В этом- параграфе мы хотим показать, как решить задачу Пуанкаре, используя скобки Пуассона и, в то же время, как исключить секулярные члены при построении дополнительных интегралов. Главңым образом мы будем иметь дело со случаем вырождения, при котором главная часть гамильтониана зависит только от одной переменой действие, а возмущения $2 \pi$-периодичны по угловым переменным. Как мы уже впдели, в этой ситуации при введении рядов в методе Пуанкаре возникают некоторые трудности, которые привєли Цейпеля к уже описанному обобщению метода. Как мы уже зидели, с помощью метода Пуанкаре строятся $n$ формальных интегралов, нулевыми приближениями которых являются переменные действие, являющиеся постоянными в невозмущенном движении. Оставшиеся $n$ интегралов по существу являются постоянными интегрирования для угловых переменных, если все они в конце концов исключены из гамильтониана. Процесс, который мы здесь собираемся обсуждать, по существу совпадает с процессом, введенньм Уиттекером, хотя исключение секулярных членов было впервые проведено в работе Джакальи [37].

В обычных обозначениях рекуррентные соотношения имеют вид
\[
\left(H_{0}, F_{k}\right)=-\sum_{j=0}^{k-1}\left(H_{k-j}, F_{j}\right)=-\psi_{k^{\prime}}(y, x),
\]

где функция $\psi_{k}$ известна, когда все $(k-1)$ приближений известны. При $k=0 \quad \psi_{k}=0$. Полагая также $H_{0}=H_{0}(x)$, имеем
\[
\sum_{j=1}^{n} \omega_{j}^{0} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{j}}=\psi_{k}(y, x)
\]

с условием, что в каждой функции $F_{k}(y, x)$ не должно быть секулярных членов в том смысле, что замена $y_{j}=\omega_{j}^{0} \tau+y_{j}^{0}$ должна давать
\[
\lim _{\tau \rightarrow \infty} F_{k}(y(\tau), x)<\infty \text {. }
\]

Однако функции $\psi_{k}$ получаются в результате перемножения тригонометрических рядов, т. е. они должны содержать члены, которые являются функциями только $x$, так что при интегрировании уравнений (2.7.2) условия (2.7.3), вообще говоря, не будут выполнены. Нежелательное секулярное поведение может быть уничтожено введением описываемой ниже процедуры усреднения. Мы рассмотрим случай вырождения высокого порядка, когда функция $H_{0}$ зависит только от одного импульса, т. е. $H_{0}=H_{0}\left(x_{1}\right)$. Аналогично процедуре Пуанкаре мы попытаемся получить интегралы, которые при $H=H_{0}$ равны импульсам, а в общем случае
\[
F_{j}=x_{j}+\varepsilon \Delta F_{j}(y, x)
\]

при $\ddot{j}=1,2,3, \ldots$ При этом остается открытым вопрос о том, приведет ли такой выбор к интегралам
\[
x_{j}^{\prime}=x_{j}+\varepsilon W_{j}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}),
\]

определяемым методом Пуанкаре. Так как по предположению $F$, и $x_{j}^{\prime}$ являются пнтегралами, то функции
\[
F_{j}-x_{j}^{\prime}=\varepsilon\left(\Delta F_{j}-W_{j}\right)
\]

также будут интегралами. Теперь $\Delta F_{j}$ и $W_{j}$ не являются интегралами (так как $x_{j}$ – не интегралы), так что $\Delta F_{j} \equiv W_{j}$. Отсюда следует, что, если процедура сходится для $\varepsilon$ из некоторого интервала, то оба метода приведут к одинаковому результату, хотя использование скобок Пуассона дает явный вид решения и дает некоторую дополнительную информацию. Следовательно, мы положим
\[
\begin{array}{l}
F=x_{1}+F_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+F_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\ldots \\
H=H_{0}\left(x_{1}\right)+H_{1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+H_{2}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+\ldots
\end{array}
\]

где $H$ удовлетворяет упомянутым выше условиям. Уравнение для приближения первого порядка $(k=1)$, получаемое из (2.7.1), дает
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}}
\]

так что
\[
F_{1}=-\frac{1}{\omega_{1}^{0}} H_{1 p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})+F_{1 s}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, \boldsymbol{x}\right),
\]

где $H_{1 p}$ определяется операцией выделения из $H_{1}$ среднего по $y_{1}$. В общем случае
\[
f_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})-\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left(t, y_{2}, \ldots, y_{n}, \boldsymbol{x}\right) d t,
\]

или для рассматриваемого случая
\[
f_{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, \boldsymbol{y}_{n}, \boldsymbol{x}\right) d y_{1} .
\]

Индекс $s$ указывает на отсутствие переменной $y_{1}$, а функция $F_{1 s}$, очевидно, произвольна. Приближение второго порядка определяется из уравнения
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{2}}{\partial y_{1}}=\sum_{i}\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{i}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{i}}-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{i}} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{i}}\right)-\frac{\partial H_{2}}{\partial y_{1}}=\psi_{2 p}+\psi_{2 s},
\]

где $\psi_{2 p}$ и $\psi_{2 s}$ – пзвестные функции, имеющие вид
\[
\begin{array}{l}
\psi_{2 p}=\sum_{i}\left[\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{i}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{i}}\right)_{p}-\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{i}} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right]-\frac{\partial H_{2}}{\partial y_{1}}, \\
\psi_{2 s}=\sum_{i}\left[\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{i}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{i}}\right)_{s}-\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{i}} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{i}}\right)_{s}\right] .
\end{array}
\]

Если функция $F_{2}$ не должна содержать секулярных членов, то $\psi_{2 s}$ должна уничтожаться, что определяется условием
\[
\psi_{2 s}=\left(H_{1 s}, F_{1 s}\right)-\frac{1}{2\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}}\left[\frac{\partial}{\partial y_{1}} H_{1 p}^{2}\right]_{s}=0,
\]

а так как последний член в правой части этого условия равен нулю, то функция $F_{1 \text { s }}$ определяется уравнением
\[
\left(H_{1 s}, F_{1 s}\right)=0,
\]

для которого надо найти какое-нибудь простейнее частное решение в этом случае $F_{1 s}=0$. Для простоты рассмотрим случай
\[
H=H_{0}+H_{1},
\]

так что приблжение второго порядіа определяется уравнением
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{2}}{\partial y_{1}}=\psi_{2 p}=\left(H_{1 p}, F_{1 s}\right)-\frac{1}{\omega_{1}^{0}}\left(H_{1 s}, F_{1 p}\right)-\frac{1}{2\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}}\left[\frac{\partial}{\partial y_{1}} H_{1 p}^{2}\right]_{p},
\]

а так как
\[
\left[\frac{\partial}{\partial y_{1}} H_{1 p}^{2}\right]_{p}=\frac{\partial}{\partial y_{1}} H_{1 p}^{2},
\]

ти отсюда следует
\[
\begin{aligned}
F_{2 p} & =-\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \int\left(H_{1 s}, H_{1 p}\right) d y_{1}-\frac{1}{2\left(\omega_{1}^{0}\right)^{3}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}}\left(H_{1 p}^{2}\right)_{p}, \\
F_{2} & =F_{2 p}+F_{2 s},
\end{aligned}
\]

где функция $F_{2 s}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right)$ произвольна. В случае (2.7.10) для приближенія третьего порядка пмеем
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{3}}{\partial y_{1}}=\left(H_{1}, F_{2}\right)=\psi_{3 p}+\psi_{3 s},
\]

где
\[
\psi_{3 s}=\left(H_{1 s}, F_{2 s}\right)+\left(H_{1 s}, F_{2 p}\right)_{s},
\]

и учитывая условие $\psi_{3 s}=0$, определяем произвольную функцию $F_{2 \text { s из }}$ соотнопения
\[
\left(H_{1 s}, F_{2 s}\right)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(H_{1 s}, F_{2 p}\right) d y_{1}=\Phi_{3 s}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right),
\]

где $\Phi_{3 s}$ – пзвестная функция.
Характеристики однородных уравнений в частных производных для $F_{1 s}, \ldots, F_{k s}$ одинаковы при любом $k$ и определяются формулами
\[
\frac{d y_{2}}{\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{2}}}=\ldots=\frac{d y_{n}}{\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{n}}}=\frac{d x_{2}}{-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{2}}}=\ldots=\frac{d x_{n}}{-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{n}}}=d \tau,
\]

где $\tau$ – вспомогательный параметр. Таким образом, решения для $F_{k s}(k=1,2, \ldots)$ будут зависәть от решения такой системы уравнений:
\[
\frac{d y_{j}}{d \tau}=\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{j}}, \quad \frac{d x_{j}}{d \tau}=-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{j}} \quad(j=2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения соответствуют динамической системе с $(n-1)$-і̆ степенью свободы и гамильтонианом $H_{1 s}$. Тем не менее, необходимо отметить, что надо найти только частное решение (в смысле Якоби) такой системы. Разумеется, если для некоторого значения $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$ одна или более частных производных $\partial H_{1 s} / \partial x_{\mathrm{k}}$ равны нулю или малы (скажем, так же малы, как и $\varepsilon$ ), то решение будет содержать особенности или малые делители п метод применять нельзя. Один из способов рассмотрения такой ситуации заключается в предположении о резонансности, и он будет описан в главе V. Здесь мы ограничимся изучением частного случая, когда одна из производных, например $\partial H_{1_{s}} / \partial x_{2}$, является $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, п рассмотрим разложение
\[
F=F_{0}+\varepsilon^{1 / 2} F_{1}+\varepsilon F_{2}+\varepsilon^{3 / 2} F_{3}+\ldots
\]

Из основного уравнения $(F, H)=0$ приравниванпем членов одпникового порядіка по $\varepsilon$ получаем
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{0}, F_{0}\right)=0, \quad\left(H_{0}, F_{1}\right)=0 \\
\left(H_{0}, F_{2}\right)+\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial F_{0}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial H_{1 p}}{\partial x_{2}} \frac{\partial F_{0}}{\partial y_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{n}} \frac{\partial F_{0}}{\partial y_{n}}-\right. \\
\left.-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}} \frac{\partial F_{0}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{2}} \frac{\partial F_{0}}{\partial x_{2}}-\ldots-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{n}} \frac{\partial F_{0}}{\partial x_{n}}\right)=0 \\
\left(H_{0}, F_{3}\right)+\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{2}} \frac{\partial F_{0}}{\partial y_{2}}+\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial H_{1} p}{\partial x_{2}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{n}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{n}}-\right. \\
\left.-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{2}} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}-\ldots-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{n}} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}}\right)=0
\end{array}
\]

и т. д. Еслй опять считать $H_{0}=H_{0}\left(x_{1}\right), F_{0}=x_{1}$, то отсюда следует
\[
\begin{array}{c}
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}=0, \quad \text { т. e. } F_{1}=F_{1 s}\left(y_{2}, \ldots y_{n}, x\right), \\
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{2}}{\partial y_{1}}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}}=\psi_{2}, \\
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{3}}{\partial y_{1}}=\left(H_{1}, F_{1}\right)-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{2}} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{2}}=\psi_{3}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot H_{1 s} \frac{\partial}{\partial x_{2}}\left(F_{k-3}-F_{k-2}\right)=\psi_{k} \\
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{1}}=\left(H_{1}, F_{k-2}\right)+\frac{\partial H_{1}}{}
\end{array}
\]

при $k=4,5, \ldots$ Теперь функция $F_{1 s}$ – произвольная и может быть взята нулевой, так что автоматически получаем $\psi_{3}=0$ п, стедовательно,
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{3}}{\partial y_{1}}=0
\]
1.тI
\[
F_{3}=F_{3 s}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
F_{2}=-\frac{1}{\omega_{1}^{0}} H_{1 p}+F_{2 s},
\]

так что функция
\[
\Psi_{4 s}=\left(H_{1 s}, F_{2 s}\right)+\left(H_{1 p}, F_{2 p}\right)_{s}-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{2}} \frac{\partial F_{2 s}}{\partial y_{2}}
\]

должна быть иулевой. Так как
\[
\left(H_{1 p},-\frac{1}{\omega_{1}^{0}} H_{1 p}\right)_{s}=-\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}}\left(H_{1 p}, \frac{\partial H_{1 p}}{\partial y_{1}}\right)_{s}=0,
\]

то отсюда следует
\[
\psi_{4 s}=\left(H_{1 s}, F_{2 s}\right)-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{2}} \frac{\partial F_{2 s}}{\partial y_{2}}=0,
\]

и, например, функция $F_{2 s}=0$ удовлетворяет этому требованию. В эюбом случае характеристики (для любого порядка) определяются уравнениями
\[
\frac{d y_{3}}{\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{3}}}=\ldots=\frac{d y_{n}}{\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{n}}}=\frac{d x_{3}}{-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{3}}}=\ldots=\frac{d x_{n}}{-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{n}}}=d \tau
\]

с исчезнувшим требованием отсутствия малого делителя $\partial H_{1 s} / \partial x_{2}$.

Если $F_{2 s}=0$, то функция $F_{2}$ полностью определена, а $F_{4}$ имеет вид
\[
F_{4}=-\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \int\left[\left(H_{1 s}, H_{1 p}\right)-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{2}} \frac{\partial H_{1 p}}{\partial y_{2}}\right] d y_{1}-\frac{1}{2\left(\omega_{1}^{0}\right)^{3}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}}\left(H_{1 p}^{2}\right)_{p}
\]

и т. д. Прп каждом последовательном приближении характеристики остаются теми же самыми и не имеют каких-либо особенностей. Тажже ясно, что этот метод аналогичным образом можно применить и в случаях, когда больше чем одна производная $\partial H_{1 s} / \partial x_{k}$ мала.

Положим теперь $F_{0}=x_{2}$, так что функция $F$ будет соответствовать ннтегралу $x_{2}^{\prime}$ в задаче Пуанкаре. В этом случае
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}=-\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{2}},
\]

так что
\[
F_{1}=-\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \int \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{2}} d y_{1}+\psi_{1}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right)
\]

Однако подынтегральная функция $\partial H_{1} / \partial y_{2}$ может содержать члены, не зависящие от $y_{1}$ и, следовательно, в $F_{1}$ будут секулярные члены, увеличивающиеся вместе с $y_{1}$. Такие секулярные члены будут иметь вид
\[
F_{1 s}=-\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \int \frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{2}} d y_{1}+\psi_{1}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right)
\]

и они не будут равны нулю до тех пор, пока функция $H_{1 s}$ не станет независимой от $y_{2}$. Следовательно, прнходится отказаться от предположения $F_{0}=x_{2}$ и принять более общую форму
\[
F_{0}=F_{0}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right) .
\]

Если можно выбрать функцию $F_{0}$ так, чтобы в высших приближениях отсутствовали секулярные члены, то можно получить по крайней мере формальный пнтеграл, а в конечном счете и сходящийся. Уравнение для функции $F_{1}$ получается из соотношения
\[
\left(H_{0}, F_{1}\right)+\left(H_{1}, F_{0}\right)=0
\]

и имеет вид
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}=\left(H_{1}, F_{0}\right) .
\]

Секулярная часть членов правой части уравнения должна быть равна нулю, т. е.
\[
\left(H_{1 s}, F_{0}\right)=0,
\]

так как $F_{0}$ по предположению не зависит от $y_{1}$. Это предположение легко оправдать условием $\left(H_{0}, F_{0}\right)=0$ при $H_{0}=H_{0}\left(x_{1}\right)$. Peшение уравнения (2.7.12) получается сразу же и имеет вид: $F_{0}=k H_{1 s}$, где $k$ – постоянная. С точки зрения теории Гамильтона – Якобі ясно, что такой выбор вида $F_{0}$ эквивалентен ситуации в методе Пуанкаре (см: [37]).

Интересной физической чертой этой продедуры является то, что секулярная часть функции $H_{1}$ становится приближением нулевого порядка для интеграла движения. Этот факт объясняется сохранением энергии системы при каноническом преобразовании. Кроме того, обсуждаемый вопрос тесно связан с методами теории возмущений, основанными на преобразованиях и рядах Ли, которые будут ошисаны ниже в этой главе.
Теперь рассмотрим исходную систему вида
\[
\dot{y}_{k}=\frac{\partial H}{\partial x_{k}}, \quad \dot{x}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial y_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где $H=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$. Пусть $t=y_{n+1}$, так что
\[
\dot{y}_{\alpha}=\frac{\partial \mathscr{H}_{\alpha}}{\partial x_{\alpha}}, \quad \dot{x}_{\alpha}=-\frac{\partial y_{\alpha}}{\partial y_{\alpha}} \quad(\alpha=1, \ldots, n+1),
\]

где $\mathscr{H}=H+x_{n+1}, x_{n+1}=\beta=$ const. Угловые переменные такой системы, в соответствии с методом Пуанкаре, имеют вид
\[
y_{\alpha}^{\prime}=\omega_{x} t+y_{\alpha 0}^{\prime},
\]

где $y_{\alpha 0}^{\prime}$ – независимые постоянные, а
\[
\omega_{\alpha}=-\frac{\partial x_{n+1}}{\partial x_{\alpha}^{\prime}}=\omega_{\alpha}^{0}+\varepsilon \omega_{\alpha}^{1}+\varepsilon^{2} \omega_{\alpha}^{2}+\ldots
\]

и все $\omega_{\alpha}^{k}$ являются функциями цеременных $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$. В частности,
\[
\omega_{\alpha}^{0}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{\alpha}^{\prime}},
\]

так что
\[
y_{\alpha}^{\prime}=\omega_{\alpha}^{0} t+\varepsilon v_{\alpha}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, \varepsilon\right) t+\beta_{\alpha} .
\]

С другой стороны,
\[
y_{\alpha}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial x_{\alpha}^{\prime}}=y_{\alpha}^{\prime}\left(x^{\prime}, \boldsymbol{y}, \varepsilon\right)=y_{\alpha}+\varepsilon \mu_{\alpha}\left(x^{\prime}, \boldsymbol{y}, \varepsilon\right) \text {. }
\]

Сравнение двух последних соотвошений дает
\[
\beta_{\alpha}=y_{\alpha}-\omega_{\alpha}^{0} t+\varepsilon\left(\mu_{\alpha}-v_{\alpha} t\right) .
\]

Но $\beta_{a}$ являются ностоянными для системы (2.7.13) и могут быть записаны в виде
\[
\beta_{k}=y_{k}-\omega_{k}^{0} y_{n+1}+\varepsilon \theta_{k}\left(x^{\prime}, \boldsymbol{y}, t, \varepsilon\right),
\]

а члены нулевого порядка в таких интегралах можно записать так:
\[
F_{k 0}=y_{k}-\omega_{k}^{0} y_{n+1} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Теперь условие Пуассона записывается в виде
\[
\sum_{\alpha=1}^{n+1}\left(\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_{\alpha}} \frac{\partial F}{\partial y_{\alpha}}-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial F}{\partial x_{\alpha}}\right)=0 .
\]

Если $H_{0}=H_{0}(x)$, то приближение нулевого порядка должно определяться уравнением
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}} \frac{\partial F_{0}}{\partial y_{k}}=\frac{\partial F_{0}}{\partial y_{n+1}},
\]

частным решением которого является функция
\[
F_{0}=y_{1}-\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}} y_{n+1}=y_{1}-\omega_{1}^{0} y_{n+1},
\]

что совпадает с (2.7.15) при $k=1$.
Возникает вопрос: имеют ли какое-нибудь значение полученные таким образом формальные ряды, так как в рассматриваемом случае члены, линейные относительно времени, уничтожить нельзя? Однако тот же вопрос возникает и при использовании метода Пуанкаре, при котором частоты $\omega_{k}=\omega_{k}^{0}+\varepsilon \omega_{k}^{1}+\ldots$ в действительности на практике получаются только до некоторого приближения порядка $p$. Как уже говорилось, этот факт отражается тем выводом, что даже если ряды сходятся, в практических вычислениях они, тем не менее, могутбыть пригодны не для любых интервалов времени, а в лучшем случае лишь при $t=O\left(\varepsilon^{-p}\right)$.

Запишем условие существования интеграла $F$ для (2.7.14) в виде
\[
(F, H)+\frac{\partial F}{\partial t}=0
\]

и формально определим эти интегралы следующим образом. Мы положим
\[
\begin{array}{c}
F_{0}=y_{1}-\omega_{1}^{0} t, \\
H=H_{0}\left(x_{1}\right)+H_{1}(y, x) .
\end{array}
\]

Рекуррентные соотношения для $F_{k}$ будут шметь впд
\[
\left(F_{k}, H_{0}\right)+\frac{\partial F_{k}}{\partial t}=-\left(F_{k-1}, H_{1}\right)
\]

или
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{k}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial F_{k}}{\partial t}=\left(H_{1}, F_{k-1}\right) .
\]

При $k \cdot=1$ имеем
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}=\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \omega_{1}^{9}}{\partial x_{1}} t \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}},
\]

а при $k=2$
\[
\omega_{1}^{0} \frac{\partial F_{2}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=\left(H_{1}, F_{1}\right)
\]

и т. д. Можно найти решение для $F_{1}$ в виде
\[
\begin{aligned}
F_{1} & =\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \int \frac{\partial H_{1}}{\partial x_{1}} d y_{1}+\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} \int \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}} y_{1} d y_{1}- \\
& -\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} y_{1} \int \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}} d y_{1}+\frac{t}{\omega_{1}^{0}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} \int \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}} d y_{1}+\psi\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right),
\end{aligned}
\]

где $\psi$ – произвольная функция. С другой стороны, пмеез
\[
\frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}} y_{1}=\frac{\partial}{\partial y_{1}}\left(H_{1} y_{1}\right)-H_{1},
\]

так что, если $H_{1}$ является $2 \pi$-периодической функцией переменных $y_{1}, \ldots, y_{n}$, то мы получаем
\[
\int \frac{\partial}{\partial y_{1}}\left(H_{1} y_{1}\right) d y_{1}-\int H_{1} d y_{1}=-\int H_{1 p} d y_{1} .
\]

Следовательно,
\[
F_{1}=\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \int \frac{\partial H_{1}}{\partial x_{1}} d y_{1}-\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial \omega_{1}} \int H_{1 p} d y_{1}+\frac{t}{\omega_{1}^{0}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} H_{1 p}+\psi_{1} .
\]

Единственным нежелательным членом, из-за которого могут возникнуть секулярные относительно $y_{1}$ члены, является первый член в правой части уравнения. Более того, этот член в действительности пмеет вид
\[
\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \int \frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{1}} d y_{1}=\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{1}} y_{1} .
\]

Фунтіiім;
\[
F_{1}-\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{1}} y_{1}=\frac{1}{\omega_{1}^{0}}\left(1+\frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} t\right) H_{1 p}-\frac{1}{\left(\omega_{1}^{0}\right)^{2}} \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} \int H_{1 p} d y_{1} \div \psi_{1}
\]

является нериодической по $y_{1}, \ldots, y_{n}$ п секулярной по $t$. Этого последнего свойства функции избежать нельзя, и оно является нежелательным.

Препғагаемый здесь выход из создавшейся ситуации зак.тючается в стедующем. Определим функцию $F_{0}$ так:
\[
F_{0}=y_{1}-\omega_{1}^{0} t+\psi_{0}\left(y_{2}, \ldots, y_{n}, x\right) .
\]

Очевидно, эта функция является решением уравнения
\[
\left(F_{0}, H_{0}\right)+\frac{\partial F_{0}}{\partial t}=0 .
\]

Тогда уравнение для $F_{1}$ принимает вид
\[
\omega_{1}^{0}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}=\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{1}}+t \frac{\partial \omega_{1}^{0}}{\partial x_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial y_{1}}+\left(H_{1}, \psi_{0}\right),
\]

и его решение совпадает с решеним предыдущего уравнения; добавляется только член
\[
\frac{1}{\omega_{1}^{0}} \int\left(H_{1}, \psi_{0}\right) d y_{1} .
\]

Часть этого интеграла, содержащая секулярные члены относцтельно $y_{1}$, будет равна нулю тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
\[
\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{1}}+\left(H_{1 s}, \psi_{0}\right)=0 .
\]

Последнее уравнение подсказывает способ, согласно которому надо въбопрать пропввольную функцию $\psi_{0}$. Решение этого уравнения в частных производных эквивалентно интегрированню характеристик
\[
\frac{d y_{k}}{d \tau}=\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{k}}, \quad \frac{d x_{k}}{d \tau}=-\frac{\partial H_{1 s}}{\partial y_{k}},
\]

где $\tau$ – произвольный параметр, $k=2, \ldots, n$, а $x_{1}$ надо считать постоянным параметром. Если $y_{k}, x_{k}$ найдены из этого уравнения в впде функций величины $\tau$, то функция $H_{1 s}$ затем выражается через $\tau$, а $\psi_{0}$ получается в виде
\[
\psi_{0}=-\int \frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{1}} d \tau .
\]

После того как интегрирование закончено, функция $\psi_{0}$ опять записывается через переменные $y_{2}, \ldots, y_{n}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Добавление $\psi_{0} \kappa$ функции $F_{0}$ приводит к изменению опорной частоты $\omega_{1}^{0}$, что. другими словами, и предполагается в методе Јиндстедта.

Таким образом, мь установи.и тесную связь между процедурой юпределения дополнительных интегралов и интегрированием самильтоновой системы методом Пуанкаре. Такая же связь, ћак мьт увидим ниже, устанавливает фундаментальное соотношение между методом, использующим ряды и преобразования Ли, и методом, использующим дополнительную систему для характеристик.