Ранний вариант описания проблемы, с которой мы сейчас будем иметь дело, можно найти в работах Бохлина [13] (см. также [68]), в монографии Цейпеля [76] по теории движения астероидов и в работе Уиттекера [75] о задаче поиска решений в виде рядов и о задаче поиска дополнительных интегралов. Все эти работы прямо или косвенно связаны с задачами небесной механики. Первыми, кто изучали эту проблему в теории линейных и нелинейных колебаний, были Ляпунов [55], Крылов [51], Боголюбов [11] и Митропольский [58]. В современной литературе, т. е. после середины нашего столетия, имеется очень много работ о резонансах, в которых содержатся обобщения старых и вводится много новых разнообразных определений и подходов к проблеме.

Хотя рассматриваемое понятие резонанса является объектом всеобщего изучения, его надлежащее определение сегодня зависит от частной задачи, исследуемой автором, и от области его научных интересов. Мы не будем отступать от этой «традиции», хотя и попытаемся поставить проблему в достаточно общих терминах, применения которых настолько широки, насколько только возможно.

Физическое предположение заключается в том, что нам дана система дифферендиальных уравнений, описывающая поведение некоторого механизма, или әлектрического, или механического. Механизм является осциллятором в том смысле, что он может быть описан с помощью вполне определенного набора переменных действие и угол. В общем случае угловые переменные изменяются со временем с рационально независимыми частотами, а случай рациональной зависимости является исключительным, хотя п вполне возможным случаем. Следовательно, мы предполагаем, что осциллятор имеет дискретный сгектр частот и что он ограничен некоторой полосой. Это основное предположение.

Типичные проблемы, которыми мы будем интересоваться, связаны с изучением поведения осциллятора при введении малых изменений его структуры и (или) под действием внешних по отношению к системе факторов (или возмущений). Такие изменения и возмущения вызывают эффекты, коренным образом связанные с частотами осциллятора. Если движение осциллятора является резонансным (периодическое ретение), т. е. существует по крайней мере одна обращающаяся в нуль линейная делочисленная комбинация частот, то каков же будет эффект малых возмущений (внутренних или внешних) в системе? Или каково будет результирующее движение, если внешнее воздействие также оказывает осциллятор, частоты которого рационально связаны с частотами системы? В классической постановке гармонический (линейный) осциллятор, который подвергается воздействию внешних сил, находящихся в резонансе с осциллятором, будет увеличивать свою амплитуду безгранично. Однако в естественно-технических задачах это невозможно, так как не существует ни чисто линейных систем, ни диссипативных сил, которыми можно полностью гренебречь, а система распадется, когда амплитуда колебаний достигнет значения, достаточного для разрушения системы.

Частота линейного осциллятора не зависит от амплитуды, а при точном резонансе величина амплитуды стремится к бесконечности. Для нелинейного осциллятора частота зависит от соответствующей амплитуды (или наоборот), так что при изменении амплитуды в осцилляторе перестает выполняться условие резонансности частот. Тем не менее, если два нелинейных осциллятора находятся в резонансе, то общим явлением становится такое, когда резонансная система стационарна с ограниченными амшлитудами и фиксированными резонансами. Осцилляторы «захватываются в резонанс». Такая конфигурация в общем случае является устойчивой, в том смысле, что малые изменения в системе приводят к малым колебаниям около стационарной конфигурации. Асимптотическая устойчивость может оказаться только при наличии диссипативных сил, но не в консервативных системах.

Типичной задачей, иллюстрирующей проблему резонанса, особенно для читателей, работающих в области небесной механики, является задача о движении простого маятника. Эта задача была подробно исследована Брауном [14] и недавно еще более детальным образом Кинером [52]. Здесь мы не будем еще раз описывать этот пример, а лучше подойдем ₹ проблеме с более общей точки зрения.

В любом случае крайне важно понять, что поведение системы под действием возмущений и при выполнении условий резонансности можно только тогда изучить до конца, когда известны все особые точки соответствующей системы дифференциальных уравнений и их характеристики досконально исследованы. Для систем с одной степенью свободы в общем случае это простая задача, II классификация особых точек хорошо известна. Такая классификация была обобщена на случай систем с двумя степенями свободы [66], но ее геометрическая интерпретация практически невозможна. Более того, большее число геометрических теорий, пригодных для систем с одной степенью свободы (например, теорема Биркгофа о неподвижной точке, теорема Бендиксона – Пуавкаре, теория предельных циклов и аналогичные геометрические пробллемы), нельзя обобщить на случай систем с двумя и более числом степеней свободы.

Большинство результатов, относящихся к проблеме резонавсов в нелинейных системах и рассматривающихся здесь, являются описательными, за исключением только нескольких случаев. В большинстве случаев окончательный ответ приводится в виде уравнения Бохлина, к которому мы приходим применением принципа, известного главным образом под названием принципа минимума энергии или принципа сохранения устойчивых стационарных решений. В чисто историческом плане мы хотим упомянуть интересную статью Бакера [7], встретившегося с проблемой резонансов (малых делителей) в задачах небесной механики и давшего очень интересное описание поведения системы в типичной резонансной ситуации. Из этой работы можно почерпнуть много физических и математических рекомендаций. Сегодня за репение рассматриваемых вопросов берутся много авторов. Такое исследование, остающееся сегодня одним из лучпих, было проведено Арнольдом [5]. Рассматриваемая проблема не может быть отделена от вопроса о структурной устойчивости, однако даже для систем с двумя стешенями свободы результаты в этой области остаются скудными (см., например, [67]). Один известный результат проливает некоторый свет на теорию возмущений: гамильтоновы системы (не зависящие от времени) могут быть аппроксимированы структурно устойчивыми системами. Другими словами, для данной консервативной системы можно найти «очень близкую» (в смысле $C^{1}$ ), которая будет структурно устойчивой ${ }^{1}$ ). В этой связи мы еще раз упомянем возможные следстзия того факта, что любую систему обыкновенньх дифференциальных уравнений, приводимую к нормальной форме, можно записать в гамильтоновой форме (глава II, § 4). По нашему мнению, такую возможность надо использовать во всех случаях, чтобы воспользоваться специальными свойствами тамильтоновых систем, а особенно в связи со свойствами соответствующих инвариантных многообразий.