Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом
где , а — периодическая (периода ) функция относптельно . Мы попытаемся проверить тот факт, что при этих условиях движение возмущенной системы, соответствующей гамильтониану (3.2.1), происходит на торе, который близок к тору, определяемому условиями const .
Вначале мы остановимся на кратком описании классических методов теории возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана , определяемого формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким формам:
Такие методы, кағ было видно в предыдущих главах, приводят к уравнениям вида
решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся; даже если частоты являются рационально незавпсимыми. В последнем случае предшолагается, что вещественных компонент вектора удовлетворяют йесконечному чисту неравенств
где , все целые числа одновременно в нуль не обращаются, а число выбирается соответствующим образом (см. [24]). Следовательно, для множества значений , имеющего ненулевую меру, в классической теорпи возмущений все знаменатели ограничены снизу по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как мы считаем, что частоты являются непрерывными функциями , то непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к резонансным значениям , и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть нешрерывными функциями , т. е. начальных условий задачч. При некоторых ограничениях на можно установить сохранение условно-перподических движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал [6]: «Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне современных методов, решение 200 -летних проблем, ясная геометрическая картина и широкие горизонты — таковы достоинства этой работы». Это действительно так, пбо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в слишком общей форме, и думалось, что оні оставляют только небольшой шанс на то, что динамическая система будет пнтегрируемой.
Можно только предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких предположений о плотностп интегрируемых систем в нашем распоряжении нет. Если онн, по крайней мере, также плотны, как множество рациовальных чисел на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа на задачу тел, на огранпченную задачу трех тел, на задачу о несимметричном волчке п т. д., в которых только доказана неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических интегралов (см., например, [43, .
Простейший вывод, который можно сделать из теоремы Колмогорова, заключается в том что при выполнении условия невырожденности при малом аналитическом возмущении большинство инвариантных многообразий (торов), определяемых функцией , не разрушается, а лишь слегка деформируется. Термин «большинство» подразумевает нигде не плотное множество, дополнение которого имеет меру, малую вместе с .
Действнтельно, в любой окрестности инвариантного тора невозмущенной системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е. частоты рационально зависимы. Однако при малых возмущениях эти инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в течение длительного времени (асимптотически) не известно. Для консервативной системы с двумя степенями свободы многообразне, определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные инвариантные торы. Это — максимальная размерность, при которой промежуток между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории, начинающиеся в этой обтасти, будут оставаться в ней все время. Для больших размерностей это в общем случае неверно.
Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при приведении гамильтониана к виду, зависящему голько от переменных действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления малых знаменателей. Как отмечают Брауэр и Клеменс [14], сходимость этих рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с увеличением порядка приближения (по мере того, как все бо́льшие числа входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из цаиболее важных аспектов, описанных Колмогоровым в предложениях по доказательству его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского метода приближений, обладающего квадратичной сходимостью, в том смысле, что ошибка -го приближевия имеет порядок при и .
Точнее, предположим, что возмущение в (3.2.1) находится в пределах: при из некоторой області . Если записать в виде
где , то при коэффициенты убывают как . Принимая во внимание (3.2.2), для можно получить оценку при . Величина . связана с величиной , такой, тто при достаточно малом и достаточно большом. Следовательно, при . Можно предположить, что частоты системы фиксированы, и проаппроксимировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве теоремы, данном Арнольдом [6], частоты не являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым следствиям в задаче шредставления Пуанкаре метода Линдстедта. Первоначально требовалась аналитичность функции , но Мозер [33] показал достаточность существования некоторого количества производных функции . Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет обсуждаться в следующей главе.
Рассмотрим систему с гамильтонианом вида (везде суммирование проводится от 1 до )
где -аналитическая по всем переменным п периодическая ная, функция содержит степєни не ниже третьей относительно , а величины удовлетворяют условию
прн , при всех целых и при выбранной некоторым образом постоянной .
Рассмотрим далее каноническое преобразование , определяемое производящей функцией Гамильтона — Якоби
где — постоянные, так что
Из последнего соотношешия, предположив, что матрица
является неособенной для из некоторой окрестности точки , можно получить
и, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя из (3.2.6) в (3.2.3), находим
где ( )
Здесь надо заменить на согласно (3.2.7). Цель введения константы будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на то, что величины и являются величинами первого порядка относительно , которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. С другой стороны, величины и являются величинами второго порядка по отношению к тем же переменным.
Целью метода является уничтожение величин , с помощью соответствующего выбора . Это можно сделать следующим образом. Введем величины
Тогда, в силу сделанных относительно предположений, в частности, имеем
где . В силу тех же предположений, имеем
Сұитая , из первого соотношения (3.2.9) находим
или
что и дает определение и . Теперь из второго соотношения (3.2.9), определив
и
находим, что и определяются уравнениями
II
соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными некоторые условия, а именно:
a) величины ( ) ве должны обращаться в нуль (для того чтобы выражения (3.2.12) имели смысл).
б) определитель не допжен быть равен нулю, чтобы уравнения (3.2.13) имели решение относительно вектора ;
в) для получения констант из уравнения должно быть выполнено условие (a).
Также очевидно, что если имеют конечное тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительно ), то производящая функция , определяемая формулой (3.2.5), также является полиномом Фурье относительно . Описанную процедуру можно повторить п после применения последовательных канонических преобразований; в пределе исходной гамильтониан примет вид
где в содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент вектора . В этом случае система допускает ретение
Теггерь можно сْформулировєть теорему Колмогорова в следующем упрощенном виде.
Теорема (Колмогоров). Пусть аамильтониан системь , имеющий вид (3.2.3), аналитичен в области , и удовлетворяет в этой области следующим условиям:
а) для всех целых ненулевых одновременно чисел , выбранной каким-нибудь образом постоянной и выполнены неравенства
б) матрица — неособенная.
Тогда для достаточно малых в функций существует каноническое преобразование , имеюицее вид
такое, что функции -периодичны по каждой компоненте и аналитичны в области , определяемой неравенствами . Преобразование (3.2.19) огображает в , a в гамильтониан имеет вид (3.2.15).
Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что применение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6) образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от (3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда основных лемм, установленных Арнольдом [6,7]. Здесь мы ограничимся упоминанием только двух главных лемм.
Лемма 1. Eсли ненулевьх частот удовлетворяют условиям (3.2.17), если
и если удовлетворяет уравнению
то его решение
удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С следующим соотношениям:
где норма || || является верхней аринью абсолютной величины функции в кольце
для всех .
Доказательство леммы опирается на условие иррациональности (3.2.17), которое дает верхнюю границу для делителей, т.е.
где -константа, зависящая от и . Наиболее утомительная часть доказательства заключается в правильной оценке величин в кольде и последующей оценке функции и ее производных. Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде основной леммы [6].
Лемма 2. Рассмотрим величины
Пусть
Рассмотрим оценки
где элементы матрицы, обратной матрице . Пусть выполнено (3.2.4) и .
Тогда при выполнении этих условий существуют константы , зависящие только от и такие, что, если , то выполненьи слео́ующие условия:
a) Преобразование (3.2.6) может быть записано в виде
где функции аналитичны при , а
и отсюда следует, что преобразование (3.2.25) отображает в . Кроме того, .
б) Новый гамильтониан определен для всех из ,
Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Баррара [10]. Сначала используется лемма 1 для оценок
где — постоянные, зависящие только от , n. После оценок величин в проводятся оценки (из (3.2.14)) в , получающиеся из леммы 1 в виде
где опять ностоянные зависят только от . Затем используется теорема Руше для того, чтобы показать, что
Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное
где
и оно отображает в . Легко также видеть, тто функции являются -периодическими по каждой из переменных , так что утверждение (a) леммы получается введением величины , и, следовательно все величины
в кольце меньше, чем . Аналогично, если , то из утверждения (а) следует: . Все остальные оценки из утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы Коши и неравенства Шварда.
Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан , записанный через из , переходит в гамильтониан такого же вида, но зависящий от из . Затем эта операция (определенная в лемме 1 и удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения
На -м паге гамильтониан определен в пространстве переменных , и по утверждению леммы 2
Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом шаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1. Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара [10]. Основой служат оценки леммы 2 , получающиеся из условия
Выбор удобной величины , удовлетворяющей неравенствам
дает и
что заменяет условия и из леммы 2 . Неравенство (3.2.32) будет удовлетворено, если положить и или в любом случае. Для исходного гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными оценки
и для выбора соответствующего масштаба положим . Выбрав достаточно малое , можно показать, что в в при .
Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями леммы 1 , удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения (3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является каноническим, так как оно является комбинацией ряда канонических преобразований. Кроме того, суммарное преобразование после итерадий отображает в , и область его определения содержит в себе . Поэтому является равномерно ограниченным, и последовательность сходится к преобразованию , которое в точности равно (3.2.17).
В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то время как итерации функции Гамильтона , с помощью которых здесь определены все операции из леммы 1 , аналогичны итерациям Ньютона и, таким образом, обладают квадратичной сходимостью.
При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях исходный гамильтониан имеет вид
где -малый параметр, например, порядка (см. уравнение (3.2.4)). Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию . Возможно, что первый случай может быть изучеп аналогично вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае.
Общая теория Мозера [35] предполагает общирные знания многих теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если рассматривать только аналитические возмущения, чего на самом деле не делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные методы сглаживания, но, разумеется, нолучаются и более общие результаты.
Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также оказывается более общей, чем рассмотренная выше.
Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области фазового пространства, скажем , где — открытое множество в функция Гамильтона периодична по каждой из переменных . Основное предположение заключается в условии необращения в нуль определителя в области D. Tогда показывается, что для каждого существует такое, что если в , то траектории, определяемые гамильтонианом , таковы, что
1) Существует инвариантное множество (вещественное), и если , то mes .
2) Множество состоит из инвариантных аналитических -мерных торов , определяемых уравнениями
где — аналитические функции с периодом по каждой из переменных , а — параметр, определяющий тор .
3) Движение, определяемое гамильтонианом , на торе яеляется условно-периодическим с п частотами
которые удовлетворяют неравенствам
для всех наборов целых чисел , не обращающихся одновременно в нуль.
Эти условия в основном тание же, что и выписанные нами выше, а условие на переходит в условие на определитель квадратичной части функции (относительно ), которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении теоремы Колмогорова на вырожденные стучаи, т. е. на случаи, когда . Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь место, например, когда одна из компонент вектора не входит ни в сумму , ни в квадратичную часть . Очевидно, что первнй случай делает невозможным условие (3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для определения оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра, здесь — .
Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество ненулевой меры инвариантных торов, определяемых , не разрушается, а лишь слегка деформируется. Однако дереход с одного тора на другой не может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо пересекать зоны рациональной зависимости частот .
Необходимо, однако отметить, что условие, налагаемое на , можно сделать менее жестким и только предположить, что )