3.7. Нечеткие отношения и их свойства

Одним из основных понятий теории нечетких множеств считается понятие нечеткого отношения. Эти отношения позволяют формализовать неточные утверждения типа « почти равно » или « значительно больше чем ». Приведем определение нечеткого отношения и комбинации нечетких отношений.

Определение 3.26

Нечеткое отношение  между двумя непустыми множествами (четкими)  и  будем называть нечеткое множество, определенное на декартовом произведении , т.е.

.                          (3.157)

Другими словами, нечеткое отношение - множество пар

,                     (3.158)

где

                      (3.159)

- это функция принадлежности, которая каждой паре  приписывает ее степень принадлежности , которая интерпретируется как сила связи между элементами  и . В соответствии с принятым соглашением (п. 3.2) нечеткое отношение можно представить в виде

                 (3.160)

или

.                (3.161)

Пример 3.22

Применим определение 3.26 для формализации неточного утверждения « примерно равно ». Пусть  и . Отношение  можно определить следующим образом:

.                        (3.162)

Следовательно, функция принадлежности  отношения  имеет вид

                       (3.163)

Отношение  можно также задать в виде матрицы

,                                  (3.164)

где , , , а , , .

Пример 3.23

Пусть  - это длительность жизни человека. В этом случае отношение  с функцией принадлежности

                 (3.165)

представляет неточное утверждение «особа  намного старше особы ».

Следует подчеркнуть, что нечеткое отношение  - это нечеткое множество, поэтому сохраняют силу введенные в п. 3.3 определения операций пересечения, суммирования и дополнения:

,                 (3.166)

,                (3.167)

.                   (3.168)

В теории нечетких множеств важную роль играет понятие комбинации двух нечетких отношений. Рассмотрим три четких множества , ,  и два нечетких отношения  и  c функциями принадлежности  и .

Определение 3.27

Комбинацией типа  нечетких отношений  и  называется нечеткое отношение с функцией принадлежности

.                       (3.169)

Конкретная форма функции принадлежности  комбинации  зависит от -нормы, используемой в формуле (3.169). Если в качестве -нормы применяется , т.е. , то равенство (3.169) можно представить в виде

.                    (3.170)

Формула (3.170) известна в литературе под названием «комбинация типа sup-min». Если множество  имеет конечное количество элементов, то комбинация типа sup-min сводится к комбинации типа max-min в форме

.                   (3.171)

Пример 3.24

Допустим, что отношения  и  представлены матрицами

,                    ,                       (3.172)

причем , , . Комбинация типа max-min отношений  и  имеет вид

,                 (3.173)

где

,

,

,

,

,

.

Поэтому

.                       (3.174)

В таблице 3.2 собраны важнейшие свойства нечетких отношений, причем  означает единичную матрицу, а  - нулевую матрицу.

Таблица 3.2. Важнейшие свойства нечетких отношений

Как отмечалось в начале п. 3.6, для практических приложений особенно важна комбинация нечеткого множества с нечетким отношением. Комбинация этого типа будет многократно использоваться в последующем изложении. Рассмотрим нечеткое множество  и нечеткое отношение  с функциями принадлежности  и .

Определение 3.28

Комбинация нечеткого множества  и нечеткого отношения  обозначается  и определяется как нечеткое множество .

                   (3.175)

с функцией принадлежности

.                      (3.176)

Конкретная форма записи выражения (3.176) зависит от используемой -нормы и от свойств множества . Выделим 4 случая:

1) если , то получаем комбинацию типа sup-min

,                  (3.177)

2) если  и  представляет собой множество с конечным количеством элементов, то получаем комбинацию типа max-min

,                 (3.178)

3) если , то получаем комбинацию типа sup-произведение (sup-product)

,     (3.179)

4) если  и  представляет собой множество с конечным количеством элементов, то получаем комбинацию типа mах-произведение (max-product)

.                (3.180)

Пример 3.25

Допустим, что ,  и  имеет вид

,              (3.181)

тогда как отношение  представлено матрицей

.                     (3.182)

Комбинацию  типа max-min рассчитываем по формуле (3.178). Результат комбинации - это нечеткое множество  вида

,                    (3.183)

причем

,                          (3.184)

.                                 (3.185)

Поэтому

.                        (3.186)