Рассмотрим неособенное, принадлежащее классу $C^{2}$, преобразование
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, t), \quad \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, t),
\]

и пусть в частном случае ${ }^{1}$ )
\[
\left|\frac{\partial y}{\partial \eta}\right|
eq 0, \quad\left\|\eta-\eta_{0}\right\|<\delta,
\]
т. е. локально можно разрешить первую систему уравнений относительно $\eta$ и получить
\[
\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t)
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t) .
\]

Если существует функция $S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{t})$, такая, что
\[
\left|\frac{\partial^{2} S}{\partial y \partial \xi}\right|
eq 0
\]

и $S \in C^{2}$, то преобразование, определяемое формулами
\[
\boldsymbol{x}=S_{y}^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\eta}=S_{\mathrm{\xi}}^{\mathrm{T}},
\]

является каноническим, а новая функция Гамильтона имеет внд
\[
K(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, t)=H(\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, t), \boldsymbol{x}(\boldsymbol{\eta}, \xi, t), t)+\frac{\partial S}{\partial t}(\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, t), \boldsymbol{\xi}, t) .
\]

Действительно, подставляя в (1.2.15) дифференциальное тождество
\[
\xi^{\mathrm{T}} d \eta=d\left(\xi^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}\right)-\eta^{\mathrm{T}} d \xi,
\]
1) Такое каноническое преобразование называется свободным (прим. nерев.).

получим
\[
\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{y}+\boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{\xi}+(K-H) d t=d\left(F+\xi^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}\right) .
\]

Если положить
\[
S=F+\xi^{\mathrm{T}} \eta=S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi} ; t),
\]

то из
\[
d S=\frac{\partial S}{\partial y} d y+\frac{\partial S}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial S}{\partial t} d t
\]

и из (1.3.3) находим
\[
\begin{array}{c}
x^{\mathrm{T}}=\frac{\partial S}{\partial y}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t), \quad \boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}=\frac{\partial S}{\partial \xi}=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t), \\
K=H+S_{i} .
\end{array}
\]

Для того чтобы записать преобразование в явном виде, потребуем, чтобы
\[
\left|\frac{\partial^{2} S}{\partial y \partial \xi}\right|
eq 0 .
\]

В этом случае получаем
\[
\xi=\xi(y, x, t),
\]

п, следовательно,
\[
\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})
\]

при выполнении очевидного условия $|\partial \eta / \partial y|
eq 0$. Так как предполагалось, что $S \in C^{2}$, то отсюда $|\partial y / \partial \eta|
eq 0$, и, следовательно, используя (1.3.2), возвращаемся к (1.3.1).

Для наших целей весьма важным результатом является последнее из уравнений (1.3.4), которое мы перепишем явным образом так:
\[
K(\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t), \xi, t)=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}(y, \xi, t), t)+\frac{\partial S}{\partial t}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t) .
\]

Если преобразование не зависит от времени явно, т. е. $S_{t}
eq 0$, то новый гамильтониан является просто образом старого гамильтониана при отображении $z \rightarrow \zeta$.

Основная проблема Гамильтона-Якоби заключается в вопросе о существовании преобразования, генерируемого функцией $S$ и такого, что новый гамильтониан сводится к некоторой абсолютной константе или, что эквивалентно, к функции, тождественно
равной нулю. Другими словами, мы ищем рашение такого дифференциального уравнения в частных производных:
\[
H\left(y, S_{y}, t\right)+S_{t}=0,
\]

где $S=S(y, \xi, t)$. Как хорошо известно, Якоби показал, что общее решение этого уравнения находить не нужно, а надо только найти его полный интеграл, т. е. функцию $S(y, \xi, t)$, зависящую от $n$ произвольных постоянных $\xi$ п такую, что $|\partial S / \partial \xi|
eq 0$. В этом случае новые переменные $\eta$, $\xi$ являются константами, п соотношения
\[
\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}), \quad \xi=\xi(y, x, t),
\]

которые получаются из (1.3.4), соответствуют $2 n$ интегралам движения. Ясно, что если исходная гамильтонова система интегрируема в смысле существования и единственности решения уравнений
\[
\dot{z}=M H_{z}^{\mathrm{T}},
\]

то производящая функция $S(y, \xi, t)$ должна существовать (при этом она может и не выражаться через элементарные функции). Действительно, так как решение определяет каноническое отображение $z=z(\xi, t)$, где $\zeta$ – вектор начальных условий, и так как для $t=t_{0} \partial y / \partial \eta=I$ (единичная матрица), то при достаточво малых $\left|t-t_{0}\right|$ имеем $|\partial y / \partial \eta|
eq 0$, и, следовательно,
\[
S=\xi^{\mathrm{r}} \boldsymbol{y}+\left(t-t_{0}\right) F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t)
\]

при достаточно малых $\left|t-t_{0}\right|$ в полном соответствии с соотношением (1.1.19).

Проблему Гамильтона-Якоби можно обобщить, ослабив условие того, что новый гамильтониан должен быть абсолютной константой. С точки зрения методов канонической теории возмущений эту обобщенную проблему уместно ‘рассмотреть более подробно.

Мы хотим узнать, существует ли каноническое преобразование, генерируемое функцией $S(y, \xi, t)$, такое, что новый гамильтониан соответствует системе с меньшим числом степеней свободы, чем число степеней свободы системы, которой соответствует старый гамильтониан.

Один из способов решения этого вопроса состоит в приведении гамильтониана к виду
\[
K(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, t)=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, t)+S_{t}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\xi}, t),
\]

для которого
\[
\partial K / \partial \eta_{k}=0
\]

при $k=1,2, \ldots, p \leqslant n$. Получившаяся система, очевидно, сводится к квадратурам, если $p=n$ или $p=n-1^{1}$ ). Это-самое меньшее, что надо потребовать от преобразования, но такое требование намного менее жесткое, чем предлагаемое в методе Якоби. Можно также потребовать, чтобы новый гамильтониан не содержал явно времени. Такая пғоцедура в общем случае называется методом усреднения (см. [9]) и она обычно используется, если $H$ является периодической функцией времени $t$. Можно также легко обобщить это понятие на случай условно-периодических функций времени. Если $H$ зависит от некоторого малого параметра $\varepsilon$ и допускает тейлоровское разложение вблизи $\varepsilon=0$, то можно показать, что существуют формальные ряды относительно $\varepsilon$, которые дают решение для $S$ до любой желаемой степени параметра $\varepsilon$. Свойства сходимости таких рядов в общем случае неизвестны. Задача существования таких рядов и их сходимости, строго говоря, относится к теории периодических поверхностей (см. [19], [20]) и к теории Мозера [55] инвариантных кривых при сохраняющих площадь отображениях. Последний из упомянутых вопросов будет подробно рассмотрен в главе IV настоящей книги. Качественное описание этих проблем можно найти в работе Кинера [42], посвяценной исследованию движения спутника в гравитационном поле сжатой планеты. Теория Дилиберто в настоящей книге подробно не рассматривается. Этот подход на самом деле имеет отношение к изучаемым здесь вопросам, но его описание можно найти во многих книгах (см., например, [19], [33]).

Новый подход к изучению канонических преобразований был предложен в теории Ли [45]. В задачах динамики ряды Ли были использованы в различных случаях, и их хорошее описание, как основы исследования, можно найти в работе Јейманиса [44]. Совсем недавно эти ряды были введены в методы теории возмущений для нелинейных гамильтоновых систем, а затем также распространены на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих некоторым незначительным ограничениям, причем эти уравнения не обязательно должны иметь гамильтонову форму. Такие примеры применения рядов Ли будут обсуждены в главах II и V. Здесь мы только хотим описать то, что необходимо для понимания такого применения. Мотивом для введения рядов Ли служит такой простой факт, что если данная система зависит от некоторого параметра, то обычно бывает известно ее решение при нулевом значении этого параметра. Затем строится решение в влде ряда по степеням параметра, или в случае автономной системы решение может быть получено
1) По-видимому, для случая $p=n-1$ автор предполағает, что функция $K$ не зависит от времени (прим. перев.).

с помощью канонических преобразований, которые аналогичным образом выражаются через степенные ряды по параметру. Вообще говоря, о сходимости этих рядов известно очень мало, однако во многих прикладных задачах они оказываются неоценимо важными. В таких задачах сходимость проверяется с помощью точного численного интегрирования или с помощью наблюдений системы. Здесь, по-видимому, будет уместно повторить некоторые слова профессора Зигеля [64] о нормализации функций Гамильтона: «Возможно, что из-за наличия малых знаменателей в коэффициентах преобразования ряды в общем случае будут расходиться, однако до сих пор ни одного примера такого рода не найдено. Из хорошо известной теоремы Пуанкаре об аналитических интегралах канонических дифференциальных уравнений мы можем только заключить, что эти ряды не являются всегда сходящимися…, тогда как эта теорема не может быть применена к фиксированной функции $H$ ». Позднее о некоторой специальной проблеме он сказал: «В частности, интересно решить, является ли функция $H$ регулярной или сингулярной (т. е. приводится ли она к нормальной форме сходящимися рядами) в этом специальном случае…, однако, по-видимсму, этот вопрос не поддается решению известными методами анализа». Мозер [54] исследовал аналогичные вопросы, но, в сушности, не смог доказать ни одной новой теоремы о степени частоты встречающихся случаев регулярных гамильтонианов, а только повторил результаты Зигеля (см. [65] и § 6 г.л. IV).