В этой главе мы будем иметь дело с терминологией и хорошо известными утверждениями, которые необходимы для изложения результатов в остальных главах. В задачу этой главы не входит описание гамильтоновых систем и их общих свойств. Такое описание можно найти в различных книгах и монографиях, среди которых мы хотим удомянуть ставшие классическими работы Биркгофа [5], Зигеля [65], Уинтнера [69], Абрахама [1], Мозера [56]. Мы постараемся избежать каких-либо усложнений и не будем давать определения гамильтоновых систем на многообразиях и какие-то существенные представления о них не потому, что это не важно, а потому что это не является необходимым для последующего изложения.

Сначала вспомним ошределения матриц Лагранжа и Пуассона. Они естественным образом возникают в методе вариаций произвольных постоянных. Пусть преобразование $\mathit{y},\mathit{x}\to \mathit{\eta },\mathit{\xi }$ принадлежит классу $C^2$ и является обратимым в некоторой облаети $2n$-мерного простравства. Векторы $y,x$, так же как и векторы $\eta ,\xi$, имеют размерность $n$. Пусть тажже $\mathit{z}=\mathrm{col}(\mathit{y},\mathit{x})$ и $\xi =$ $\stackrel{=}{=}\mathrm{col}(\eta ,\xi {)}^1)-2n$-мерные векторы. Матрица Лагранжа $\mathcal{L}(\zeta )$ определяется как матрица
$$\mathcal{L}(\zeta )=J^{\mathrm{T}}MJ,$$

где $M$ — единичная симплектическая (т. е. каноническая) матрица размерности $2n\times 2n$, имеющая вид
$$M=\left(\begin{array}{ll}0& I\\ -I& O\end{array}\right),$$
a $J$ — матрица Якоби преобразования $z\to \zeta$, такая, что
$$J=\partial z/\partial \zeta .$$
1) col (y. $\mathit{x})$ — вектор-столбец (прим. перев.).

Легко проверить, что
$$\mathcal{L}(\xi )={\left(\frac{\partial \mathit{y}}{\partial \mathit{\xi }}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\frac{\partial \mathit{x}}{\partial \mathit{\zeta }}\right)-{\left(\frac{\partial \mathit{x}}{\partial \mathit{\xi }}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\frac{\partial \mathit{y}}{\partial \mathit{\zeta }}\right),$$

и, следовательно,
$${\mathcal{L}}_{ij}(\zeta )=[{\zeta }_i,{\zeta }_j]=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial y_k}{\partial {\zeta }_i}\frac{\partial x_k}{\partial {\zeta }_j}-\frac{\partial x_k}{\partial {\zeta }_i}\frac{\partial y_k}{\partial {\zeta }_j}).$$

Очевидны следующие свойства матрицы Лагранжа:
$$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}^{\mathrm{T}}=J^{\mathrm{T}}{M}^{\mathrm{r}}J=-J^{\mathrm{r}}MJ=-\mathcal{L},\\ |\mathcal{L}|=|J{|}^2,\end{array}$$
$(|A|=\det A$ для любой квадратной матрицы $A$ ).
Матрица Пуассона $P(\mathit{z})$ определяется формулой
$$P(z)=JM{J}^{\mathrm{T}},$$

п легко проверить, что
$$\dot{P}(z)=\left(\frac{\partial z}{\partial \mathit{\eta }}\right){\left(\frac{\partial z}{\partial \xi }\right)}^T-{\left(\frac{\partial z}{\partial \xi }\right)}^T\left(\frac{\partial z}{\partial \eta }\right),$$

так что
$$P_{ij}(z)=(z_i,z_j)=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial z_i}{\partial {\eta }_k}\frac{\partial z_j}{\partial {\xi }_k}-\frac{\partial z_i}{\partial {\xi }_k}\frac{\partial z_j}{\partial {\eta }_k}).$$

Легко установить свойства матрицы Пуассона:
$$\begin{array}{c}{P}^{\mathrm{T}}=-P\\ |P|={\left|J^{-1}\right|}^2=1/|J{|}^2\\ {\mathcal{L}}^{-1}(\zeta )=J^{-1}{M}^{-1}{\left(J^T\right)}^{-1}=J^{-1}M{\left(J^{-1}\right)}^T=-P(\zeta ).\end{array}$$

Выражения (1.1.4) и (1.1.7) называются скобками Лагранжа и скобками Пуассона соответственно.

Если рассмотреть систему $n$ обыкновенных дифферециальных уравнений второго порядка
$$\ddot{y}=f(y,\dot{y},t)$$

и ее решение
$$\mathit{y}=y^0(t,\alpha ,\beta ),\dot{y}=x^0(t,\alpha ,\beta )=\frac{\partial y^0}{\partial t},$$

соответствующее начальным условиям
$$y^0(0,\mathit{\alpha },\mathit{\beta })={\mathit{y}}_0,x^0(0,\mathit{\alpha },\mathit{\beta })={\dot{y}}_0,$$

то легко проверить, что
$$\frac{\partial x^0}{\partial t}=f(y,\dot{y},t).$$

Для возмущенной спстемы (1.1.8) имеем выражение
$$\ddot{y}=f(y,\dot{y},t)+g(y,\dot{y},t)$$

и положим, тто ее решение имеет вид (1.1.9), где, разумеется, $\alpha$ и $\beta$ теперь зависят от времени. Отсюда следует, что
$$\frac{dy}{dt}=\frac{\partial {\mathit{y}}^0}{\partial t}+\frac{\partial {\mathit{y}}^0}{\partial \mathit{\alpha }}\dot{\mathit{\alpha }}+\frac{\partial {\mathit{y}}^0}{\partial \mathit{\beta }}\dot{\mathit{\beta }}={\mathit{x}}^0(t,\mathit{\alpha },\mathit{\beta }),$$
т. e.
$$\frac{\partial y^0}{\partial \mathit{\alpha }}\dot{\alpha }+\frac{\partial {\mathit{y}}^0}{\partial \mathit{\beta }}\dot{\mathit{\beta }}=0,$$

тде $\alpha ,\beta$ — векторы размерности $n$. Далее пмеем
$$\frac{d\dot{\mathit{y}}}{dt}=\frac{\partial x^0}{\partial t}+\frac{\partial x^0}{\partial \mathit{\alpha }}\dot{\mathit{\alpha }}+\frac{\partial {\mathit{x}}^0}{\partial \mathit{\beta }}\dot{\mathit{\beta }}=\mathit{f}(\mathit{y},\dot{\mathit{y}},t)+\mathit{g}(\mathit{y},\dot{\mathit{y}},t),$$

и, следовательно,

Система $2n$ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.1.12) и (1.1.13) образует систему уравнений Лагранжа для вариаций произвольных постоянных. Эти уравнения можно записать в виде одной слстемы, используя, например, матрицу Лагранжа $\mathcal{L}(\mathit{\gamma })$, где $\mathit{\gamma }=\mathrm{col}(\mathit{\alpha },\mathit{\beta })$. Тогда получим
$$\mathcal{L}(\gamma )\cdot \dot{\gamma }={\left(\frac{\partial x^0}{\partial \gamma }\right)}^{\mathrm{T}}\mathit{g}({\mathit{y}}^0(t,\gamma ),x^0(t,\gamma ),t)$$

Ясно, что из уравнений (1.1.14) можно найти $\mathit{\gamma }$ при выполнении обычного условия
$$|\mathcal{L}(\gamma )|eq0,$$

означающего, что выполнено неравенство
$$\left|\frac{\partial ({\mathit{y}}^0,{\mathit{x}}^{(1)}}{\partial (\mathit{\alpha },\mathit{\beta })}\right|=t0.$$

которое будет удовлетворено, если считать ${\mathit{y}}^0,{\mathit{x}}^0$ общим решением уравнений (1.1.8) с произвольными начальными условиями ${\mathit{y}}_0$, ${\mathit{x}}_0$ или с постоянными интегрирования $\alpha ,\beta$. Более того, мы потребуем, чтобы матрица
$$P(\gamma ){\left(\frac{\partial y^0}{\partial \gamma }\right)}^{\mathrm{r}}g(y^0,x^0,t)$$

удовлетворяла условиям Лишшица в некоторой области $\mathit{\gamma }$-пространства. Строго говоря, все вышеперечисленные утверждения носят локальный характер, однако, и это становится важным при рассмотрении каких-нибудь при.ожений, эти утверждения можно распространить на некоторую область изменения переменных. Аналогичным образом функции, которые мы будем рассматривать, считаются непрерывно дифференцируемыми по $t$, вообще говоря, при всех вещественных $\dot{i}$.

Матрицы Јагранжа и Пуассона удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающей некоторыми замечательными свойстваии. Действительно, рассмотрим систему $2n$ дифференциальных уравнений
$$\dot{z}=\phi (z,t)$$

и ее решение $\mathit{z}(\gamma ,t)\in C^2$, зависящее от $2n$ пастоянных интегрировавия $\gamma$ и времени $t$, в некоторой области $\gamma$-пространства для всех $|t|<T$. Пусть $J=\partial z^{\prime }\partial \gamma$ — неособенная матрица Якоби преобразования $\mathit{\gamma }\to \mathit{z}$,которая по предположению также есть матрица класса $C^2$. Тогда получим
$$\dot{J}=\frac{d}{dt}\frac{\partial z}{\partial \gamma }=\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial z}{\partial \gamma }(\gamma ,t)=\frac{\partial }{\partial \gamma }\dot{z}(\gamma ,t)=\frac{\partial }{\partial \gamma }\phi (z(\gamma ,t),t)=\frac{\partial \phi }{\partial z}J$$

или
$$\dot{J}=GJ$$

где $G=\partial \phi /\partial z$ — неособенная матрица размерности $2n\times 2n$. Теперь будем считать
$$\mathcal{L}(\mathit{\gamma },t)=J^{\mathrm{\top }}MJ,$$

так что, используя (1.1.15), находим
$$\dot{\mathcal{L}}=J^{\mathrm{r}}(G^{\mathrm{r}}M+MG)J.$$

Лемма. Матрица Лагранжа $\mathcal{L}(\mathit{\gamma },t)$ преобразования $\mathit{\gamma }\to \mathit{z}$ является постоянной тогда и только тогда, когда матрица $MG$ симметрична.

Действительно, пусть матрица $MG$ симметрична, т. е.
$$MG==(MG{)}^{\mathrm{r}}=-G^{\mathrm{r}}M.$$

Тогда $G^{\mathrm{r}}M+MG=0$ и $\dot{\mathcal{L}}=0$. Обратно, пусть $\dot{\mathcal{L}}=0$. При описанных выше предположениях отсюда следует, что
$$G^{\mathrm{x}}M+MG=0$$

или
$$G^{\mathrm{r}}M=-MG=M^{\mathrm{r}}G={\left(G^{\mathrm{r}}M\right)}^{\mathrm{r}},$$

что и завершает доказательство.
— Из (1.1.16) и доказанной леммы следует, что поток гамильтоновой системы сохраняется (теорема Лиув илля).

Действительно, в случае если $H=H(\mathit{z})$ является гамильтонианом, имеем
$$\dot{z}=M{H}_z^{\mathrm{T}},$$

так что
$$G=\frac{\partial }{\partial z}\left(M{H}_z^{\tau }\right)=M{H}_{zz}$$

и матрица $MG=-H_{zz}$, следовательно, симметрическая. Отсюда получаем $\dot{\mathcal{L}}=0$ или
$$\frac{d}{dt}\left(J^{\mathrm{r}}MJ\right)=0,$$
т. е. $J^{\mathrm{r}}MJ=$ const. Пусть $\gamma$-вектор начальных условий ${\mathit{z}}_{\mathbf{0}}$, a $J_0=I$ (единичная матрица), и, следовательно,
$$J^{\mathrm{T}}MJ=M,$$

а также, в частности,
$$|J|=\text{ const }=1,$$

что и доказывает теорему (случай $|J|=-1$ отбрасывается по нетрерывности).

Если $2n$-мерный вектор $z$ состоит из $n$-мерных векторов $\mathit{y}$ и $\mathit{x}$ (координаты и импульсы), то более точно можно записать
$$J=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial y}{\partial y_0}& \frac{\partial y}{\partial x_0}\\ \frac{\partial x}{\partial y_0}& \frac{\partial x}{\partial x_0}\end{array}\right)$$

п прп $t=0$
$$J_0=\left(\begin{array}{cc}{I}_n^{\ast }& O\\ O& I_n\end{array}\right)=I_{2n}$$

Отсюда следует, что отображение $z_0\to z$ можно представить в виде
$$y=y_0+\tilde{Y}(x_0,y_0,t),x=x_0+\tilde{X}(x_0,y_0,t),$$

где $\tilde{\mathit{Y}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0,0)=\tilde{\mathit{X}}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0,0)=0$, так что для достаточно малых $t$ имеем
$$\tilde{\mathit{Y}}(x_0,{\mathit{y}}_0,t)=t\mathit{Y}(x_0,{\mathit{y}}_0,t),\tilde{\mathit{X}}(x_0,{\mathit{y}}_0,t)=t\mathit{X}({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0,t).$$

Эту ситуацию можно также рассмотреть с другой точки зрения. Так как при $t=0$ отображение $z_0\to z$ является тождественным, то существует такая производящая функция
$$S={\mathit{x}}_0^{\mathrm{T}}\mathit{y}+tW({\mathit{x}}_0,\mathit{y},t),$$

что выполняются равенства
$$x={\mathit{S}}_y^{\mathrm{T}}=x_0+t{W}_{y_0}^{\mathrm{T}},y_0=S_{x_0}^{\mathrm{T}}=y+t{W}_{x_0}^{\mathrm{T}},$$

а это эквивалентно соотношениям (1.1.18).