Интегрируемость динамической системы является весьма спорным понятием. Некоторые считают, что по отношению к гамильтоновым системам разделимость уравнения Гамильтона Якоби может служить достаточно хорошим определением интегрируемости, хотя это и не является общим мнением. К сожалению, теорема Штеккеля не дает никаких указаний на то, как в действительности надо строить гистему координат, чтобы разделить уравнение. Хорошо известно только, что если есть $n$ независимых интегралов у системы с $n$ стешенями свободы, то, в соответствии с результатами Арнольда, инвариантное многообразие состоит из торов, на которых в общем случае движение будет условно-периодическим. Существование таких многообразий для некоторого класса систем изучал также Дилиберто, который называл их периодическими поверхностями. Для негамильтоновых систем этот вопрос еще более сложен, хотя, как показывает пример в конце главы $\mathrm{V}$, здесь можно думать об обобщении процедуры нормализации Биркгофа в случае возмущенного движения гармонических осцилляторов. В действительности многие задачи соответствующим выбором переменных и времени могут быть сведены к задаче о гармонических осцилляторах. Например, ньютоновская задача двух тел использованием преобразования Леви-Чивита [69]
\[
x=u^{2}-v^{2}: \quad y=2 u v
\]

совместно с преобразованием времени
\[
d \tau=d t / r
\]

сводится к простому гармоническому осциллятору. Другие силовые поля недавно были рассмотрены в работе Джакальи и др.

где использованы методы, введенные Кустаанхеймо [62] $\left.{ }^{1}\right)$.

Ниже мы также придем к изучению интегрируемости системы в окрестности устойчивого положения равновесия – область, в развитие которой много усилий вложили Зигель и Мозер, так же как и многие другие авторь. Хотя сходимость методов нормализации установлена быть не может, из результатов Контопулоса [17-23], Барбаниса [5] и Бозиса [9, 10] ясно, что при достаточно общих обстоятельствах могут существовать другие интегралы (или квазиинтегралы) как в общих, так и в резонансных системах. Очевидность существования интегралов была также установлена методом поверхностей сечения в работе Хенона и Хейлеса $[52,53]$.

Что касается методов последовательных приближений, то найти решение системы в виде ряда можно любым методом; при этом может быть достигнута сходимость этих методов на достаточно малом интервале времени. На интересующий вопрос можно ответить, используя простой метод итераций Пикара, что, по существу, и было сделано во многих работах, особенно в работах, использующих численные расчеты на ЭВМ.

Для заданной системы, зависящей от малого параметра, способ поиска решения в виде рядов по степеням этого параметра определяется тем, насколько решение близко к особой точке (равновесию) системы, и тем, является ли эта особая точка устойчивой. Свойства систем такого рода сначала изучались Биркгофом в связи с поведением отображений, сохраняющих пэощадь, в окрестности неподвижной точки. Сравнительно недавно важные результаты в этой области получили Мозер, а также Гельфанд и Лидский [35]. Типичный пример изменения характера разложения по параметру в окрестности равновесной точки дает ограниченная задача трех тел, в которой есть пять частных решений Лагранжа и Эйлера. Как было недавно показано в работе Себехея и др. [100], такие разложения могут проводиться по степеням $\varepsilon^{1 / 3}, \varepsilon^{1 / 2}$ или $\varepsilon$.

Метод последовательных приближений Магмиллана [71, 72], описанный во втором параграфе, легко можно свести к методу усреднения для уравнения (2.2.6) или для этого же уравнения, но записанного в виде ряда (2.2.7). Такой метод был предложен Чезари и несколько позже Хейлом. Появление секулярных членов в решении, как было показано в примере, приведенном в начале $\S 3$, привел Линдстедта к изучению методов усреднения. В некоторых задачах неудачный выбор опорного решения влияет на успех использования метода последовательных приближе-
1) О регуляризующих преобразованиях Леви-Чивита и Кустаанхеймо ШІтифеля см. [13*] (прим. перев.).

ний, аналогично тому, как пләхой выбор системы координат влияет на интегрируемость (разделимость движения) системы. Гамильтонизация системы, предложенная впервые Дираком, применима практически только в тех случаях, когда система (2.4.5) имеет постоянные коэффициенты (если не рассматривать исключительных случаев), т. е. когда функции $g_{i}$ линейны относительно компонент $x_{j}$ вектора $x_{\text {п }}$ пмеют постоянные коэффициенты. Во всех остальных случаях определение опорного решения из (2.4.5) может представлять собой очень трудную задачу. Что касается метода Пуанкаре (который, кстати, называл его методом Јиндстедта), то он был назван методом Цейшеля тлавным образом из-за работы Цейпеля об астероидах [105], для которых Брауэр [11] получил әффективпое решение при решении задачи об искусственных спутниках Земли. Начиная примерно с этого времени и появились в полной мере в небесной механике методы усреднения. Интересно отметить, что до этого времени метод Пуанкаре использовался исключительно в теории нелинейных колебаний, в том числе и в работах советских авторов. Уравнение (2.4.8) также указывает на то, что за исключением операции усреднения все эти методы в консервативных системах сводятся к решению уравнения Гамильтона – Якоби с помощью последовательных приближений. Главный недостаток этих методов, заключающийся в неявной связи между старыми и новыми переменными, которая осуществляется производящей функцией $W$ (см. уравнение (2.4.10)), и в задаче обращения этой связи, только недавно был преодолен введением рядов Ли. Утверждение о том, что если среднее условно-периодической функции равно нулю, то эта функция ограничена, может быть проверено, если потребовать выполнения некоторого условия иррациональности между базисными частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ соответствующих рядов Фурье; точнее, нужна выполнимость условия
\[
\left|\sum_{j=1}^{n} p_{j} \omega_{j}\right| \geqslant K\left|\sum_{j=1}^{n} p_{j}\right|^{-\sigma},
\]

где $K$ – некоторая положительная постоянная, а $\sigma>n-1$. Если эти условия не выполнены (они могут нарушаться только на множестве частот $\omega$ нулевой меры), то интеграл от условнопериодической функции с нулевым средним может не быть ограниченным из-за наличия малых делителей; этот вопрос обсуждался Мозером в теории условно-периодических движений.

Если исходить из чисто геометрической точки зрения, то Мозер [78] сделал очень важный шаг при изучении сохраняющих площадь отображений, близких к тождественным (см. (2.4.12)). На его работу очевидное влияние оказали труды Биркгофа и Зигеля.

Выкладки, включающие в себя действительные вычисления, следующие из (2.4.16), на практике оказываются очень утомительными и невероятно длинными. Тем не менее, недавнее введение в практику научных исследований автоматических буквенных алгоритмов для быстродействующих электронных вычислительных машин уничтожает большинство практических трудностей. Важные результаты здесь получили Ковалевский [60], Депри и Ром [28-31] в приложении к типичным задачам небесной механики ${ }^{1}$ ). Аналогичные работы из области нелинейной механики и теории цепей нам неизвестны.

Попятие вырожденных систеи, введенное Арнольдом, к сожалению, является очень общим; тем более важно исследовать их поведение при введении возмущений. Существенной геометрической трудностыю прп этом является то, что размерность инвариантного многообразия невозмущенной задачи ниже размерности многообразия для возмущенной задачи ${ }^{2}$ ). Кроме того, линейные возмущенные системы крайне тувствительны к появлению различных резонансных ситуаций и весьма трудны для описания. Внимание, которое уделяется разделению переменных на быстрые и медленные, объясняется тем, что обычно быстрые переменные соответствуют малым амплитудам колебаний и не влияют на медленные переменные; эволюция последних связана с большими масштабами изменений по отношению к переменным невозмущенной системы и за большие промежутки времени.

Во многих случаях усреднение понимается просто как процедура исключения времени, входящего явно в уравнения движения. Тогда этот процесс осуществляется простым взятием среднего от правых частей дифференциальных уравнений. В действительности в методе Крылова – Боголюбова – Митропольского это является только первым шагом. Такая процедура в различных ее вариантах использовалась Хейлом [50], изучавпим при времени, стремящемся к бесконечности, разницу между репением неавтономной системы
\[
\dot{x}=\varepsilon f(t, x, \varepsilon)
\]

п решением усредненной системы
\[
\dot{x}=\varepsilon f_{0}(x),
\]

где
\[
f_{0}(x)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t, x, \varepsilon) d t .
\]
1) См. также $\left[14^{*}-18^{*}\right]$ (nрим. перев.).
2) См. также [83], [19*], [20*] (прим. ред.).

Хейл получил условия, определяющие существование периодических решений, и условия их устойчивости. Исходное предположение при этом заключается в гипотезе существования преобразования
\[
x=y+\varepsilon u(t, y, \varepsilon)
\]

при достаточно общих условиях, которое приводит уравнение (2.10.1) к виду
\[
\dot{y}=\varepsilon f_{0}(y)+\varepsilon F(t, y, \varepsilon),
\]

где $F(t, y, 0)=0$. Ясно, что блнзкое к тождественному преоб̈разование (2.10.3) приводит к системе (2.10.4), отличающейся от (2.10.2) членами порядка не ниже $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Ошибка, оцененная Кинером, в действительности язляется только уточнением этой основной ошибки.

Мозер [84] ${ }^{1}$ ) изучил с современной точки зрения топологию кеплеровского движения, особые точки фазового пространства и ввел понятие усреднения на многообразии, пзбежав явного пспользования операций с координатами. Его существенные результаты основаны на применении специальных методов к векторному полю, задаваемому кеплеровским двпжением. Процедура регуляризации, использованная Мозером при изучении орбит, близких к началу координат ( $r=0$ ), была введена Леви-Чивита и хорошо известна под названием преобразование обращения. Обычно прл нзученип глобального поведения траекторий оно не используется, так как добавляе? новые особенности в тех точках, тде скорость частицы равна нулю.

Предположив, что правые части дифференциальных уравнений являются периодическими функциями времени, Ларичева [66] получила значительно более лучшую оценку ошибки усредненных уравнений небесномеханического движения, чем ошибка, оцененная Боголюбовым и Митропольским [8]. В своей рабоге «Теория орбит вблизи сжатой планеты» Кинер [64] дал оттичное описание методов усреднения, а также, для частного примера, описание теории периодических поверхностей Дилиберто и ее связи с методами усреднения. В этом частном случае, как и ожидалось, существуют двумерные торы, так как предшолагается, что поле планеты имеет цилиндрическую симметрию. Кинер также применил метод, развитый Хейлом в книге «Нелинейные колебания» [49], для получения условий периодичности орбит и, кроме того, построил их приближення.

Что касается применения метода Пуанкаре к гамильтоновым системам, когда гамильтониан представляется степенным рядом
1) См. также [13*] (приж. перев.).

по координатам и импульсам (как в примере из начала шестого параграфа), то он был описан в работе Джакальи [37]. Эта проблема сначала естественным образом возникла в теории малых колебаний, а затем в небесной механике при использовании переменных Пуанкаре и в задаче о резонансе. На этом пути получено некоторое обобщение понятия нормализации Биркгофа, связанное, во-первых, с предположением о том, что имеются произвольные комбинации координат и импульсов, и, во-вторых, с тем, что дается более систематическое изложение самой процедуры нормализации. Однако применение Депри [31] рядов Ји в аналогичной проблеме показывает, что возможно более сложное и эффективное использование этого метода. Как было показано в работе Джакальи [41] при исследовании колебательных случаев в әллиптической ограниченной задаче трех тел, в этом случае характеристические показатели лучше всего получать, используя метод Чезари, развитый в его работе [14]. Очевидно, после того, как получены выражения для характеристических показателей в вшде рядов по малому параметру до некоторого порядка, нетрудно будет использовать преобразование Ляпунова, сводящее задачу к пнтегрированию линейной системы, коэффициенты которой являготся постоянными при учете членов того же порядка по малому параметру. В этом случае проблема малых делителей из метода Пуанкаре переходит в задачу о параметрическом резонансе.

Построение интегралов движения с помощью метода последовательных приближений к устовшю Пуассона, предпринятое во многих работах Контопулоса, очень хорошо показывает изменение вида этих интегралов (или квазиинтегралов) при пересечении резонансных зон. Так как в предельном случае резонансные точки также плотны в фазовом пространстве, как множество рациональных чисел на отрезке, то можно ожидать очень запутанного и сложного поведения этих интегралов, пзменяющих свой вид бесконечно много раз на каждом конечном интервале частот, определяемом малым параметром и (или) начальными условиями. В действительности этот факт не будет мешать сходимости для фиксированных наборов частот, образующих множество ненулевой меры. Однако такие интегралы не могут быть аналитическими, а никакие их представления в виде рядов не могут быть равномерно сходящимися или непрерывными. Все проведенные здесь рассмотрения и высказанные предшоложения весьма тесно соприкасаются с теориями Мозера и Колмогорова.

Построение интеграла Ковалевской, проведенное нами в § 6 , представляет собой редчайший случай рядов, имеющих конечное число членов, и, разумеется, может быть осуществлено только в исключительных ситуациях. Тем не менее, этот пример указывает на опасности, появляющиеся при попытке дать определение $9^{*}$

интегрируемых и неинтегрируемых систем для всех возможных случаев.

Методы преобразований Ли в настоящее время весьма популярны и они действительно представляют собой настоящий прорыв в стене классических методов. По крайней мере, можно сказать, что они были неизвестны Пуанкаре,– факт, в общем-то, удивительный для методов теории возмущений. Честь введения этих новых методов принадлежит Хори. Более поздние работы и модифицированные алгоритмы надлежит рассматривать только как обработку и другие варианты одной и той же основной идеи. Одним из лучших примеров использования этих методов является работа Депри и Рома [31] об основных задачах, связанных с искусственными спутниками Земли. Кроме того, таким примером могут служить недавние исследования Джакальи и др. [39, 40] о двпжении твердого тела под влиянием центрального гравитационного поля. Различные примеры также приводят Чой и Тәпли [16].

Пример, который мы дали при решении уравнения Ван дер Поля, с точностью до членов третьего порядка рассмотрен в недавней работе Хори [55], посвященной негамильтоновым системам. Этот пример является лучшим образдом использования метода преобразований Ли в негамильтоновых системах. Гамильтонизацию уравнения Ван дер Поля
\[
\ddot{x}=-\varepsilon\left(\mathbf{i}-x^{2}\right) \dot{x}-x
\]

можно провести, если положить $x=y_{1}, \dot{x}=y_{2}$, так что
\[
\dot{y}_{1}=y_{2}, \quad \dot{y}_{2}=-\varepsilon\left(1-y_{1}^{2}\right) y_{2}-y_{1},
\]

и гамильтониан имеет вид

где
\[
H=x_{1} \dot{y_{1}}+x_{2} \dot{y_{2}}=H_{0}+H_{1},
\]
\[
\begin{array}{l}
H_{0}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}, \\
H_{1}=-\varepsilon\left(1-y_{1}^{2}\right) x_{2} y_{2} .
\end{array}
\]

Уравнения движения записываются так:
\[
\dot{y}_{k}=H_{x_{k}}, \quad \dot{x}_{k}=-H_{y_{k}},
\]

а дополнительная система, определяемая гамильтонианои $K=$ $=\xi_{1} \eta_{2}-\xi_{2} \eta_{1}$, имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d \xi_{1}}{d \tau}=\xi_{2}, & \frac{d \xi_{2}}{d \tau}=-\xi_{1}, \\
\frac{d \eta_{1}}{d \tau}=\eta_{2}, & \frac{d \eta_{2}}{d \tau}=-\eta_{1},
\end{array}
\]

и ее решение можно записать следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\xi_{1}^{0}=\alpha_{1} \sin \left(\tau+\beta_{1}\right), & \xi_{2}^{0}=\alpha_{1} \cos \left(\tau+\beta_{1}\right), \\
\eta_{1}^{0}=\alpha_{2} \sin \left(\tau+\beta_{2}\right), & \eta_{2}^{0}=\alpha_{2} \cos \left(\tau+\beta_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Из уравнения для приближенія первого порядка
\[
-\frac{d S_{1}}{d \tau}+H_{1}=K_{1}
\]

мы получаем
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} H_{1}(\tau) d \tau=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left[-\varepsilon\left(1-\eta_{1}^{0^{2}}\right) \eta_{2}^{0}-\eta_{1}^{0}\right] d \tau= \\
=-\frac{\varepsilon \alpha_{1} \alpha_{2}}{2}\left(1-\frac{\alpha_{2}^{2}}{4}\right) \cos \left(\beta_{1}-\beta_{2}\right), \\
S_{1}=\int\left[H_{1}(\tau)-K_{1}\right] d \tau .
\end{array}
\]

Полное решение задачи до членов третьего порядка приведено в работе Чоя и Тәнли [16].

Наконец, для более детального и всеобъемлющего понимания методов усреднения, как с точки зрения Крылова и Боголюбова, так и с точки зрения Пуанкаре, а также для оценки отбрасываемых членов более высокого порядка, мы отсылаем читателя к џосвяшенной классическим вопросам работе Мьюзена [87] и к обширной работе Волосова [101].