Рассмотрим аналитический (в некоторой области) и 2л-периодический по каждой компоненте $y_{1}, \ldots, y_{n}$ вектора $y$ гамильтониан
\[
H=H_{0}(x)+\mu H_{1}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) .
\]

При $\mu=0$ условно-периодические решения
\[
y_{k}=\Omega_{k}\left(x^{0}\right) t+y_{k}^{0}, \quad x_{k}=x_{k}^{0} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

лежат на торе $T_{n}$, и поток является эргодическим. Вдоль каждого решения системы уравнений, соответствующих гамильтониану (4.4.1), мы имеем
\[
H(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{y}(t) \mathrm{j}=h=\mathrm{const} .
\]

Предположим, что $\partial H / \partial x_{n}
eq 0$. Тогда мы можем решить ураввение $H=h$ относительно $x_{n}$ и найти
\[
x_{n}=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, y_{1}, \ldots, y_{n}, h, \mu\right) .
\]

Обознатая $y_{n}=\tau$ и исктючая из уравнений время $t$, пмеем
\[
x_{k}^{\prime}=\frac{\partial f}{\partial y_{k}}, \quad y_{k}^{\prime}=-\frac{\partial f}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n-1),
\]

іде
\[
f=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, y_{1}, \ldots, y_{n-1}, \tau, h, \mu\right) .
\]

Если функция $H$ аналитичпа, то функция $f$ также будет аналитична. Опять нзучение решеннй системы (4.4.4) может быть сведено к изучению определяемого системой (4.4.4) отображения $T_{\text {н плоскости }} \tau=0$ в плоскость $\tau=2 \pi$. Действительно, пусть в плоскости $y_{n}=\tau=0$ выбраны пачальные условия $x_{k}^{0}, y_{k}^{0} \quad(k=$ $=1, \ldots, n-1)$. Репение уравшенй (4.4.4), проходящее через тоџку при $\tau=0$, будет пметь вид
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=x_{k}\left(\tau, x^{0}, y^{0}, \mu\right), \\
y_{k}=y_{k}\left(\tau, x^{0}, y^{0}, \mu\right)
\end{array} \quad(k=1, \ldots, n-1),
\]

и, следовательно,
\[
T_{\mu}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}(2 \pi, x, y, \mu), \\
y_{k}^{*}=y_{k}(2 \pi, x, y, \mu)
\end{array} \quad(k=1, \ldots, n-1) .\right.
\]

С другой стороны,
\[
\frac{\partial f_{0}}{\partial x_{k}}=-\frac{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}}}{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{n}}}=-\frac{\Omega_{k}}{\Omega_{n}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right),
\]

так что при $\mu=0(k=1, \ldots, n-1)$
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=x_{k}^{0}, \\
y_{k}=\frac{\Omega_{k}}{\Omega_{n}}\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}\right) \tau+y_{k}^{0} .
\end{array}
\]

Положив $\alpha_{k}=2 \pi \Omega_{k} / \Omega_{n}$, получаем ( $k=1, \ldots, n-1$ )
\[
T_{0}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}, \\
y_{k}^{\star}=\alpha_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)+y_{k},
\end{array}\right.
\]

и при $\mu
eq 0(k=1, \ldots, n-1)$
\[
T_{\mu}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}+G_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right), \\
y_{k}^{\star}=y_{k}+\alpha_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)+F_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right)
\end{array}\right.
\]

где переменные $x_{k}$ берутся из кольца $0<a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}$. Ясно, что функции $G_{k}$ и $F_{k}$ зависят от $\mu$ и должны стремиться к нулю при $\mu \rightarrow 0$.Так как система уравнений (4.4.4) является гамильтоновой, интеграл системы (4.4.4), то он является инвариантным по отношению к отображению $T_{\mu}$. Более того, периодические решения периода $2 \pi p$, где $p>0$ – целое число, должны быть таковы, что
\[
T_{\mu}^{p}\left(\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}\right)=\left(\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}^{0}\right),
\]
т. е. точка $\left(x^{0}, y^{0}\right)$ является неподвижной точкой отображения $T_{\mu}$.

На геометрическом языке теорема Колмогорова теперь может быть сформулирована в следующем виде. Мы хотим определить, при капих условиях отображение $T_{\mu}$ имеет инвариантные множества, близкие $к$ инвариантным множествам (торам) отображения $T_{0}$.

Рассмотрим $T_{0}$, определенное в кольце $0<a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}$ ( $k=$ $=1, \ldots, N)$, при условии
\[
\operatorname{det}\left\{\frac{\partial \alpha_{k}}{\partial x_{j}}\right\}
eq 0
\]

Торы $T^{N}$, являющиеся прямым произведением $N$ окружностей $x_{k}=$ const, инвариантны относительно отображения $T_{0}$. Рассмотрим теперь отображение $T_{\mu}$, где $F_{k}$ и $G_{k}$ – ограниченные и $2 \pi$-периодические по $y_{1}, \ldots, y_{N}$ функции. Предположим, что каждое замкнутое ограниченное множество, близкое к $T^{N}$ и представленное в виде
\[
x_{k}=f_{k}\left(y_{1}, \ldots, y_{N}\right)=f_{k}\left(y_{1}+2 \pi, \ldots, y_{N}+2 \pi\right),
\]

пересекается со своим образом при отображении $T_{\mu}$, где функции $\partial f_{k} / \partial y_{j}$ удовлетворяют некоторым условиям ограниченности. При сделанных предположениях теперь можно показать, что отображение $T_{\mu}$ имеет ограниенные замкнутые инвариантные множества при достаточно малых значениях функций $F_{k}$ и $G_{k}$ и при условии, что эти функции являются некоторое число раз дифференцируемьми.

Здесь мы только дадим схему доказательства этой основнсй теоремы, начав изложение с некоторых важных лемм. При $\boldsymbol{N}=1$ детальное доказательство было дано Мозером [26].

Tеорема. Для данных $\varepsilon>0$ и целых $s>1$ отображение $T_{\mu}$ имеет ограниченное замкнутое инвариантное множество
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{0}+\boldsymbol{p}\left(\boldsymbol{y}^{0}\right), \quad \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{0}+\boldsymbol{q}\left(\boldsymbol{y}^{0}\right),
\]

гое $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}-N$-мерные векторы, периодические по каждой компоненте $y_{1}, \ldots, y_{N}$ вектора $\boldsymbol{y}$, принадлежащие классу $C^{*}$ и при $\left|p_{k}\right|_{s}+\left|q_{k}\right|_{s}<\varepsilon$, удовлетворяющие условиям:
a) ғаждое замкнутое множество и его образ при отображении $T_{\mu}$, определяемом формулами (4.4.10), имеет хотя бы одну общую точку;
б) в кольце $0 \leqslant a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}, \quad b_{k}-a_{k} \geqslant 1$ можно найти такое $C_{0}>1$, что
\[
\frac{1}{N ! C_{0}^{N}} \leqslant\left|\operatorname{det}\left\{\frac{\partial \alpha_{k}(x)}{\partial x}\right\}\right|<N ! C_{0}^{N} .
\]

Тогда можно найти такую фрукцию $f_{0}\left(\varepsilon, s, C_{0}\right)>0$ целое число $m(s)$, что $F_{k} \in C^{m}, G_{k} \in C^{m}{ }_{u}$
\[
\begin{aligned}
\left|F_{k}\right|_{0}+\left|G_{k}\right|_{0} & <\delta_{0}, \\
\left|\alpha_{k}\right|_{0}+\left|F_{k}\right|_{m}+\left|G_{k}\right|_{m} & <C_{0} .
\end{aligned}
\]

Более того, отображение, индуцируемое множеством (4.4.11), имеет вид
\[
\tilde{y}_{k}=y_{k}^{0}+\alpha_{k}\left(x^{0}\right)=y_{k}^{0}+\alpha_{k} .
\]

Точнее, для данного $\alpha_{k}$, удовлетєоряющего условиям
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{k}(a)+\varepsilon<\alpha_{k}<\alpha_{k}(b)-\varepsilon, \\
\left|\sum_{k=1}^{N} j_{k} \alpha_{k}+j_{N+1} 2 \pi\right| \geqslant \varepsilon\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|\right\}^{-N-1 / 2},
\end{array}
\]

при всех одновременно не равных нулю целых числах $j_{k}$ существуют инвариантные множества (4.4.11) с $\alpha_{k}\left(x^{0}\right)=\alpha_{k}$ (коэффициент кручения).
В теореме использовано обозначение
\[
|f|_{s}=\sup \left|\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)^{s_{1}} \ldots\left(\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)^{s_{n}} f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|,
\]

где $s=s_{1}+\ldots+s_{n}$, а $\boldsymbol{x} \in D$ – область определения функции $f(x)$.

Сначала можно доказать такое вспомогательное утвержідение. Лемма. Данное отображение
\[
Q\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}+g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \\
y_{k}^{*}=y_{k}+x_{k}+f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\end{array} \quad(k=1, \ldots, N),\right.
\]

определенное в кольце $0<a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}$, где $f_{k}$, g $g_{k}-2 \pi$-периодические по каждой компоненте $y_{1}, \ldots, y_{N}$ вектора у функции, $b_{k}-a_{k} \geqslant 1 / C_{0} u$
a)
\[
\begin{array}{c}
|f|_{1}+|g|_{1}<\delta_{0}, \\
\left|D^{m} f_{k}\right|+\left|D^{m} g_{k}\right|<C_{0},
\end{array}
\]
б)

где
\[
D^{m}=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right)^{p_{1}} \cdots\left(\frac{\partial}{\partial x_{N}}\right)^{p_{N}}\left(\frac{\partial}{\partial y_{1}}\right)^{q_{1}} \cdots\left(\frac{\partial}{\partial y_{N}}\right)^{q_{N}}
\]

при $p_{1}+\ldots+p_{N}+q_{1}+\ldots+q_{N}=m$,
B)
\[
a_{k}+\varepsilon<\alpha_{k}<b_{k}-\varepsilon,
\]
r) $(\sigma \geqslant 2 N+1)$ – уелое число), можно привести в виду
\[
Q_{0}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}, \\
y_{k}^{*}=y_{k}+x_{k} .
\end{array}\right.
\]

Это приведение можно осуществить с помощью итерационной шроцедуры, очень похожей на процедуру, использованную при доказательстве теоремы Колмогорова. Однако в данном случае итерации сходятся таким образом, тто отклонение от $Q_{0}$ уменьшается вместе с $\delta_{0}^{q^{n}}$, где $n$ – номер итерации, а $q$ может быть взято равным $4 / 3$.

Действительно, пусть три параметра $Q, M, \delta$ удовлетворяют соотношениям
\[
M=Q^{v}>Q>1, \quad \delta=M^{-2 q}
\]

при
\[
q=\frac{4}{3}, \quad v=6(\sigma+1), \quad m=3+41 v .
\]

Параметры $Q_{n-1}, M_{n-1}, \delta_{n-1}$, получающиеся при итерации номера

$n-1$, связаны с $Q, M, \delta$ соотношениями
\[
\begin{aligned}
Q & =Q_{n-1}^{q}, & Q_{n-1} & =Q_{0}^{q^{n-1}}, \\
M & =M_{n-1}^{q}, & M_{n-1} & =M_{0}^{q^{n-1}}, \\
\delta & =\delta_{n-1}^{q}, & \delta_{n-1} & =\delta_{0}^{q^{n-1}}
\end{aligned}
\]

при условии, что на каждом шаге
\[
\begin{array}{c}
\left|f_{k}\right|_{1}+\left|g_{k}\right|_{1}<\delta_{n-1} \quad \text { при }\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<\frac{1}{M_{n-1}}, \\
\left|D^{n_{n}} Q_{n-1} f_{k}\right|+\left|D^{m} M_{n-1} g_{k}\right| \leqslant Q_{n-1}^{q_{1}+\ldots+q_{N}+1} M_{n-1}^{p_{1}+\ldots+p_{N}+1}
\end{array}
\]

при $q_{1}+\ldots+q_{N}+p_{1}+\ldots+p_{N}=m$.
При $n=1$ соотношение (4.4.20) совпадает с (4.4.17) при достатодно малых $\delta$. Более того, беря $M_{0}>1 / \varepsilon$ и $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M_{0}<$ $<\varepsilon$, мы, разумеется, имеем $a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}$. Аналогичным образом соотзошение (4.4.21) при $n=1$ совпадает с (4.4.18). Действительно, из (4.4.18) следует, что
\[
\left|D^{m} Q_{0} f_{k}\right|+\left|D^{m} M_{0} g_{k}\right| \leqslant C_{0} M_{0},
\]

так жак $M>Q$. Таким образом, в силу того, что
\[
\begin{array}{c}
q_{1}+\ldots+q_{N}+p_{1}+\ldots+p_{N}=m \geqslant v, \\
Q_{0}^{q_{1}+\ldots+q_{N}} M_{0}^{p_{1}+\ldots+p_{N}} \leqslant Q_{0}^{n}>Q_{0}^{v} \geqslant M_{0} .
\end{array}
\]

получаем
\[
C_{0} M_{0} \leqslant C_{0} Q_{0}^{q_{1}+\ldots+q_{N}} M_{0}^{p_{1}+\ldots+p_{N}} \leqslant Q_{0}^{q_{1}+\ldots+q_{N}+1} M_{0}^{p_{1}+\ldots+p_{N}+1},
\]

так как $Q_{0}>C_{0}$. Следовательно, при $n=1$ мы должны взять $M_{0}>1 / \varepsilon$ и $Q_{0}>C_{0}$, т. е. $\delta_{0}<\varepsilon^{2 q}, \delta_{0}<C_{0}^{-2 q
u}$, и в конце кондов $\delta_{0}$ можно взять «много меньшим, чем» выписанные выше величины.

Теперь мы подходим к доказательству основной леммы, которая нуждается в упоминании двух хорошо пзвестных утверждений.
A) Рассмотрим разностное уравнение
\[
S(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{\alpha})-S(\boldsymbol{y})=F(\boldsymbol{y}),
\]

где $S$ п $F$ – периодические функции периода $2 \pi$ по каждой компонеите $y_{1}, \ldots, y_{N}$ вектора $\boldsymbol{y}$ и они имеют нулевое среднее. Пусть вектор $\alpha$ удовлетворяет неравенствам
\[
\left|\sum_{k=1}^{N} j_{k} \alpha_{k}+2 \pi j_{N+1}\right| \geqslant \varepsilon\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|\right\}^{-\tau+N+1 / 2},
\]

где $\tau \geqslant 2 N+1$ – пелое число. Тогда, если функция $F(y)$ имеет $\tau \geqslant 2 N+1$ непрерывных производных по каждой компоненте $y_{j}$, то уравнепие (4.4.22) имеет пепрерывное решение, такое, тто
\[
|S(F)|_{0} \leqslant \frac{C}{\varepsilon}|F|_{\tau},
\]

где $C$ – произвольная постоянная, которая не зависит ии от идного из параметров. Более того, можно взять $S(0)=0$. Действительно, используя для функции $F$ разложение в ряд Фурье
\[
F=\sum_{j \bar{F} 0} F_{j} e^{i\left(j^{\mathrm{T}} y\right)}
\]

получаем решение в виде.
\[
S=\sum_{j
eq 0} \frac{F_{i}}{e^{i\left(j^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)}-1} e^{i\left(j^{\mathrm{r}} y\right)},
\]

где $\boldsymbol{j}=\left(j_{1}, \ldots, j_{N}\right)$. Так как функция $F$ имеет $\tau$ непрерывных производных по каждой компоненте $y_{j}$, то
\[
\left|F_{j}\right| \leqslant\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|\right\}^{-\tau}|F|_{\tau},
\]

где $\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|
eq 0$. С другой стороны,
\[
\left|e^{i\left(j^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)}-1\right|=\left|2 \sin \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)\right| \geqslant \frac{2}{\pi} \varepsilon\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|\right\}^{-\tau+N+1 / 2}
\]

для достаточно малых $\varepsilon$, и, следовательно,
\[
\left|\frac{F_{j}}{e^{i\left(j^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)}-1}\right| \leqslant \frac{\pi}{2 \varepsilon}\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|\right\}^{-N-1 / 2}|F|_{\tau},
\]

и ряд (4.4.25) является абсолютно сходящимся. Для того. чтобы показать справедливость оценки (4.4.24), достаточно взять
\[
C=\sum_{j
eq 0}\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|j_{k}\right|\right\}^{-N-1 / 2} .
\]

Как следствие отсюда получаем, что если $F(x, y)$ является нее, то, как и раные, можно решить разностное уравнение
\[
S(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}+\boldsymbol{\alpha})-S(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\]

и получить
\[
|S|_{0} \leqslant \frac{C}{\varepsilon}\left|D_{y}^{\tau} F\right|_{0} .
\]
Б) Мы можем определить действие операции сә.лаживания (см. $[26,3]$ ) на функцию $2 N$ переменных. В некотором специальном смысле в результате этой операции функции $F(x, y)$ будут аппроксимироваться функциями $\Phi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$, которые имеют более гладкое поведение, чем $F(x, y)$. В основном эта операция сводится к интерполяции производных фупцци $\Phi$, которая оставляет инвариантными (точно интерполируег) полиномы пекоторой стешени.
Пусть $F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ – непрерывная фуннция в области
\[
a_{k}<x_{k}<b_{k}, \quad-\infty<y_{k}<+\infty
\]

шри $k=1, \ldots, N$. Степень апшоксимации по отношению к двум векторным переменным $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ может быть различной (в действительности она может быть различной дэя каждой из $2 N$ переменных) и она определяется двумя параметрами $M$ и $Q>1$. Сглаживающая функция $\Phi_{M, Q}(F)$ определяется в менией области
\[
\alpha_{k}=a_{k}+\frac{1}{M}<x_{k}<b_{k}-\frac{1}{M}=\beta_{k},
\]

и предиолагается, что $2 / M<b_{k}-a_{k}$. Эта фушнця определяется формулой
\[
\boldsymbol{\Phi}_{M, Q}(F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))=\int \underset{\substack{a_{k}<\xi_{k}<b_{k} \\-\infty<\eta_{k}<+\infty}}{ } \ldots \iint_{M, Q}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{y}-\boldsymbol{\eta}) F(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) d \boldsymbol{\xi} d \boldsymbol{\eta} .
\]
$\boldsymbol{Я}_{\text {дро }} K_{M, Q}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ берстся так, ттобы
\[
K_{M, Q}(x, y)=M K(M x) \cdot Q K(Q y),
\]

где $K(\boldsymbol{x}) \in C^{\infty}$, и удовлетворяет условиям
\[
K(x)=0 \quad \text { прн }\left|x_{k}\right|>1
\]

и
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int x_{1}^{b_{1}} \ldots x_{N}^{k_{N}} K(x) d x=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & \Sigma k_{i}=0 \\
0 & \text { для } & 0<\Sigma k_{i}<m,
\end{array}\right.
\]

где $k_{i} \geqslant 0$ и $m-$ фиксированиые числа. Таким образом, функция $\Phi_{м, Q}(F)$ зависит от $m$, которое выбирается так, ттобы удовлетворялись условия (4.4.13).

Условие (4.4.28) показывает, что $K_{м, Q}$ равно нулю при $\left|y_{k}\right|>$ $>1 / Q$ и $\left|x_{k}\right|>1 / M$. Следовательн, пнтервал интегрирования в (4.4.29) можно ограничить интервалом, содержащнмся в $a_{k}<$ $<\xi_{k}<b_{k}$, так как $\alpha_{k}<x_{k}<\beta_{k}$. Отсюда функцию (4.4.27) можно записать через новые переменые $u$, $v$, пмеющие очевидный смысл, так:
\[
\Phi_{M, Q}(F(x, y))=\int \underset{\left|u_{k}\right|<1,\left|v_{k}\right|<1}{ } \iint_{1,1}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) F\left(\boldsymbol{x}-\frac{\boldsymbol{u}}{M}, \boldsymbol{y}-\frac{\boldsymbol{v}}{Q}\right) d \boldsymbol{u} d \boldsymbol{v} .
\]

Накопец, условие (4.4.29) показывает, что полиномы $P_{m}(x, y)$ степени не выше $m$ остаются инвариантными при операции сглаживания, т. е.
\[
\Phi_{M, Q}\left(P_{m}(x, y)\right)=P_{m}(x, y) .
\]

Теперь, если функция $F(x, y)$ непрерывна в кольце $a_{k}<x_{k}<$ $<b_{k}$, то при $\alpha_{k}<x_{k}<\beta_{k}$ легко проверить, что
\[
\left|D_{x}^{q} D_{y}^{p} \Phi_{M, Q}(F)\right| \leqslant \widetilde{C} Q^{p_{1}+\ldots+p_{N}} M^{q_{1}+\ldots+q_{N}} \sup _{a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}}|F|
\]

для всех целых $p_{1}, \ldots, p_{N}, q_{1}, \ldots, q_{N}$, а постоянная $\widetilde{C}$ зависит от ядра $K(\boldsymbol{x})$ п чисел $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$. Аналогичным образом, если $F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \in C^{m}$, то при $\alpha_{k}<x_{k}<\beta_{k}$ справедливы неравенства
\[
\begin{array}{l}
\left|F-\Phi_{M, Q}(F)\right| \leqslant C Q^{-p_{1}-\ldots-p_{N}} M^{-q_{1}-\ldots-q_{N}} \sup \left|D_{x}^{q} D_{y}^{p} F\right| \\
\text { при } p_{1}+\ldots+q_{N}=m, a_{k}<x_{k}<b_{k} \text {. } \\
\text { Эти утверждения можно получить, если заметить, что } \\
\text { из (4.4,27) следуют неравенства } \\
\left|D_{x}^{q} D_{y}^{p} \Phi_{M, Q}(F)\right| \leqslant \\
\leqslant \sup _{a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}}|F| \int \ldots \int\left|D_{x}^{\boldsymbol{q}} D_{\boldsymbol{y}}^{\boldsymbol{p}} K_{M, Q}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{y}-\boldsymbol{\eta})\right| d \xi d \boldsymbol{\eta} \leqslant \\
\leqslant \sup _{a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}}|F| Q^{p_{1}+\ldots+p_{N}} M^{q_{1}+\ldots+q_{N}} \int \ldots \int\left|D_{x}^{q} K(x)\right| d x \times \\
\times \int \ldots \int\left|D_{y}^{p} K(y)\right| d y, \\
\end{array}
\]

которые п доказывают (4.4.31). Далее, мы разложим фунццию $F(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{u} / M, \boldsymbol{y}-\boldsymbol{v} / Q)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=$ $=0$ до членов порядка, меньшего $m$, с какимі-то остаточными членами. Так как $\Phi_{M, Q}$ сохраняет полиномы степени ниже $m$, то только остаточные члены этого ряда $R_{m}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})$ дадут вклад в разложение $F-\Phi_{M, Q}(F)=\left(I-\Phi_{M, Q}\right) F$. Эти остаточные члены могут быть оденены с помощью неравенств $\left(p_{1}+\ldots+q_{N}=m\right.$ )
\[
\left|R_{m}\right| \leqslant \sup _{(u, v)} \frac{\left|u_{1}^{q_{1}} \ldots u_{N}^{q_{N}} v_{1}^{p_{1}} \ldots v_{N}^{p_{N}}\right|}{Q^{p_{1}+\ldots+p_{N} M^{q_{1}}+\ldots+q_{N}}}\left|D_{x}^{q} D_{y}^{p} F(\xi, \eta)\right|,
\]

где
\[
\left|\xi_{k}-x_{k}\right|<\frac{1}{M}, \quad\left|\eta_{k}-y_{k}\right|<\frac{1}{Q}, \quad\left|u_{k}\right|<1, \quad\left|v_{k}\right|<1 .
\]

Следовательно, из (4.4.30) мы получаем
\[
\left|\left(I-\Phi_{M, Q}\right) F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\right| \leqslant C \sup Q^{-p_{1}-\ldots-p_{N}} M^{-q_{1}-\ldots-q_{N}}\left|D_{x}^{q} D_{y}^{p} F(\xi, \boldsymbol{\eta})\right|,
\]

где $p_{1}+\ldots+p_{N}+q_{1}+\ldots+q_{N}=m$ и
\[
C=N \sup _{p_{1}+\ldots+q_{N}=m} \int \ldots \int\left|u_{1}^{q_{1}} \ldots u_{N}^{q_{N}} v_{1}^{p_{1}} \ldots v_{N}^{p_{N}} K_{1,1}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})\right| d \boldsymbol{u} d \boldsymbol{v},
\]

что и доказывает неравенства (4.4.32).
Замечание. Для $a_{k}<x_{k}<b_{k}$ при $p_{1}+\ldots+p_{N}=\tau, q_{1}=$ $=\ldots=q_{N}=0$ мы имеем
\[
S^{*}=\left|S\left(\Phi_{M, Q}(F(x, y))\right)\right| \leqslant \frac{C}{\varepsilon}\left|D_{y}^{\tau} \Phi_{M, Q}(F)\right|_{0} \leqslant \widetilde{C} C \frac{Q^{\tau}}{\varepsilon}|F|_{0},
\]

и, выбирая $Q>1 / \varepsilon, \sigma=\tau+1$, отсюда, следовательно, полутаем
\[
S^{*} \leqslant C C Q^{\tau+1}|F|_{0}=C C Q^{\sigma}|F|_{0}
\]

п, аналогичным образом,
\[
S^{*^{2}}=\left|S\left(S\left(\Phi_{M, Q}(F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))\right)\right)\right| \leqslant \widetilde{C} C Q^{2 \sigma}|F|_{0} .
\]

Можно также показать, что функция $K(x)$, обладающая упомянутыми свойствами, действительно существует (см. [26]).

Теперь мы переходим к рассмотрению итерационной процедуры в процессе приведения отображения к линейному виду отображения кручения Мозера.
Лемма. Рассмотрим отображение
\[
T\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}+g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \\
y_{k}^{*}=y_{k}+x_{k}+f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\end{array}\right.
\]

при $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M_{n-1}$, удовлетворяющее уже упомянутым выше условиям
\[
|f|_{1}+|g|_{1}<\delta_{0}, \quad\left|D^{m} f_{k}\right|+\left|D^{m} g_{k}\right|<C_{0}
\]
и такое. что каждая заикнутая ограниченная регулярная повер $x$ ность, близкая поверхности $x_{k}=$ const $(k=1, \ldots, N)$, и ее обра имеют хотя бы одну общую точку. Тогда для достаточно мальтх $\delta_{0}$ сущестеует преобразование
\[
x_{k}=\xi_{k}+u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \quad y_{k}=\eta_{k}+v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})
\]
$n p u$
\[
\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<\frac{1}{U_{n}-1}-\frac{1}{i M}>\frac{1}{M},
\]

такое, что
\[
\left|v_{k}\right|_{1}+\left|u_{k}\right|_{1}<\frac{1}{Q},
\]

а отображение $T$ приводитсл $\ltimes$ виду
\[
\xi_{k}^{*}=\xi_{k}+\varphi_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \quad \boldsymbol{r}_{k}^{*}=\eta_{k}+\xi_{k}+\psi_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}),
\]

где
\[
\left|\varphi_{k}\right|_{0} \div\left|\psi_{k}\right|_{0}<\delta=\delta_{n-1}^{q}
\]

при $\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / Q$, и, более того,
\[
\left|D_{\eta}^{p} D Q \varphi_{k}\right|+\left|D_{\eta}^{p} D_{\xi}^{q} M \Psi_{k}\right|<Q^{p_{1}+\ldots+p_{N}+1} M^{q_{1}+\ldots+q_{N}+1}
\]
$n$ ри $p_{1}+\ldots+p_{N}+q_{1}+\ldots+q_{N}=m$.
Действительно, пз выписанных выше соотношений следует
\[
\begin{array}{r}
\xi_{k}+\varphi_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+u_{k}\left(\xi^{*}, \boldsymbol{\eta}^{*}\right)=\xi_{k}+u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+g_{k}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{u}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{v}), \\
\boldsymbol{\eta}_{k}+\xi_{k} \div \psi_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+v_{k}\left(\xi^{*}, \boldsymbol{\eta}^{*}\right)=\boldsymbol{\eta}_{k}+v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+\xi_{k}+u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+ \\
+f_{k}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{u}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{v})
\end{array}
\]

или
\[
\begin{aligned}
\varphi_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+u_{k}\left(\boldsymbol{\xi}^{*}, \boldsymbol{\eta}^{*}\right) & =u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+g_{k}[\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{v}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})] \\
\psi_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+v_{k}\left(\boldsymbol{\xi}^{*}, \boldsymbol{\eta}^{*}\right) & =v_{k}(\boldsymbol{\xi} \cdot \boldsymbol{\eta})+u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+f_{k}[\boldsymbol{\xi}+ \\
& +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{v}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})]
\end{aligned}
\]

Теперь линеаризуем уравнения, которые получаются из соотношений $\varphi_{k}=\psi_{k}=0$ при условии, что величины $f_{k}, g_{k}, u_{k}, v_{k}$ и $\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|$ имеют одинаковый порядок малости, т. е. являются величинами порядка $O(\mu)$. Будем пренебрегать членами порядка, равного или большего, чем $O\left(\mu^{2}\right)$. В результате находим
\[
\begin{aligned}
v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\omega})-v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) & =u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+f_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \\
u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\omega})-u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) & =g_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) .
\end{aligned}
\]

Второе из этих уравнений можно решить в соответствии с предыдущей леммой, если только функция $g_{k}(\xi, \eta)$ имеет нулевое среднее относительно $\eta$. В люо́ом случае к функциям $f_{k}$ и $g_{k}$ надо применить операцию сглаживания для того, чтобы восполнить «потерю» необходимого количества производных.
Определим функции $u_{k}, v_{k}$ как решение системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\alpha})-u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=\Phi\left(g_{k}-\bar{g}_{k}\right), \\
v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\alpha})-v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+\Phi\left(f_{k}\right),
\end{array}
\]

где $\bar{v}_{k}=0$, черта означает среднее по отношению к $\eta$, а $\Phi$ – определенный ранее оператор сглаживания.
Усреднение второго из этих уравнений дает
\[
\bar{u}_{k}+\bar{\Phi}\left(f_{k}\right)=0
\]

так что из первого уравнения находим
\[
u_{k}=S\left(\Phi\left(g_{k}\right)\right)+\vec{u}_{k}=S\left(\Phi\left(g_{k}\right)\right)-\bar{\Phi}\left(f_{k}\right),
\]

где оператор $S$ определяется формулой (4.4.22). Из второго уравнения (4.4.43) следует, что
\[
v_{k}=S\left(u_{k}+\Phi\left(f_{k}\right)\right)=S\left(S\left(\Phi\left(g_{k}\right)\right)\right)+S\left(\Phi\left(f_{k}\right)\right) .
\]

Уравнения (4.4.44) и (4.4.45) определяют функции $u_{k}, v_{k}$ в кольце
\[
\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<\frac{1}{M_{n-1}}-\frac{1}{{ }^{M}}=\mu .
\]

Остается проверить только соотношения (4.4.37), (4.4.39) и $(4.4 .40)$.
a) Используя (4.4.33) и (4.4.34) и рассматривая (4.4.20), находим
\[
\left|u_{k}\right|+\left|v_{k}\right| \leqslant C_{1} Q^{2 \sigma}\left(\left|f_{k}\right|_{0}+\left|g_{k}\right|_{0}\right)<C_{1} Q^{2 \sigma} \delta_{n-1}=C_{1} Q^{2 \sigma} M^{-2} \quad \text { (4.4.46) }
\]

и аналогичным образом
\[
\begin{array}{l}
\left|D_{\xi} u_{k}\right|+\left|D_{\mathrm{s}} v_{k}\right| \leqslant C_{2} Q^{2 \sigma} M^{-1}, \\
\left|D_{\eta} u_{h}\right|+\left|D_{\eta} v_{k}\right| \leqslant C_{2} Q^{2 \sigma} M^{-1} .
\end{array}
\]

Так как мы приняли $v>2 \sigma+1$, то $\left|u_{k}\right|+\left|v_{k}\right|<1 / Q M$ п $\left|u_{k}\right|_{1}+\left|v_{k}\right|_{1}<1 / Q$, что и совпадает с доказываемым выражением (4.4.37). Отсюда также следует, что $u_{k}, v_{k}$ определены в кольде
\[
\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<\frac{1}{M_{n-1}}-\frac{1}{M}<\frac{3}{M}
\]

при условии
\[
M_{0}>4^{1 /(1+q)},
\]
и здесь выполнено неравенство (4.4.46). По теореме о неявной функции образ области $\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<3 / M$ при отображении (4.4.36) будет покрывать по крайней мере кольцо $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<2 / M$, и, следовательно, обратное преобразование определено (и притом едивственным образом) в кольце $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<2 / M$, и в нем оно будет непрерывно дифференцируемым при достаточно большом $M \geqslant M_{0}$. Отсюда следует, что отображение (4.4.38) определено и дифференцируемо в кольце $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M$, так как преобразование (4.4.36) переводит эту область в
\[
\left|x_{k}-\alpha_{k}\right| \leqslant\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|+\left|u_{k}\right|<\frac{1}{M}+\frac{1}{Q M},
\]

а отображение (4.4.35) – в
\[
\left|x_{k}^{*}-\alpha_{k}\right|<\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|+\delta_{n+1}<\frac{1}{M}+\frac{1}{Q M}+\frac{1}{M^{2}}<\frac{2}{M},
\]

где отображение (4.4.38) определено единственным образом.
б) Оценка величин $\left|\varphi_{k}\right|,\left|\psi_{k}\right|$ в области $\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M$ нуждается в предположении, что каждая замкнутая поверхнөсть, близкая к инвариантному многообразию $x_{k}=$ const $(k=1, \ldots, N)$, т. е. $к \quad \xi_{k}=\xi_{k}^{0}$, имеет образ
\[
\xi_{k}^{*}=\xi_{k}^{0}+\varphi_{k}\left(\xi^{0}, \eta\right)
\]

который пересекается с $\xi_{k}=\xi_{k}^{0}$ и, следовательно, это эквивалентно предположению о существовании хотя бы одного нуля функции $\left[\varphi_{k}\left(\xi^{0}, \eta\right)\right]$ относительно $\eta$. Следовательно,
\[
\sup _{\boldsymbol{\eta}}\left|\varphi_{k}\left(\xi^{0}, \boldsymbol{\eta}\right)\right| \leqslant \operatorname{aмплитуда~}_{\boldsymbol{\eta}} \varphi_{k}\left(\xi^{0}, \boldsymbol{\eta}\right) \leqslant 2 \sup _{\boldsymbol{\eta}}\left|\varphi_{k}\left(\xi^{0}, \boldsymbol{\eta}\right)+z_{k}\left(\xi^{0}\right)\right| \text {, }
\]

где $z_{k}(\xi)$ – соответствующим образом подобранные фунгции от $\xi$. Мы будем брать
\[
z_{k}(\xi)=-\bar{\Phi}\left(g_{k}(\xi, \eta)\right) .
\]

Из (4.4.41) имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left|\varphi_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta})\right|_{0} \leqslant\left|\varphi_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta})-\bar{\Phi}\left(g_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta})\right)\right|_{0}= \\
=\left|u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})-u_{k}\left(\xi *, \boldsymbol{\eta}^{*}\right)+g_{k}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{u}, \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{v})-\bar{\Phi}\left(g_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta})\right)\right|_{0},
\end{array}
\]

а используя (4.4.43), (4.4.47), находим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left|\varphi_{k}(\xi, \eta)\right|_{0} \leqslant C_{2} Q^{2 \sigma+1} M^{-2}\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|+\left|u_{k}\right|_{1}\left(\left.\left|\varphi_{k} \varphi_{0}+\right| \psi_{k}\right|_{0}\right)+ \\
+\left|\Phi\left(g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\right)\right|_{1}\left(\left|u_{k}\right|_{0}+\left|v_{k}\right|_{0}\right)+\left|(I-\Phi)\left(g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\right)\right|_{v_{k}} . \\
\end{array}
\]

где нормы всех членов, зависящих от $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$, определяются при условии, что эти функции определены в кольде
\[
\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<\frac{1}{M_{n-1}}-\frac{1}{M} .
\]

Аналогичным образом, вычитая первое уравнение (4.4.42)из второго уравнения (4.4.41), ваходим
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left|\psi_{k}(\xi, \eta)\right|_{0} & \leqslant C_{2} Q^{2 \sigma+1} M^{-2}\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|+\left|v_{k}\right|_{1}\left(\left|\varphi_{k}\right|_{0}+\left|\psi_{k}\right|_{0}\right)+ \\
& +\left|\Phi\left(f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\right)\right|_{1}\left(\left|u_{k}\right|_{0}+\left|v_{k}\right|_{0}\right)+\left|(I-\Phi)\left(f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\right)\right|_{0} .
\end{aligned}
\]

Складывая эти две последние оценки и рассматривая уже установленные условия
\[
\left|\Phi\left(f_{k}\right)\right|_{1} \leqslant C_{3} M\left|f_{k}\right|_{0}<\frac{C_{3}}{M}, \quad\left|\Phi\left(g_{k}\right)\right|_{1} \leqslant \frac{C_{3}}{M}
\]

вместе с предиоложениями (4.4.21), т. е. с неравенствами
\[
\left|D^{m} Q_{n-1} f_{k}\right|+\left|D^{m} M_{n-1} g_{k}\right| \leqslant Q_{n-1}^{q_{1}+\ldots+q_{N}+1} M_{n-1}^{p_{1}+\ldots+p_{N}},
\]

где $q_{1}+\ldots+q_{N}+p_{1}+\ldots+p_{N}=m$, находим
\[
\left|\varphi_{k}\right|_{0}+\left|\psi_{k}\right|_{0} \leqslant C_{4}\left(Q^{2 \sigma+1} M^{-3}+Q_{n-1}^{1+(1-q) m}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
C_{4} Q^{2 \sigma+1} M^{-3}=C_{4} M^{\frac{2 \sigma+1}{v}-3}<\frac{1}{2} M^{-2 q}
\]

при достаточно больших $M$ п
\[
v>\frac{2 \sigma+1}{3-2 q}=6 \sigma+3 .
\]

Кроме того, так как $m(q-1)>1+2 q^{2} v$, то мы имеем
\[
C_{4} Q_{n-1}^{1+(1-q) m}<\frac{1}{2} M^{-2 q}=\frac{1}{2} Q_{n-1}^{-2 q^{2} v} .
\]

Из (4.4.48) тогда получаем
\[
\left|\varphi_{k}\right|_{0}+\left|\psi_{k}\right|_{0}<M^{-2 q}=\delta,
\]

что и доказывает неравенство (4.4.39).
в) Для доказательства последней части леммы введем величины
\[
\begin{array}{ll}
x_{k}^{\prime}=M x_{k}, & \xi_{k}^{\prime}=M \xi_{k}, \\
y_{k}^{\prime}=Q y_{k}, & \eta_{k}^{\prime}=Q \eta_{k} .
\end{array}
\]

Тогда отображение (4.4.35) можно записать в виде
\[
T^{\prime}\left\{\begin{array}{ll}
x_{k}^{*^{\prime}}=x_{k}^{\prime}+g_{k}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, y^{\prime}\right), & g_{k}^{\prime}=M g_{k}, \\
y_{k}^{*^{\prime}}=y_{k}^{\prime}+\frac{Q}{M} x_{k}^{\prime}+f_{k}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, y^{\prime}\right), & f_{k}^{\prime}=Q f_{k} .
\end{array}\right.
\]

Из (4.4.21) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\left|D_{x^{\prime}}^{\boldsymbol{p}}, D_{\mathbf{y}}^{\boldsymbol{q}}, Q f_{k}\right|+\left|D_{x^{\prime}}^{\boldsymbol{p}}, D_{y}^{\boldsymbol{q}}, M g_{k}\right| \leqslant \\
\leqslant Q_{n-1} \frac{M}{M_{n-1}}\left(\frac{Q_{n-1}}{Q}\right)^{q_{1}+\ldots+q_{N}}\left(\frac{M_{n-1}}{M}\right)^{q_{1}+\ldots+q_{N}} \leqslant \\
\leqslant Q_{n-1} \frac{M}{M_{n-1}}\left(\frac{Q_{n-1}}{Q}\right)^{m}=Q_{n-1}^{1+(1-q)(m-v)} \leqslant 1 . \\
\end{array}
\]

С другой стороны,
\[
\left|Q f_{k}\right|+\left|M g_{k}\right| \leqslant M \delta_{n-1}=\frac{1}{M} \leqslant 1
\]

при $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M_{n-1}$. Следовательно, фунғции $f_{k}^{\prime}$ п $g_{k}^{\prime}$ определены для всех вещественных $y^{\prime}$ и $x^{\prime}$ нз области
\[
\left|x_{k}^{\prime}-M \alpha_{k}\right|<\frac{M}{M_{n-1}}<1,
\]

и они меньше единицы, так же как и их производные до порядка $m$. Из теоремы о среднем, примененной последовательно к каждой из этих производных до этого порядка, следует, что
\[
\left|f_{k}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}\right)\right|_{m}+\left|g_{k}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}\right)\right|_{m}<C_{5},
\]

где константа $C_{5}$ зависит только от $m$. Следовательно, отображевие $T^{\prime}$ из (4.4.49) таково, что справедливо неравенство
\[
\left|x_{k}^{\prime}+g_{k}^{\prime}\right|_{m}+\left|y_{k}^{\prime}+\frac{Q}{M} x_{k}^{\prime}+f_{k}^{\prime}\right|_{m}<C_{6},
\]

которое мы перенишем в виде $\left|T^{\prime}\right|_{m}<C_{6}$.
Для преобразования переменных (4.4.36), записанного в виде
\[
W^{\prime}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=\xi_{k}^{\prime}+u_{k}^{\prime}\left(\xi^{\prime}, \boldsymbol{\eta}^{\prime}\right), \\
y_{k}^{\prime}=\eta_{k}^{\prime}+v_{k}^{\prime}\left(\xi^{\prime} \cdot \boldsymbol{\eta}^{\prime}\right) .
\end{array}\right.
\]

при $p_{1}+\ldots+p_{N}+q_{1}+\ldots+q_{N} \leqslant m+2 \sigma$ мы аналогично находим
\[
\left|u_{k}^{\prime}\right|_{m}+\left|v_{k}^{\prime}\right|_{m}<C_{7} M Q^{2 \sigma} \delta_{n-1}=C_{7} M^{-1} Q^{2 \sigma}<\frac{1}{O}<\frac{1}{4} .
\]
Теперь из теоремы о неявной функции следует существование обратного преобразования, все производные которого до порядка $m$ ограничены константами, не зависящими от $Q$ п $M$ в көльце $\left|x_{k}-\alpha_{k}\right|<2 / M$. Следовательно,
\[
\left|W^{\prime}\right|_{m}<2, \quad\left|W^{\prime-1}\right|_{m}<2
\]

п отображение $W^{\prime-1} T^{\prime} W^{\prime}$ имеет в качестве компонент функции, производные которых до порядка $m$ ограничены константой $C_{8}$, не зависящей от $M$ и $Q$. Следовательно,
\[
\left|D_{\eta}^{p} D{ }_{\xi}^{q} Q \psi_{k}\right|+\left|D_{\eta}^{p} D_{\xi}^{q} M \varphi_{k}\right|<C_{8} Q^{p_{1}+\ldots+p_{N}} M^{q_{1}+\ldots+q_{N}}
\]

при $p_{1}+\ldots+p_{N}+q_{1}+\ldots+q_{N}<m$ в кольце $\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M$ при условии $Q>C_{8}$, что и доказывает неравенство (4.4.40).

Теперь утверждение первой леммы настоящего параграфа сразу же получается из только что доказанной леммы.
Действительно, определим
\[
T^{0}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}+g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \\
y_{k}^{*}=y_{k}+x_{k}+f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\end{array}\right.
\]

при $a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{h}$, а также определим
\[
T^{\infty}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k} . \\
y_{k}^{*}=y_{k}+x_{k} .
\end{array}\right.
\]

Здесь $\left|f_{k}\right|+\left|g_{k}\right|<\delta_{0}$ для $\left|T^{0}-T^{\infty}\right|<\delta_{0}$. Вторая темма устанавливает существование преобразования
\[
W_{1}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}=\xi_{k}+u_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) \\
y_{k}=\eta_{k}+v_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}) .
\end{array}\right.
\]

которое переводит $T^{0}$ в $T^{1}$ при $T^{1}=W_{1}^{-1} T^{0} W_{1}$, откуда формально получаем $\left|T^{1}-T^{\infty}\right|<\delta_{0}^{q}=\delta_{1}$. Повторяя начатую продедуру приведения отображения $T^{0}$, определенную в любом меньшем кольце, находим
\[
T^{n}=W_{n}^{-1} T^{n-1} W_{n} \quad(n=1,2, \ldots),
\]

где $\left|T^{n}-T^{\infty}\right|<\delta_{n-1}^{q}=\delta_{n}$. Если считать $\xi, ~ \eta$ кординатами, отнесенными $і$ отображению $T^{n}$, то оно будет определено в кольце
\[
\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<\frac{1}{M_{n}}=\frac{1}{M_{n-1}^{q}} .
\]

Из второй леммы следует, что преобразование $W_{n}$ координат шага номер $n-1$ в координаты шага номер $n$ удовлетворяет неравенству
\[
\left|W_{n}-I\right|_{1}<\frac{1}{Q_{n}}=\frac{1}{Q_{n-1}^{q}},
\]

где $I$ – тождественное преобразование. Следовательно, на торах $\xi_{k}=\alpha_{k}$ отображение $T^{n}$ сходится к отображению $T^{\infty}$, которое представляет собой «поворот» $\eta_{k}^{*}=\eta_{k}+\alpha_{k}$.

Связь между координатами $\xi, \eta$ отображения $T^{\boldsymbol{n}}$ и координатами $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ отображения $T^{0}$, как следует из (4.4.50), определяется соотношениями
\[
S_{n}=W_{1} W_{2} \ldots W_{n}, \quad T^{n}=S_{n}^{-1} T^{0} S_{n} .
\]

Преобразовавие $S_{n}$ определено в кольце $\left|\xi_{k}-\alpha_{k}\right|<1 / M_{n}$ и отображает его в меньшее кольцо $\left|x_{n}-\alpha_{k}\right|<1 / M_{0}$. Если записать $S_{n}$ в виде
\[
S_{n}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}=\boldsymbol{\xi}_{k}+p_{k}^{n}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \\
y_{k}=\eta_{k}+q_{k}^{n}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}),
\end{array}\right.
\]

то будет достаточно показать, что функции $p_{k}^{n}, q_{k}^{n}$ (и их производные) равномерно сходятся к функциям $p_{k}(\eta)$ и $q_{k}(\eta)$. Если это так, то инвариантное многообразие из теоремы в начале настоящего параграфа (для специального случая $\alpha_{k}=x_{k}$ и $\delta=1$ ) в точности равно
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{k}=\alpha_{k}+p_{k}(\eta) \\
y_{k}=\eta_{k}+q_{k}(\boldsymbol{\eta})
\end{array}\right.
\]

В этом легко убедиться, если сначала заметить, что
\[
\left|p_{k}^{n}\right|+\left|q_{k}^{n}\right|<\sum_{t=1}^{n}\left(\left|u_{t}\right|+\left|v_{i}\right|\right)<\sum_{t=1}^{n} \frac{1}{Q_{t}}
\]

а для достаточно больших $Q_{0}$ последний член может быть сделан меньше $\varepsilon$. Для доказательства сходимости производных от $p_{k}^{n}, q_{k}^{n}$ рассмотрим матрицу Якоби $J_{n}$ преобразования $W_{n}$. Так как
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x_{k}}{\partial \xi_{j}}=\delta_{k, j}+\frac{\partial u_{k}}{\partial \xi_{j}}, & \frac{\partial x_{k}}{\partial \eta_{j}}=\frac{\partial u_{k}}{\partial \eta_{j}}, \\
\frac{\partial y_{k}}{\partial \xi_{j}}=\frac{\partial v_{k}}{\partial \xi_{j}}, & \frac{\partial y_{k}}{\partial \eta_{j}}=\delta_{k, j}+\frac{\partial v_{k}}{\partial \eta_{j}},
\end{array}
\]

то отсюда следует, что
\[
J_{n}-I=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \xi} & \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{\eta}} \\
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial \xi} & \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial \boldsymbol{\eta}}
\end{array}\right)
\]

Максимальная абсолютная величина этой матрицы, т. е. $\left|J_{n}-I\right|$, согласно (4.4.52), при $\left|u_{k}\right|_{1}+\left|v_{k}\right|_{1}<1 / Q$ определяется формулой
\[
\left|J_{n}-I\right|<\frac{1}{Q_{n}} .
\]

Матрица Якоби $G_{n}$ преобразования $S_{n}$ теперь, очевидно, будет равна произведению $n$ матриц $J_{1}, \ldots, J_{n}$, т. е. $G_{n}=J_{1} \ldots J_{n}$.

Также очевидно; что сходимость производных от $p_{k}^{n}, q_{k}^{n}$ әквпвалентна сходимости произведения $G_{n}$. Но матрица $J_{t}$ мажорируется матрицей
\[
I+\frac{1}{Q_{t}} U, \quad U=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & \ldots & \ldots & 1 \\
1 & 1 & \ldots & 1
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, достаточно показать сходимость произведения
\[
\prod_{t=1}^{\infty}\left(I+\frac{1}{Q_{t}} U\right)
\]

Это произведение, будучи коммутативным, меньше (или равно) произведения
\[
\prod_{t=1}^{\infty} \exp \frac{U}{Q_{t}}=\exp \sum_{t=1}^{\infty} \frac{U}{Q_{t}}
\]

которое, очевидно, является сходящимся. Также пмеем
\[
\begin{array}{l}
\left|G_{n}-I\right| \leqslant\left|\prod_{n=t}^{\infty}\left(I+\frac{1}{Q_{t}} U\right)-I\right| \leqslant \\
\leqslant\left|\exp \left(\sum_{t=1}^{\infty} \frac{1}{Q_{t}} U\right)-I\right| \leqslant \exp \frac{C_{9}}{Q_{0}}-1 \leqslant \frac{C_{10}}{Q_{0}} .
\end{array}
\]

Выбором достаточно большого $Q_{0}$ можно сделать $\left|G_{n}-I\right|<\varepsilon$ и, следовательно, $\left|p_{k}\right|_{s}+\left|q_{k}\right|_{s}<\varepsilon$ при $s=1$, как и утверждается в теореме.

Для завершения доказательства теоремы осталось снять ограничение $\boldsymbol{\alpha}_{k}(\boldsymbol{x})=x_{k}$. Для этого достаточно ввести замену переменных и опять доказать, что теорема следует из второй леммы настоящего параграфа. Действительно, пусть отображенпе
\[
T_{\mu}\left\{\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}+G_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \\
y_{k}^{*}=y_{k}+\alpha_{k}(\boldsymbol{x})+F_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\end{array}\right.
\]

определено прп $a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}$. Пусть
\[
\xi_{k}=\alpha_{k}(x), \quad \eta_{k}=y_{k} .
\]

Тогда отображение $T_{\mu}$ принимает вид
\[
T\left\{\begin{array}{l}
\xi_{k}^{*}=\xi_{k}+g_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}), \\
\eta_{k}^{*}=\eta_{k}+\xi_{k}+f_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}),
\end{array}\right.
\]

так как преобразование $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \rightarrow(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})$ однозначно и имеет $m$ ограниченных производных. Кроме того,
\[
\begin{array}{c}
f_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=F_{k}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}), \boldsymbol{\eta}) \\
g_{k}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=\alpha_{k}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{G}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))-\alpha_{k}(\boldsymbol{x})= \\
=\alpha_{\dot{k}}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi})+\boldsymbol{G}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}), \boldsymbol{\eta}))-\alpha_{k}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi})),
\end{array}
\]

п, следовательно, условия (4.4.17) и (4.4.18) удовлетворяются при соответствующем выборе постоянной $C_{0}$. Кольцо, в котором определено отображение $T$, содержится в кольце шириной $C_{0}^{-1}$, т. е. $\alpha_{k}(\boldsymbol{b})-\alpha_{k}(\boldsymbol{a}) \geqslant C_{0}^{-1}$ при $\alpha_{k}(\boldsymbol{a}) \leqslant \xi_{k} \leqslant \alpha_{k}(\boldsymbol{b})$, что следует из (4.4.53).

Доказательство теоремы для $s>1$ проводится аналогичным образом с помощью вывода новых соответствующих соотношений между параметрами $M, Q, \delta, q, s, v, \sigma, m$ (см., например, [26,28]).
Важно отметить следующее.
I) Теорема Мозера эквивалентна (в смысле утверждений теорем) теореме Колмогорова, но не требует аналитичности гамильтониана (в случае аналитичности отображения $T_{\mu}$ ). Требуется только существование производных до некоторого порядка. Это стало возможно в результате применения $k$ соответствующим функциям ошерации сглаживания.
II) Появление малых делителей в рядах типа ехр $\left[i\left(\boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)\right]-1$ контролируется оценками вида (4.4.23). Ћлассические результаты в теории диофантовых приближений показывают, что при всех цельх $j_{k}$ такой оценке не будет удовлетворять только множество значений, мера которого по сравнению с мерой единичного куба $0<\alpha_{k}<1(k=1, \ldots, n)$ равна $O(\varepsilon)$ и стремится к нулю вместе с $\varepsilon$. Возможные малые значения таких знаменателей компенсируются тем, что сходимость приближений к отображению $T^{\infty}$ имеет такую же скорость, что и у последовательности $\delta_{0}^{q^{n}}$.
III) Условие невырожденности, фигурирующее в теореме Мозера, как уже упоминалось выше, совпадает с условием Арнольда п является менее жестким, чем условие Колмогорова ${ }^{1}$ ).
Действительно, так как
\[
\alpha_{k}=2 \pi \omega_{k}=2 \pi \frac{\Omega_{k}}{\Omega_{n}}, \quad \Omega_{n}
eq 0,
\]

то условие (4.4.16) можно перешисать в виде
\[
\left|\sum_{k=1}^{N} j_{k} \Omega_{k}\right| \geqslant \varepsilon^{\prime}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|j_{k}\right|\right)^{-n+1 / 2},
\]

что является обобщенным условием иррациональности Зигеля. Условие
\[
\operatorname{det}\left(\frac{\partial \alpha_{k}}{\partial x_{j}}\right)
eq 0
\]

после использования определения
\[
\alpha_{k}=2 \pi \frac{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}}}{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{n}}}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, h\right)\right)
\]

п соотношений
\[
\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{j}}=-\frac{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{j}}}{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{n}}}
\]

приводит к обобщению условия (4.3.11), т. е.
\[
\left|\begin{array}{ccccc}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1} \partial x_{n}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{2}^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{2} \partial x_{n}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}} \\
\cdots \cdots & \cdots \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{n} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{n}^{2}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{n}} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{n}} & 0
\end{array}\right|
eq 0 .
\]
1) См. примечание в конце параграфа (прим. перев.).

Также очевидно, что если $\Omega_{k}
eq 0 \quad(k=1, \ldots, n)$ п если обытно условие невырожденности, фигурирующее в теореме Колмогорова, выполнено, то и (4.4.54) выполнено ${ }^{1}$ ). Обратное не всегда верно.