В этом параграфе мы кратко опипем постановку задачі о двпжении в окрестности положения равновесия, ее решение с помощью формальных рядов и подход к полному решению, который необходим в случае, когда частоты нормальных колебаний линейно независимы на множестве целых чисел (глава III, § 4).
1) О структурной устойчивости см. [50*] (прим. перев.).

Пусть гамильтониан $H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$ аналитичен в некоторой области $D$ фазового пространства, и соответствующие уравнения движения имеют вид
\[
\dot{y}=H_{x}^{\mathrm{T}}, \quad \dot{x}=-H_{y}^{\mathrm{T}},
\]

где $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ – векторы размерности $n$. Допустим также существование такого изолированного стационарного решения $x^{0}, y^{0}$ в $D$, т. е.
\[
H_{x^{0}}=H_{y^{0}}=0,
\]

для которого матрица $\partial^{2} H / \partial y \partial x$ не является особенной при $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{0}$.Отсюда, разумеется, следует, что такая точка является максимумом или минимумом для функции $H$, т. е. квадратичная часть тейлоровского разложения функции $H$ в окрестности этой точки может быть приведева $к$ нормальной форме или, тто то же самое, соответствующие уравнения отвечают $n$ независимым осцилляторам ${ }^{1}$ ). Мы будем считать, что точка ( $x^{0}, y^{0}$ ) является точкой минимума, так что вышеупомянутую редукцию можно осуществить с помощью вещественного преобразования. В соответствии с этим, если дано $\delta>0$, то можно найтп такое $\varepsilon>0$, что при
\[
\left|x_{0}-x^{0}\right|<\varepsilon, \quad\left|y_{0}-y^{0}\right|<\varepsilon,
\]

где $\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right) \in D$, для всех моментов времени имеем
\[
\left|x-x^{0}\right|<\delta, \quad\left|y-y^{0}\right|<\delta,
\]

где $x, y$ – решение уравнений (5.2.1), соответствующее начальным условиям $x_{0}, y_{0}$. Следовательно, определим $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{y}-y^{0}$ и $\boldsymbol{p}=$ $=x-x^{0}$, так что можно считать $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ ограниченными для всех моментов времени. Принимая $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$ за новые переменные, раскладывая функцию $H\left(\boldsymbol{y}^{0}+\boldsymbol{q}, \boldsymbol{x}^{0}+\boldsymbol{p}\right)$ в ряд Тейлора п отбрасывая посто-
1) Из невырожденности матрищы $\partial^{2} H / \partial y \partial x$ в положении равновесия в общем случае не следует, что эта точка является магсимумом или минимумом гамильтониана. Это утверждение справедливо только в одномерном случае. Например, в двухчастотной спстеме с гамильтонианом ( $\omega_{1}>\omega_{2}>0$ )
\[
H=\frac{1}{2} \omega_{1}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-\frac{1}{2} \omega_{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)
\]

упомянутая матрица невырождена, а тривиальное положение равновесия является лишь седловой точкой. В действительности замечание автора об экстремальных свойствах гамильтониана ниже никак не используется. а для приводимости системы к виду, отвечающему в линейном приближении независимым осдилляторам, необходимо и достаточно, чтобы матрица $\partial^{2} H / \partial \boldsymbol{y} \partial \boldsymbol{x}$ была невырожденной и чтобы кратным собственным значениям этой матриды соответствовали простые элементарные делители (прим. nерев.).

янную часть, в ситу сделанных предположений получпм
\[
H=H_{2}+H_{3}+\ldots,
\]

где $H_{k}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})$-однородные полиномы степени $k$ относительно компонент векторов $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$. Ряд (5.2.3) является абсолютно сходящимся. В частности, мы имеем
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{q}+\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} B \boldsymbol{p}+\frac{1}{2} \boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} C \boldsymbol{p},
\]

где $A^{\mathrm{r}}=A, C^{\mathrm{r}}=. C$, а, очевидно, $H_{2}$ – по предположению положительно определенная квадратичная форма, приводимая линейным симшлектическим вещественным преобразованием к нормальной форме
\[
H_{2}=\frac{1}{2}\left(\eta^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}+\xi^{\mathrm{T}} D^{2 \xi}\right) .
\]

Здесь $D^{2}=\operatorname{diag}\left(\omega_{1}^{2}, \ldots, \omega_{n}^{2}\right)$, а $\omega_{j}^{2}(j=1, \ldots, n)$ – собственные числа задачи ${ }^{1}$ ). Якобиан $|J|$ линейного преобразования $(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \rightarrow(\boldsymbol{\eta}, \xi)$, т. е.
\[
J=\frac{\partial(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})}{\partial(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi})},
\]

соответствует постоянной, вещественной и симплектической матрице [73]. Соотношение (5.2.5) можно переписать в виде
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\eta_{k}^{2}+\omega_{k}^{2} \xi_{k}\right)
\]

так что функции Гамильтона $H_{2}$ соответствует $n$ независимых гармонических осдилляторов, описывающих ограниченное движение вблизи положения равновесия, когда амплитуда колебаний стремится к нулю. Применяя преобразование $(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \rightarrow(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi})$ ко всему гамильтониану, находим
\[
H=\frac{1}{2}\left(\eta^{\mathrm{T}} \eta+\xi^{\mathrm{T}} D^{2 \xi}\right)+H_{3}+H_{4}+\ldots,
\]

где $H_{h}$ – однородные полиномы степени $k$ относительно компонент векторов $\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}$.
1) Все выкладки этого и следующего параграфа годятся не только для случая определенно положительной функции $H_{2}$. Достаточно только потребовать устойчивости в линейном пркближении. Точнее (если не рассматривать случай простых әлементарных делителей при равных частотах $\omega_{j}$ ) в $(5.2 .9)$ и ниже числа $\omega_{j}$ не обязательно считать положительными, а лишь не равными друг другу или нулю (прим. перев.).

Уравнения движения можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{\eta}=H_{\xi}^{\mathrm{T}}=D^{2} \xi+\Phi(\xi, \eta) \\
\dot{\xi}=-H_{\eta}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})
\end{array}
\]

где $\Phi$ и $\boldsymbol{\Psi}$ – ряды из однородных полиномов относительно компонент векторов $\boldsymbol{\eta}, \xi$, минимальная стецень которых равна двум. Также ясно, что если записать $H=H_{2}+H_{3}+H_{4}+\ldots$, то для всех $t$ каждый полином $H_{k}$ ограничен величиной порядка $O\left(\delta^{k}\right)$. Аналогичное утверждение верно и для рядов $\Phi$ и $\Psi$ и, очевидно, уравнения (5.2.6) имеют единственное решение в области $D$.
Введем теперь каноническое преобразование
\[
\begin{aligned}
x_{k} & =\frac{1}{2 \omega_{k}}\left(\eta_{k}^{2}+\omega_{k}^{2} \xi_{k}^{2}\right), \\
\operatorname{tg} y_{k} & =\frac{1}{\omega_{k}} \frac{\eta_{k}}{\xi_{k}}, \quad \omega_{k}>0
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\xi_{k}=\sqrt{\frac{2 x_{k}}{\omega_{k}}} \cos y_{k}, \\
\eta_{k}=\sqrt{2 x_{k} \omega_{k}} \sin y_{k} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что так как $\mid \eta_{h i}$, $\left|\xi_{k}\right|$ ограничены некоторой величиной порядка $O(\delta)$, а все $\omega_{k}(k=1, \ldots, n)$ положительны и конечны, то $\left|x_{k}\right|$ будут огранщчены величиной порядка $O\left(\delta^{2}\right)$, a $\left.\left|y_{k}\right|<\pi / 2^{1}\right)$. Следовательно, значение $y_{k}$ полностью определяется из (5.2.7) значением тангенса.

После применения выписанного выше преобразования гамильтониан принимает вид (см. [75])
\[
H=\omega_{1} x_{1}+\ldots+\omega_{n} x_{n}+H_{3}+H_{4}+\ldots,
\]

где $H_{k}$ имеют конечное число членов, соответствующих тригонометрическому полиному максимальной степени $k$ относительно $y$, т. е.
\[
H_{k}=\sum_{m} \sum_{v} A_{k}^{m, v} x_{1}^{m_{1}} \ldots x_{n}^{m_{n}} \exp \left[i\left(v_{1} y_{1}+\ldots+v_{n} y_{n}\right)\right],
\]
1) В действительности из (5.2.8) видно, что необходимо считать $-\pi<y_{k} \leqslant \pi$ (прим. перев.).

где
\[
\begin{array}{c}
m_{1}+\ldots+m_{n}=\frac{1}{2} k, \\
\left|v_{j}\right| \leqslant 2 m_{j}, \quad\left|v_{1}\right|+\ldots+\left|v_{n}\right| \leqslant k .
\end{array}
\]

Соотношения (5.2.11) называются характеристиками Даламбера функции $H_{k}$ (или $\left.H\right)^{1}$ ). Все $m_{k}$ – положительные полуцелые числа, а все $v_{k}$ – целые числа. Так как $x_{k}=O\left(\delta^{2}\right)$, то $H_{k}=O\left(\delta^{k}\right)$, $k=3,4, \ldots$ Интегрирование системы уравнений, определяемой гамильтонианом (5.2.9), теперь сводится к нахождению возмущений решения
\[
x_{k}=x_{k}^{0}=\mathrm{const}, \quad y_{k}=\omega_{k} t+y_{k}^{0},
\]

соответствующего гамильтониану $H=H_{2}=\omega_{1} x_{1}+\ldots+\omega_{n} x_{n}$.
Действительно, соотношения (5.2.12) описывают бесконечно малые колебания в окрестности устойчивого положения равновесия $\left(x^{0}, y^{0}\right)$, которое в новых переменных соответствует точке $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}=0$.

С самого начала ясно, что гамильтониан $H$ является вырожденным, в том смысле, что матрица $\left\{\partial^{2} H_{2} / \partial x_{i} \partial x_{j}\right\}$-особенная. $\mathrm{C}$ другой стороны, функция $H_{3}$ не может содержать секулярных членов (членов, не зависящих от переменных $y_{j}$ ), так как она является нечетной функцией вектора $\boldsymbol{y}$ и имеет период $2 \pi$ по каждой компоненте этого вектора. Также очень важно напомнить, что каждая функция $H_{k}$ состоит из конечного числа членов (при конечном $k$ ). Число таких членов увеличивается с увеличением $k$ в соответствии с условиями (5.2.11).

Форма $\mathrm{H}_{2}$ такова, что никакая теорема, обсуждаемая в тлаве III книги, к ней неприменима. Тем не менее мы можем показать, что в любом случае существуют формальные ряды, нормализующие функцию $H$, т. е. приводящие ее к виду $H=K(\boldsymbol{X}, 0)$, где все угловые переменные отсутствуют. В действительности будет показано, что существует преобразование, определяемое конечным числом тригонометрических полиномов такого же вида, что и вид $H$, такое, что вышеушомянутая нормализация может быть достигнута с любой степенью точности, хотя в пределе это и может привести к расходящимся рядам. В различных задачах такая редукция была проведена Депри и др. [30.2, 31.2], где использовались ряды Ли. Здесь мы будем использовать подход типа подхода Цейпеля, который в действительности, как говорилось в главе II, является эквивалентным вышеупомянутому подходу Депри.
1) Подробное описание свойств полиномов и рядов Пуассона, обладающих характеристиками Даламбера, см. в работе [30*] (прим. перев.).