3.4. Принцип расширения

Принцип расширения позволяет перенести (расширить) различные математические операции с четких множеств на нечеткие множества. Рассмотрим некоторое четкое отображение  пространства  в пространство

.                (3.83)

Пусть  будет заданным нечетким множеством, определенным в пространстве , т.е. . Если нечеткое множество  имеет вид (3.3), т.е.

и отображение  является взаимно однозначным, то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением и определенное в пространстве  нечеткое множество  имеет вид

.                    (3.84)

Пример 3.14

Допустим, что

               (3.85)

и . В соответствии с принципом расширения получаем

.             (3.86)

Рассмотрим теперь ситуацию, в которой более чем один элемент множества  отображается в один и тот же элемент  (отображение  не является взаимно однозначным). В такой ситуации степень принадлежности элемента  к нечеткому множеству  равна максимальной степени принадлежности среди тех элементов множества , которые отображаются в один и тот же элемент . Для иллюстрации этой реализации принципа расширения рассмотрим следующий пример.

Пример 3.15

Если

              (3.87)

и , то нечеткое множество , генерируемое отображением , равно

,                      (3.88)

поскольку .

Обозначим  множество тех элементов , которые отображаются в элемент  преобразованием . Если  представляет собой пустое множество, т.е. , то степень принадлежности элемента  к нечеткому множеству  равна нулю. Приведенные рассуждения и иллюстрирующие их примеры позволяют сформулировать следующее определение:

Определение 3.17

Если существует некоторое четкое отображение вида (3.83) и задано нечеткое множество , то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением нечеткое множество  имеет вид

,                       (3.89)

где

                       (3.90)

Определение 3.17 охватывает пространство  как с конечным количеством элементов (когда множество  задается формулой (3.84)), так и с бесконечным количеством элементов. Во втором случае формируемое отображением  нечеткое множество  можно представить в виде

.                   (3.91)

В некоторых приложениях (например, в нечетких числах, п. 3.5) полезным оказывается другое представление принципа расширения, выражаемое следующим определением:

Определение 3.18

Пусть  - это декартово произведение четких множеств . Если существует некоторое четкое отображение

,                (3.92)

а также некоторые нечеткие множества , то принцип расширения гласит, что формируемое отображением  нечеткое множество  имеет вид

,                       (3.93)

при этом

                      (3.94)

Очередные два примера иллюстрируют факт, что принцип расширения позволяет переносить арифметические операции на нечеткие множества.

Пример 3.16

Допустим, что  - это декартово произведение множеств . Пусть  - это нечеткое множество чисел, «близких числу 2»:

,               (3.95)

тогда как  - нечеткое множество чисел, «близких числу 4»:

.               (3.96)

Если

,             (3.97)

то формируемое отображением (3.97) множество  будет нечетким множеством чисел, «близких числу 8», причем . Согласно определению 3.18 получаем

           (3.98)

Следующий пример иллюстрирует случай, когда элементу  принимает одно и то же значение при различных значениях элементов  и .

Пример 3.17

Допустим, что  - декартово произведение множеств . Определим следующее нечеткое множество  чисел, «близких числу 2»:

,               (3.99)

а также нечеткое множество чисел , «близких числу 3»

.               (3.100)

В этом случае формируемое отображением (3.97) множество  будет нечетким множеством чисел, «близких числу 6», причем . Согласно определению (3.18) получаем

      (3.101)