Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Сначала рассмотрим случай, когда $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ линейно независимы на множестве целых чисел, т. е. условие удовлетворяется тогда и только тогда, когда все целые числа $j_{1}, \ldots, j_{n}$ равны нулю. Из этого, в частности, следует, что ви одна из $\omega$ не может быть нулевой или, другими словами, все переменные присутствуют в гамильтониане. Однако это является прямым следствием предположения об устойчивости положения равновесия $\left.{ }^{1}\right)$. Процедуру Цейпеля нельзя применить непосредственно без некоторых предварительных рассуждений и аккуратного определения понятия «порядка члена». Действительно, гамильтониан имеет вид где $H_{p}=O\left(\delta^{p}\right)$, как следствие того, что степень полинома $H_{p}$, выраженного через $x_{1}, \ldots, x_{n}$, равна $p / 2$, а $x_{j}=O\left(\delta^{2}\right)$. Отсюда следует, что дифференцированиє по переменным $x$ понижает порядок члена на две единицы, так что, например, полином имеет порядок $O\left(\delta^{h-2 p}\right)$. Тем не менее в уравнениях, получающихся из обобщенного уравнения Гамильтона – Якоби, мы никогда не будем иметь членов отрицательного порядка по $\delta$. Производящая функция канонического преобразования $(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ выбирается так, чтобы а нормализованный гамильтониан имеет вид На этом этапе все ряды считаются чисто формальными, за исключением ряда (5.3.2), который является равномерно сходящимся. После подстановки (5.3.4) в (5.3.2) и разложения в ряд Тейлора первые несколько приближений будут определяться уравнениями В нерезонансном случае формальное решение вообще не представляет никаких затруднений. Действительно, так как где $\boldsymbol{v}^{p}=\left(v_{1}^{p}, \ldots, v_{n}^{p}\right)$, а $\boldsymbol{A}_{p}^{v^{p}}(\boldsymbol{X})$ – однородные полиномы степени $p / 2$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}$, то отсюда, например, следует тде $F_{3}(\boldsymbol{X}, 0)$ – произвольная функция, зависящая только от $\boldsymbol{X}$. Ее можно положить равной нулю. Это не повлияет на приближения более высоких порядков, так как во всех уравнениях функции $S_{3}, S_{4}, \ldots$ встречаются только в виде своих частных производных по переменным $y$. Уравнения для приближения любого шорядка имеют одинаковый вид и решаются аналогично. Тешерь рассмотрим случай, когда имеется один (и только один) набор целых (несократимых одновременно) чисел $j_{1}, \ldots, j_{n}$, не обращающихся одновременно в нуль и таких, что выполнено условие (5.3.1). В этом случае может оказаться, что некоторые делители, встречающиеся в (5.3.10), равны нулю, т. е. некоторый набор чисел $\left(v_{1}^{3}, \ldots, v_{n}^{3}\right)$ кратен набору $\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right)$. Это обязательно должно случиться лишь с конечным числом членов какого-то приближения, так как функция $H_{p}$ имеет конечное число членов при конечном $p$. Тем не менее ясно, что при увеличении $p$ рассматриваемые знаменатели могут стать сколь угодно малыми. Для рационально независимых чисел $\omega$ сходимости можно добиться введением нижней границы соответствующих резонансных соотношений, как это уже рассматривалось в главах III и IV. Действительно, Уиттекер [75] упоминает пример, в котором ряды при $\left|q_{1}\right|<1,\left|q_{2}\right|<1$ и $\propto$ иррациональном в действительности являются сходящимися. Для рационально зависимых чисел $\omega$ рано или поздно должен появиться нулевой делитель и, следовательно, в том виде, в каком он использовался раньше, описанный способ нормализации применить нельзя. В том случае, когда в функции $H_{3}$ нет таких членов $v_{1}^{3} y_{1}+\ldots$ $\ldots+v_{n}^{3} y_{n}$, что $v_{1}^{3} \omega_{1}+\ldots+v_{n}^{3} \omega_{n}=0$, все угловые переменные по-прежнему можно исключить, если только заметить, что функцию $S_{3}$ можно записать в виде (5.3.10), где произвольная функция $F_{3}$ может теперь зависеть и от критической комбинации (аргумента) $j_{1} y_{1}+\ldots+j_{n} y_{n}$, т. е. Как легко проверить, произвольная функция, зависящая от такого критического аргумента, не даст никакого вклада в уравнение (5.3.6). Теперь уже произвольную функцию можно использовать для уничтожения любого члена, содержащего критический аргумент (или кратный ему аргумент) в следующих приближениях. Важная роль, выполняемая здесь следующими членами по отношению і квадратичной форме в преобразовании, которое рассматривается в теореме Биркгофа о неподвижной точке, также проявляется и в функции Гамильтона. где целое число $\alpha$ определяется на следующем шаге вычисления приближений, а $B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X})$ – однородные полиномы степени $3 / 2$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}$. Определив получаем где $A_{4}^{\alpha}(\boldsymbol{X})$ – коэффициенты при членах с критическим аргументом $\alpha \boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \dot{y}$ в $H_{4}$. Видно, что дополнительные особенности могут появиться в окрестности и в самой точке $\boldsymbol{X}=\overline{\boldsymbol{X}}$, такой, что однако в общем случае этого не произойдет. Таким образом, репение получается введением на каждом шаге произвольной функции $F_{p}\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)$ в $S_{p}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})$, которая должна определяться на следующем шаге. Возможно также, что «секулярная» часть функции $H_{3}$ или некоторого другого приближения окажется равной нулю. В этом случае приходится вводить секулярную часть из более высокого приближения, увеличив, таким образом, размеры соответствующих членов в рядах, что, тем не менее, будет полезно во многих задачах. Если $H_{3 s}=0$, то, подставляя вместо этой функции фупкцию $H_{4 s}$, получим вместо (5.3.14) формулу так что в действительности $B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X})$ является функцией второго порядка малости. Тем не менее, такие случаи и случай, когда $H_{3}$ содержит критический аргумент, являются наилучшими для применения нижеописываемого метода, согласно которому исходная система сводится к системе с одной степенью свободы, где в качестве единственной появляющейея угловой переменной берется критический аргумент. Следовательно, формально система сводится к квадратурам. В рассматриваемом случае рассмотрим сначала каноническое преобразование к новым переменным $x^{\prime}, y^{\prime}$ по формулам В новых переменных гамильтониан приобретает вид где в $H_{3}^{*}$ собраны члены, не содержащие только критический аргумент $y_{n}^{\prime}$. Записанная в новых переменных спстема является вырожденной. Если все $A_{3}^{\alpha}\left(x^{\prime}\right)$ не равны тождественно нулю и $\boldsymbol{H}_{3}^{*}$ имеет нулевую секулярную часть, то можно исключить из где функция $H_{3}^{*}$ может быть записана следующим образом: цри этом целые числа $v_{1}, \ldots, v_{n-1}$ не обращаются одновременно в нуль, если $v_{n} Тешерь только необходимо потребовать, чтобы новый гамильтониан $K$, записанный в новых переменных $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$, представлялся рядом вообще говоря, формальным, так что $X_{1}, \ldots, X_{n-1}$ являются постоянными, и система имеет единственную степень свободы. Производяцая функция опять определяется формальным рядом а соответствующее преобразовавие имеет вид . что, как и всегда, дает $K_{2}=\omega_{1} X_{1}+\ldots+\omega_{n-1} X_{n-1}$. Принимая во внимание уменьшение порядка на две единиды при каждом дифференцировании по $\boldsymbol{X}$, для первых нескольких приближений получаем На каждом шаге, очевидно, соответствующее уравнение можно записать в виде где функция $H_{\beta}^{*}$ обладает теми же свойствами, что и описанная ранее функция $H_{3}^{*}$ в (5.3.17). где Тогда функция $S_{\text {в }}$ определяется как решение уравнения в котором в силу сделанного выбора функции $H_{\beta}^{*}$ нет ни одного нулевого делителя. Такая частичная нормализация может быть осуществлена до приближения любого порядка, так что мы можем записать новый гамильтониан в виде и с точностью до $O\left(|\boldsymbol{X}|^{\beta+1}\right)$ соответствующая система может быть проинтегрирована в квадратурах.
|
1 |
Оглавление
|