$$\left|u_k\right|+\left|v_k\right|⩽C_1{Q}^{2\sigma }({\left|f_k\right|}_0+{\left|g_k\right|}_0)<C_1{Q}^{2\sigma }{\delta }_{n-1}=C_1{Q}^{2\sigma }{M}^{-2}\text{ (4.4.46) }$$

и аналогичным образом
$$\begin{array}{l}\left|D_{\xi }{u}_k\right|+\left|D_{\mathrm{s}}{v}_k\right|⩽C_2{Q}^{2\sigma }{M}^{-1},\\ \left|D_{\eta }{u}_h\right|+\left|D_{\eta }{v}_k\right|⩽C_2{Q}^{2\sigma }{M}^{-1}.\end{array}$$

Так как мы приняли $v>2\sigma +1$, то $\left|u_k\right|+\left|v_k\right|<1/QM$ п ${\left|u_k\right|}_1+{\left|v_k\right|}_1<1/Q$, что и совпадает с доказываемым выражением (4.4.37). Отсюда также следует, что $u_k,v_k$ определены в кольде
$$|{\xi }_k-{\alpha }_k|<\frac{1}{M_{n-1}}-\frac{1}{M}<\frac{3}{M}$$

при условии
$$M_0>4^{1/(1+q)},$$
и здесь выполнено неравенство (4.4.46). По теореме о неявной функции образ области $|{\xi }_k-{\alpha }_k|<3/M$ при отображении (4.4.36) будет покрывать по крайней мере кольцо $|x_k-{\alpha }_k|<2/M$, и, следовательно, обратное преобразование определено (и притом едивственным образом) в кольце $|x_k-{\alpha }_k|<2/M$, и в нем оно будет непрерывно дифференцируемым при достаточно большом $M⩾M_0$. Отсюда следует, что отображение (4.4.38) определено и дифференцируемо в кольце $|x_k-{\alpha }_k|<1/M$, так как преобразование (4.4.36) переводит эту область в
$$|x_k-{\alpha }_k|⩽|{\xi }_k-{\alpha }_k|+\left|u_k\right|<\frac{1}{M}+\frac{1}{QM},$$

а отображение (4.4.35) — в
$$|x_k^{\ast }-{\alpha }_k|<|x_k-{\alpha }_k|+{\delta }_{n+1}<\frac{1}{M}+\frac{1}{QM}+\frac{1}{M^2}<\frac{2}{M},$$

где отображение (4.4.38) определено единственным образом.
б) Оценка величин $\left|{\phi }_k\right|,\left|{\psi }_k\right|$ в области $|{\xi }_k-{\alpha }_k|<1/M$ нуждается в предположении, что каждая замкнутая поверхнөсть, близкая к инвариантному многообразию $x_k=$ const $(k=1,\dots ,N)$, т. е. $к{\xi }_k={\xi }_k^0$, имеет образ
$${\xi }_k^{\ast }={\xi }_k^0+{\phi }_k({\xi }^0,\eta )$$

который пересекается с ${\xi }_k={\xi }_k^0$ и, следовательно, это эквивалентно предположению о существовании хотя бы одного нуля функции $\left[{\phi }_k({\xi }^0,\eta )\right]$ относительно $\eta$. Следовательно,
$$\underset{\mathit{\eta }}{sup}\left|{\phi }_k({\xi }^0,\mathit{\eta })\right|⩽{\mathrm{a}\mathrm{м}\mathrm{п}\mathrm{л}\mathrm{и}\mathrm{т}\mathrm{у}\mathrm{д}\mathrm{а}}_{\mathit{\eta }}{\phi }_k({\xi }^0,\mathit{\eta })⩽2\underset{\mathit{\eta }}{sup}|{\phi }_k({\xi }^0,\mathit{\eta })+z_k\left({\xi }^0\right)|\text{, }$$

где $z_k(\xi )$ — соответствующим образом подобранные фунгции от $\xi$. Мы будем брать
$$z_k(\xi )=-\overline{\mathrm{\Phi }}(g_k(\xi ,\eta )).$$

Из (4.4.41) имеем
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{|{\phi }_k(\xi ,\mathit{\eta })|}_0⩽{|{\phi }_k(\xi ,\mathit{\eta })-\overline{\mathrm{\Phi }}(g_k(\xi ,\mathit{\eta }))|}_0=\\ ={|u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })-u_k(\xi \ast ,{\mathit{\eta }}^{\ast })+g_k(\mathit{\xi }+\mathit{u},\mathit{\eta }+\mathit{v})-\overline{\mathrm{\Phi }}(g_k(\xi ,\mathit{\eta }))|}_0,\end{array}$$

а используя (4.4.43), (4.4.47), находим
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{|{\phi }_k(\xi ,\eta )|}_0⩽C_2{Q}^{2\sigma +1}{M}^{-2}|{\xi }_k-{\alpha }_k|+{\left|u_k\right|}_1\left({|{\phi }_k{\phi }_0+|{\psi }_k|}_0\right)+\\ +{\left|\mathrm{\Phi }(g_k(\mathit{x},\mathit{y}))\right|}_1({\left|u_k\right|}_0+{\left|v_k\right|}_0)+{|(I-\mathrm{\Phi })(g_k(\mathit{x},\mathit{y}))|}_{v_k}.\end{array}$$

где нормы всех членов, зависящих от $\mathit{x},\mathit{y}$, определяются при условии, что эти функции определены в кольде
$$|{\xi }_k-{\alpha }_k|<\frac{1}{M_{n-1}}-\frac{1}{M}.$$

Аналогичным образом, вычитая первое уравнение (4.4.42)из второго уравнения (4.4.41), ваходим
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{|{\psi }_k(\xi ,\eta )|}_0& ⩽C_2{Q}^{2\sigma +1}{M}^{-2}|{\xi }_k-{\alpha }_k|+{\left|v_k\right|}_1({\left|{\phi }_k\right|}_0+{\left|{\psi }_k\right|}_0)+\\ & +{\left|\mathrm{\Phi }(f_k(\mathit{x},\mathit{y}))\right|}_1({\left|u_k\right|}_0+{\left|v_k\right|}_0)+{|(I-\mathrm{\Phi })(f_k(\mathit{x},\mathit{y}))|}_0.\end{array}$$

Складывая эти две последние оценки и рассматривая уже установленные условия
$${\left|\mathrm{\Phi }\left(f_k\right)\right|}_1⩽C_{3}M{\left|f_k\right|}_0<\frac{C_3}{M},{\left|\mathrm{\Phi }\left(g_k\right)\right|}_1⩽\frac{C_3}{M}$$

вместе с предиоложениями (4.4.21), т. е. с неравенствами
$$\left|D^m{Q}_{n-1}{f}_k\right|+\left|D^m{M}_{n-1}{g}_k\right|⩽Q_{n-1}^{q_1+\dots +q_N+1}{M}_{n-1}^{p_1+\dots +p_N},$$

где $q_1+\dots +q_N+p_1+\dots +p_N=m$, находим
$${\left|{\phi }_k\right|}_0+{\left|{\psi }_k\right|}_0⩽C_4(Q^{2\sigma +1}{M}^{-3}+Q_{n-1}^{1+(1-q)m}).$$

С другой стороны,
$$C_4{Q}^{2\sigma +1}{M}^{-3}=C_4{M}^{\frac{2\sigma +1}{v}-3}<\frac{1}{2}{M}^{-2q}$$

при достаточно больших $M$ п
$$v>\frac{2\sigma +1}{3-2q}=6\sigma +3.$$

Кроме того, так как $m(q-1)>1+2q^{2}v$, то мы имеем
$$C_4{Q}_{n-1}^{1+(1-q)m}<\frac{1}{2}{M}^{-2q}=\frac{1}{2}{Q}_{n-1}^{-2q^{2}v}.$$

Из (4.4.48) тогда получаем
$${\left|{\phi }_k\right|}_0+{\left|{\psi }_k\right|}_0<M^{-2q}=\delta ,$$

что и доказывает неравенство (4.4.39).
в) Для доказательства последней части леммы введем величины
$$\begin{array}{ll}{x}_k^{\prime }=M{x}_k,& {\xi }_k^{\prime }=M{\xi }_k,\\ y_k^{\prime }=Q{y}_k,& {\eta }_k^{\prime }=Q{\eta }_k.\end{array}$$

Тогда отображение (4.4.35) можно записать в виде
$$T^{\prime }\{\begin{array}{ll}{x}_k^{{\ast }^{\prime }}=x_k^{\prime }+g_k^{\prime }({\mathit{x}}^{\prime },y^{\prime }),& g_k^{\prime }=M{g}_k,\\ y_k^{{\ast }^{\prime }}=y_k^{\prime }+\frac{Q}{M}{x}_k^{\prime }+f_k^{\prime }({\mathit{x}}^{\prime },y^{\prime }),& f_k^{\prime }=Q{f}_k.\end{array}$$

Из (4.4.21) следует, что
$$\begin{array}{l}|D_{x^{\prime }}^{\mathit{p}},D_{\mathbf{y}}^{\mathit{q}},Q{f}_k|+|D_{x^{\prime }}^{\mathit{p}},D_y^{\mathit{q}},M{g}_k|⩽\\ ⩽Q_{n-1}\frac{M}{M_{n-1}}{\left(\frac{Q_{n-1}}{Q}\right)}^{q_1+\dots +q_N}{\left(\frac{M_{n-1}}{M}\right)}^{q_1+\dots +q_N}⩽\\ ⩽Q_{n-1}\frac{M}{M_{n-1}}{\left(\frac{Q_{n-1}}{Q}\right)}^m=Q_{n-1}^{1+(1-q)(m-v)}⩽1.\end{array}$$

С другой стороны,
$$\left|Q{f}_k\right|+\left|M{g}_k\right|⩽M{\delta }_{n-1}=\frac{1}{M}⩽1$$

при $|x_k-{\alpha }_k|<1/M_{n-1}$. Следовательно, фунғции $f_k^{\prime }$ п $g_k^{\prime }$ определены для всех вещественных $y^{\prime }$ и $x^{\prime }$ нз области
$$|x_k^{\prime }-M{\alpha }_k|<\frac{M}{M_{n-1}}<1,$$

и они меньше единицы, так же как и их производные до порядка $m$. Из теоремы о среднем, примененной последовательно к каждой из этих производных до этого порядка, следует, что
$${\left|f_k^{\prime }({\mathit{x}}^{\prime },{\mathit{y}}^{\prime })\right|}_m+{\left|g_k^{\prime }({\mathit{x}}^{\prime },{\mathit{y}}^{\prime })\right|}_m<C_5,$$

где константа $C_5$ зависит только от $m$. Следовательно, отображевие $T^{\prime }$ из (4.4.49) таково, что справедливо неравенство
$${|x_k^{\prime }+g_k^{\prime }|}_m+{|y_k^{\prime }+\frac{Q}{M}{x}_k^{\prime }+f_k^{\prime }|}_m<C_6,$$

которое мы перенишем в виде ${\left|T^{\prime }\right|}_m<C_6$.
Для преобразования переменных (4.4.36), записанного в виде
$$W^{\prime }\{\begin{array}{l}{x}_k^{\prime }={\xi }_k^{\prime }+u_k^{\prime }({\xi }^{\prime },{\mathit{\eta }}^{\prime }),\\ y_k^{\prime }={\eta }_k^{\prime }+v_k^{\prime }({\xi }^{\prime }\cdot {\mathit{\eta }}^{\prime }).\end{array}$$

при $p_1+\dots +p_N+q_1+\dots +q_N⩽m+2\sigma$ мы аналогично находим
$${\left|u_k^{\prime }\right|}_m+{\left|v_k^{\prime }\right|}_m<C_{7}M{Q}^{2\sigma }{\delta }_{n-1}=C_7{M}^{-1}{Q}^{2\sigma }<\frac{1}{O}<\frac{1}{4}.$$
Теперь из теоремы о неявной функции следует существование обратного преобразования, все производные которого до порядка $m$ ограничены константами, не зависящими от $Q$ п $M$ в көльце $|x_k-{\alpha }_k|<2/M$. Следовательно,
$${\left|W^{\prime }\right|}_m<2,{\left|W^{\prime -1}\right|}_m<2$$

п отображение $W^{\prime -1}{T}^{\prime }{W}^{\prime }$ имеет в качестве компонент функции, производные которых до порядка $m$ ограничены константой $C_8$, не зависящей от $M$ и $Q$. Следовательно,
$$\left|D_{\eta }^{p}D{}_{\xi }^{q}Q{\psi }_k\right|+\left|D_{\eta }^p{D}_{\xi }^{q}M{\phi }_k\right|<C_8{Q}^{p_1+\dots +p_N}{M}^{q_1+\dots +q_N}$$

при $p_1+\dots +p_N+q_1+\dots +q_N<m$ в кольце $|{\xi }_k-{\alpha }_k|<1/M$ при условии $Q>C_8$, что и доказывает неравенство (4.4.40).

Теперь утверждение первой леммы настоящего параграфа сразу же получается из только что доказанной леммы.
Действительно, определим
$$T^0\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k+g_k(\mathit{x},\mathit{y}),\\ y_k^{\ast }=y_k+x_k+f_k(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}$$

при $a_k⩽x_k⩽b_h$, а также определим
$$T^{\mathrm{\infty }}\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k.\\ y_k^{\ast }=y_k+x_k.\end{array}$$

Здесь $\left|f_k\right|+\left|g_k\right|<{\delta }_0$ для $|T^0-T^{\mathrm{\infty }}|<{\delta }_0$. Вторая темма устанавливает существование преобразования
$$W_1\{\begin{array}{l}{x}_k={\xi }_k+u_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })\\ y_k={\eta }_k+v_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }).\end{array}$$

которое переводит $T^0$ в $T^1$ при $T^1=W_1^{-1}{T}^0{W}_1$, откуда формально получаем $|T^1-T^{\mathrm{\infty }}|<{\delta }_0^q={\delta }_1$. Повторяя начатую продедуру приведения отображения $T^0$, определенную в любом меньшем кольце, находим
$$T^n=W_n^{-1}{T}^{n-1}{W}_n(n=1,2,\dots ),$$

где $|T^n-T^{\mathrm{\infty }}|<{\delta }_{n-1}^q={\delta }_n$. Если считать $\xi ,\eta$ кординатами, отнесенными $і$ отображению $T^n$, то оно будет определено в кольце
$$|{\xi }_k-{\alpha }_k|<\frac{1}{M_n}=\frac{1}{M_{n-1}^q}.$$

Из второй леммы следует, что преобразование $W_n$ координат шага номер $n-1$ в координаты шага номер $n$ удовлетворяет неравенству
$${|W_n-I|}_1<\frac{1}{Q_n}=\frac{1}{Q_{n-1}^q},$$

где $I$ — тождественное преобразование. Следовательно, на торах ${\xi }_k={\alpha }_k$ отображение $T^n$ сходится к отображению $T^{\mathrm{\infty }}$, которое представляет собой «поворот» ${\eta }_k^{\ast }={\eta }_k+{\alpha }_k$.

Связь между координатами $\xi ,\eta$ отображения $T^{\mathit{n}}$ и координатами $\mathit{x},\mathit{y}$ отображения $T^0$, как следует из (4.4.50), определяется соотношениями
$$S_n=W_1{W}_2\dots W_n,T^n=S_n^{-1}{T}^0{S}_n.$$

Преобразовавие $S_n$ определено в кольце $|{\xi }_k-{\alpha }_k|<1/M_n$ и отображает его в меньшее кольцо $|x_n-{\alpha }_k|<1/M_0$. Если записать $S_n$ в виде
$$S_n\{\begin{array}{l}{x}_k={\mathit{\xi }}_k+p_k^n(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\\ y_k={\eta }_k+q_k^n(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\end{array}$$

то будет достаточно показать, что функции $p_k^n,q_k^n$ (и их производные) равномерно сходятся к функциям $p_k(\eta )$ и $q_k(\eta )$. Если это так, то инвариантное многообразие из теоремы в начале настоящего параграфа (для специального случая ${\alpha }_k=x_k$ и $\delta =1$ ) в точности равно
$$\{\begin{array}{l}{x}_k={\alpha }_k+p_k(\eta )\\ y_k={\eta }_k+q_k(\mathit{\eta })\end{array}$$

В этом легко убедиться, если сначала заметить, что
$$\left|p_k^n\right|+\left|q_k^n\right|<\sum _{t=1}^n(\left|u_t\right|+\left|v_i\right|)<\sum _{t=1}^n\frac{1}{Q_t}$$

а для достаточно больших $Q_0$ последний член может быть сделан меньше $\epsilon$. Для доказательства сходимости производных от $p_k^n,q_k^n$ рассмотрим матрицу Якоби $J_n$ преобразования $W_n$. Так как
$$\begin{array}{ll}\frac{\partial x_k}{\partial {\xi }_j}={\delta }_{k,j}+\frac{\partial u_k}{\partial {\xi }_j},& \frac{\partial x_k}{\partial {\eta }_j}=\frac{\partial u_k}{\partial {\eta }_j},\\ \frac{\partial y_k}{\partial {\xi }_j}=\frac{\partial v_k}{\partial {\xi }_j},& \frac{\partial y_k}{\partial {\eta }_j}={\delta }_{k,j}+\frac{\partial v_k}{\partial {\eta }_j},\end{array}$$

то отсюда следует, что
$$J_n-I=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial \mathit{u}}{\partial \xi }& \frac{\partial \mathit{u}}{\partial \mathit{\eta }}\\ \frac{\partial \mathit{v}}{\partial \xi }& \frac{\partial \mathit{v}}{\partial \mathit{\eta }}\end{array}\right)$$

Максимальная абсолютная величина этой матрицы, т. е. $|J_n-I|$, согласно (4.4.52), при ${\left|u_k\right|}_1+{\left|v_k\right|}_1<1/Q$ определяется формулой
$$|J_n-I|<\frac{1}{Q_n}.$$

Матрица Якоби $G_n$ преобразования $S_n$ теперь, очевидно, будет равна произведению $n$ матриц $J_1,\dots ,J_n$, т. е. $G_n=J_1\dots J_n$.

Также очевидно; что сходимость производных от $p_k^n,q_k^n$ әквпвалентна сходимости произведения $G_n$. Но матрица $J_t$ мажорируется матрицей
$$I+\frac{1}{Q_t}U,U=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ 1& 1& \dots & 1\\ 1& \dots & \dots & 1\\ 1& 1& \dots & 1\end{array}\right).$$

Следовательно, достаточно показать сходимость произведения
$$\prod _{t=1}^{\mathrm{\infty }}(I+\frac{1}{Q_t}U)$$

Это произведение, будучи коммутативным, меньше (или равно) произведения
$$\prod _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\exp \frac{U}{Q_t}=\exp \sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{U}{Q_t}$$

которое, очевидно, является сходящимся. Также пмеем
$$\begin{array}{l}|G_n-I|⩽|\prod _{n=t}^{\mathrm{\infty }}(I+\frac{1}{Q_t}U)-I|⩽\\ ⩽|\exp \left(\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{Q_t}U\right)-I|⩽\exp \frac{C_9}{Q_0}-1⩽\frac{C_{10}}{Q_0}.\end{array}$$

Выбором достаточно большого $Q_0$ можно сделать $|G_n-I|<\epsilon$ и, следовательно, ${\left|p_k\right|}_s+{\left|q_k\right|}_s<\epsilon$ при $s=1$, как и утверждается в теореме.

Для завершения доказательства теоремы осталось снять ограничение ${\mathit{\alpha }}_k(\mathit{x})=x_k$. Для этого достаточно ввести замену переменных и опять доказать, что теорема следует из второй леммы настоящего параграфа. Действительно, пусть отображенпе
$$T_{\mu }\{\begin{array}{l}{x}_k^{\ast }=x_k+G_k(\mathit{x},\mathit{y}),\\ y_k^{\ast }=y_k+{\alpha }_k(\mathit{x})+F_k(\mathit{x},\mathit{y})\end{array}$$

определено прп $a_k⩽x_k⩽b_k$. Пусть
$${\xi }_k={\alpha }_k(x),{\eta }_k=y_k.$$

Тогда отображение $T_{\mu }$ принимает вид
$$T\{\begin{array}{l}{\xi }_k^{\ast }={\xi }_k+g_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\\ {\eta }_k^{\ast }={\eta }_k+{\xi }_k+f_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta }),\end{array}$$

так как преобразование $(\mathit{x},\mathit{y})\to (\mathit{\xi },\mathit{\eta })$ однозначно и имеет $m$ ограниченных производных. Кроме того,
$$\begin{array}{c}{f}_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })=F_k(\mathit{x}(\mathit{\xi }),\mathit{\eta })\\ g_k(\mathit{\xi },\mathit{\eta })={\alpha }_k(\mathit{x}+\mathit{G}(\mathit{x},\mathit{y}))-{\alpha }_k(\mathit{x})=\\ ={\alpha }_{\dot{k}}(\mathit{x}(\mathit{\xi })+\mathit{G}(\mathit{x}(\mathit{\xi }),\mathit{\eta }))-{\alpha }_k(\mathit{x}(\mathit{\xi })),\end{array}$$

п, следовательно, условия (4.4.17) и (4.4.18) удовлетворяются при соответствующем выборе постоянной $C_0$. Кольцо, в котором определено отображение $T$, содержится в кольце шириной $C_0^{-1}$, т. е. ${\alpha }_k(\mathit{b})-{\alpha }_k(\mathit{a})⩾C_0^{-1}$ при ${\alpha }_k(\mathit{a})⩽{\xi }_k⩽{\alpha }_k(\mathit{b})$, что следует из (4.4.53).

Доказательство теоремы для $s>1$ проводится аналогичным образом с помощью вывода новых соответствующих соотношений между параметрами $M,Q,\delta ,q,s,v,\sigma ,m$ (см., например, [26,28]).
Важно отметить следующее.
I) Теорема Мозера эквивалентна (в смысле утверждений теорем) теореме Колмогорова, но не требует аналитичности гамильтониана (в случае аналитичности отображения $T_{\mu }$ ). Требуется только существование производных до некоторого порядка. Это стало возможно в результате применения $k$ соответствующим функциям ошерации сглаживания.
II) Появление малых делителей в рядах типа ехр $\left[i\left({\mathit{j}}^{\mathrm{T}}\mathit{\alpha }\right)\right]-1$ контролируется оценками вида (4.4.23). Ћлассические результаты в теории диофантовых приближений показывают, что при всех цельх $j_k$ такой оценке не будет удовлетворять только множество значений, мера которого по сравнению с мерой единичного куба $0<{\alpha }_k<1(k=1,\dots ,n)$ равна $O(\epsilon )$ и стремится к нулю вместе с $\epsilon$. Возможные малые значения таких знаменателей компенсируются тем, что сходимость приближений к отображению $T^{\mathrm{\infty }}$ имеет такую же скорость, что и у последовательности ${\delta }_0^{q^n}$.
III) Условие невырожденности, фигурирующее в теореме Мозера, как уже упоминалось выше, совпадает с условием Арнольда п является менее жестким, чем условие Колмогорова ${}^1$ ).
Действительно, так как
$${\alpha }_k=2\pi {\omega }_k=2\pi \frac{{\mathrm{\Omega }}_k}{{\mathrm{\Omega }}_n},{\mathrm{\Omega }}_{n}eq0,$$

то условие (4.4.16) можно перешисать в виде
$$\left|\sum _{k=1}^N{j}_k{\mathrm{\Omega }}_k\right|⩾{\epsilon }^{\prime }{\left(\sum _{k=1}^n\left|j_k\right|\right)}^{-n+1/2},$$

что является обобщенным условием иррациональности Зигеля. Условие
$$\det \left(\frac{\partial {\alpha }_k}{\partial x_j}\right)eq0$$

после использования определения
$${\alpha }_k=2\pi \frac{\frac{\partial H_0}{\partial x_k}}{\frac{\partial H_0}{\partial x_n}}(x_1,\dots ,x_{n-1},x_n(x_1,\dots ,x_{n-1},h))$$

п соотношений
$$\frac{\partial x_n}{\partial x_j}=-\frac{\frac{\partial H_0}{\partial x_j}}{\frac{\partial H_0}{\partial x_n}}$$

приводит к обобщению условия (4.3.11), т. е.
$$\left|\begin{array}{ccccc}\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_1\partial x_n}& \frac{\partial H_0}{\partial x_1}\\ \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_2\partial x_n}& \frac{\partial H_0}{\partial x_2}\\ \cdots \cdots & \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_n^2}& \frac{\partial H_0}{\partial x_n}\\ \frac{\partial H_0}{\partial x_1}& \frac{\partial H_0}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial H_0}{\partial x_n}& 0\end{array}\right|eq0.$$
1) См. примечание в конце параграфа (прим. перев.).

Также очевидно, что если ${\mathrm{\Omega }}_{k}eq0(k=1,\dots ,n)$ п если обытно условие невырожденности, фигурирующее в теореме Колмогорова, выполнено, то и (4.4.54) выполнено ${}^1$ ). Обратное не всегда верно.