3.6. Треугольные нормы

В пункте 3.3 операции пересечения и суммирования нечетких множеств были определены как

,

.

Вместе с тем подчеркивалось, что это не единственные определения указанных операций. Пересечение нечетких множеств можно задать в более общем виде как

,                    (3.140)

где функция  - это так называемая -норма. Поэтому  можно считать примером действия -нормы. Аналогично, сумму нечетких множеств можно определить следующим образом:

,                    (3.141)

где функция  - это так называемая -норма.

В этом случае  можно считать примером действия -нормы. Другие примеры действия - и -норм дают определения (3.50) - (3.57). - и -нормы относятся к классу так называемых треугольных норм. Мы будем многократно применять их в последующем, причем не только для определения операций пересечения и суммирования нечетких множеств.

После знакомства с примерами действия - и -норм рассмотрим их формальные определения.

Определение 3.24

Функция  двух переменных

                       (3.142)

называется -нормой, если:

1) функция  является невозрастающей относительно обоих аргументов

 для , ,             (3.143)

2) функция  удовлетворяет условию коммутативности

,                  (3.144)

3) функция  удовлетворяет условию связности

,                      (3.145)

4) функция  удовлетворяет граничным условиям

, ,                   (3.146)

где .

Произвольная -норма ограничивается следующим образом:

,                    (3.147)

где  - это -норма вида

                 (3.148)

В последующем описании реализацию -нормы на аргументах  и  будем обозначать

.                    (3.149)

Если, например,  и  отождествить с функциями принадлежности нечетких множеств  и , то равенство (3.140) можно представить в виде

.             (3.450)

Определение 3.25

Функция  двух переменных

                       (3.151)

называется -нормой, если она является невозрастающей относительно обоих аргументов, удовлетворяет условию коммутативности и связности, а также граничным условиям

.                      (3.152)

Функция  также называется ко-нормой либо дополняющей нормой относительно -нормы. Произвольная норма ограничивается следующим образом:

,                   (3.153)

где  есть - норма вида

                (3.154)

Реализацию -нормы на аргументах  и  будем обозначать

.                    (3.155)

Следует подчеркнуть, что каждой -норме соответствует -норма, а зависимость между ними выражается равенством

.                      (3.156)

В таблице 3.1 представлены наиболее часто встречающиеся - и -нормы.

Таблица 3.1. Треугольные нормы