3.9.1. Классический модуль нечеткого управления

На рис. 3.26 представлена типовая структура модуля нечеткого управления. Он состоит из следующих компонентов: базы правил, блока фуззификации (fuzzification), блока выработки решения, блока дефуззификации.

Рис. 3.26. Модуль нечеткого управления.

3.9.1.1. База правил

База правил, иногда называемая лингвистической моделью, представляет собой множество нечетких правил , , вида

: IF ( это  AND  это  … AND  это )

THEN ( это  AND  это  … AND  это ),           (3.224)

где - количество нечетких правил,  - нечеткие множества

, ,                   (3.225)

 - нечеткие множества

, ,                (3.226)

 - входные переменные лингвистической модели,     причем

,                    (3.227)

 - входные переменные лингвистической модели, причем

.                   (3.228)

Символами ,  и ,  обозначаются соответственно пространства входных и выходных переменных.

Для дальнейших рассуждений примем, что конкретные правила ,  связаны между собой логическим оператором «ИЛИ». Кроме того, допустим, что выходы  взаимно независимы. Поэтому без утраты общности будем использовать нечеткие правила со скалярным выходом в форме

: IF ( это  AND  это  … AND  это )

THEN ( это ),                     (3.229)

где  и .

Заметим, что каждое правило вида (3.229) состоит из части IF, называемой посылкой (antecedent), и части THEN, называемой следствием (consequent). Посылка правила содержит набор условий, тогда как следствие содержит вывод. Переменные  и  могут принимать как лингвистические (например, «малый», «средний», «большой»), так и числовые значения. Если ввести обозначения

,                       (3.230)

,                      (3.231)

то правило (3.229) можно представить в виде нечеткой импликации

, .                        (3.232)

Обратим внимание, что правило также можно интерпретировать как нечеткое отношение, определенное на множестве , т.е.  - это нечеткое множество с функцией принадлежности

.                (3.233)

При проектировании модулей нечеткого управления следует оценивать достаточность количества нечетких правил, их непротиворечивость и наличие корреляции между отдельными правилами. Эти проблемы детально обсуждаются в работах [5, 7, 26].

3.9.1.2. Блок фуззификации

Система управления с нечеткой логикой оперирует нечеткими множествами. Поэтому конкретное значение  входного сигнала модуля нечеткого управления подлежит операции фуззификации, в результате которой ему будет сопоставлено нечеткое множество . В задачах управления чаще всего применяется операция фуззификации типа синглетон (singleton):

                  (3.234)

Нечеткое множество  подается на вход блока выработки решения. Если входной сигнал поступает зашумленным, то нечеткое множество  можно определить функцией принадлежности

,                     (3.235)

где . В этом случае операция фуззификации имеет тип non-singleton.

3.9.1.3. Блок выработки решения

Допустим, что на вход блока выработки решения подано нечеткое множество . На выходе этого блока также появится соответствующее нечеткое множество. Рассмотрим два случая, которым будут соответствовать различные методы дефуззификации (п. 3.9.1.4).

Случай 1

На выходе блока выработки решения в соответствии с обобщенным нечетким правилом modus ponens получаем  нечетких множеств .

Нечеткое множество  определяется комбинацией нечеткого множества  и отношения , т.е.

, .               (3.237)

При использовании определения 3.28 можно задать функцию принадлежности нечеткого множества  в виде

.              (3.238)

Конкретная форма функции  зависит от применяемой -нормы (п. 3.6), определения нечеткой импликации  (п. 3.8.3) и от способа определения декартова произведения нечетких множеств (определение 3.14). Следует отметить, что если выполняется операция фуззификации типа синглетон (3.234), то выражение (3.238) принимает вид

.                 (3.239)

Пример 3.32

Если , -норма имеет тип min, нечеткая импликация определяется правилом типа min и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.71), то выражение (3.238) принимает вид

  (3.240)

Последнее равенство следует из того, что

                    (3.241)

и

.                       (3.242)

Пример 3.33

Если , -норма имеет тип произведение, нечеткая импликация определяется правилом типа произведение и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.72), то выражение (3.238) принимает вид

                     (3.243)

Пример 3.34

Если , -норма имеет тип min, нечеткая импликация определяется правилом типа произведение и декартово произведение нечетких множеств задано формулой (3.72), то получаем выражение

               (3.244)

Случай 2

На выходе блока выработки решения получаем одно нечеткое множество  по обобщенному нечеткому правилу modus ponens, которое принимает вид

При использовании комбинированного правила вывода получаем

,                  (3.246)

где . В силу определений 3.12 и 3.28 получаем

.                      (3.247)

Заметим, что вывод по схеме (3.245) - это результат комбинирования посылки  и глобального правила (отношения) , которое представляет собой обобщение отдельных правил , . Будем называть такой прием глобальным подходом к проблеме синтеза блока выработки решения.

Допустим теперь, что выполняется равенство

.                     (3.248)

Легко проверить [22], что равенство (2.248) соблюдается, если правила нечеткой импликации (п. 3.8.3) определены -нормой типа min или произведение. При использовании определений 3.12 и 3.28 получаем функцию принадлежности нечеткого множества  в виде

,                   (3.249)

причем функция принадлежности  задается выражением (3.238).

В этом случае вывод по схеме (3.245) представляет собой результат локального комбинирования (3.238) посылки  и правила ,  с последующим агрегированием, которое определяется равенством (3.249). Будем называть такой прием локальным подходом к проблеме синтеза блока выработки решения.

Пример 3.35

Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил

: IF ( это  AND  это ) THEN ( это ),             (3.250)

: IF( это  AND  это ) THEN ( это ).                        (3.251)

На его вход подан сигнал . После выполнения фуззификации типа синглетон на входе блока выработки решения получаем нечеткие множества  и , причем

, .                    (3.252)

Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом . Воспользуемся выражением (3.238), которое принимает вид

.                 (3.253)

В качестве -нормы будем применять операцию minimum. Кроме того, допустим, что

                  (3.254)

В этом случае

                       (3.255)

В качестве нечеткой импликации

                 (3.256)

можно применить одно из десяти правил, представленных в п. 3.8.3. При использовании правила типа minimum получаем

.               (3.257)

Кроме того,

.                       (3.258)

В результате

                     (3.259)

.                       (3.260)

На рис. 3.27 представлена графическая интерпретация нечеткого вывода.

Рис. 3.27. Иллюстрация к примеру 3.35.

Пример 3.36

В этом примере мы повторим рассуждения, проведенные в примере 3.35, однако вместо нечеткой импликации (3.257) применим правило типа «произведение», т.е.

.             (3.261)

В результате использования правил (1) и (2) получаем нечеткое множество  с функцией принадлежности

.            (3.262)

В этом случае

.                    (3.263)

Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.28.

Рис. 3.28. Иллюстрация к примеру 3.36.

Пример 3.37

Рассмотрим модуль нечеткого управления, описанный в примере 3.35, при условии, что входные сигналы (числовые)  и  подвергаются операции фуззификации, в результате которой на входе блока выработки решения появляются нечеткие множества  и  с функциями принадлежности  и . Другими словами, мы отступаем от соотношений (3.252), ограничивающих класс множеств  и  нечеткими синглетонами. Другие принципы, сформулированные в примере 3.35, остаются в силе. В соответствии с выражением (3.238) получаем

                  (3.264)

Для упрощения последующих формул операцию min обозначим символом . При этом

      (3.265)

В результате

           (3.266)

Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.29.

Рис. 3.29. Иллюстрация к примеру 3.37.

Пример 3.38

В примере 3.37 мы предположили, что нечеткая импликация имеет тип minimum, т.е.

.

Применим теперь импликацию типа «произведение»

.

Остальные условия такие же, как в примере 3.37. По аналогии с предыдущим примером получаем

        (3.267)

Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.30.

Рис. 3.30. Иллюстрация к примеру 3.38.

Пример 3.39

В примере 3.37 мы предположили, что -норма, декартово произведение и нечеткая импликация определяются с помощью операции minimum. Теперь заменим эту операцию на произведение. В соответствии с формулой (3.238) получаем

(3.268)

Функцию принадлежности нечеткого множества  зададим согласно формулам (3.268) и (3.249). Графическая интерпретация нечеткого вывода представлена на рис. 3.31.

Рис. 3.31. Иллюстрация к примеру 3.39.

В таблице 3.5 сгруппированы способы определения операции фуззификации, -нормы, декартова произведения и нечеткой импликации из примеров 3.35 - 3.39.

Таблица 3.5. Способы определения операции фуззификации, -нормы, декартова произведения и нечеткой импликации из примеров 3.35 - 3.39

Пример 3.40

Ранее мы рассматривали правила вида (3.229). В этом примере два первых правила  и  представляют собой частные случаи выражения (3.229), тогда как правило  содержит связку OR

: IF ( это  AND  это ) THEN ( это ),

: IF ( это  AND  это ) THEN ( это ),

: IF ( это  OR  это ) THEN ( это ).

На рис. 3.32 показана графическая интерпретация нечеткого вывода при условии, что -норма, декартово произведение и правило нечеткой импликации имеют тип min. Обсуждаемая проблема решается и другим способом. Для этого обратим внимание на то, что правило можно представить в виде двух правил  и :

: IF ( это ) THEN ( это ),

: IF ( это ) THEN ( это ).

Рис. 3.32. Иллюстрация к примеру 3.40.

Мы получили правила , , и , которые представляют собой частные случаи выражения (3.229). Читатель с легкостью выведет аналитическую форму функции принадлежности множества , базируясь на результатах примера 3.37.

3.9.1.4. Блок дефуззификации

На выходе блока выработки решения формируется либо  нечетких множеств  (случай 1, п. 3.9.1.3) с функциями принадлежности , , либо одно нечеткое множество  (случай 2, п. 3.9.1.3) с функцией принадлежности . Встает задача отображения нечетких множеств  (либо нечеткого множества ) в единственное значение , которое представляет собой управляющее воздействие, подаваемое на вход объекта. Такое отображение называется дефуззификацией (defuzzification), и реализуется оно в одноименном блоке.

Если на выходе блока выработки решения формируется  нечетких множеств , то значение  можно рассчитать с помощью различных методов.

1. Метод дефуззификации по среднему центру (сenter average defuzzification). Значение  рассчитывается по формуле

,             (3.269)

где  - это точка, в которой функция  принимает максимальное значение, т.е.

.                  (3.270)

Точка  называется центром (center) нечеткого множества .

На рис. 3.33 представлена идея этого метода для . Обратим внимание, что значение  не зависит от формы и носителя функции принадлежности .

Рис. 3.33. Иллюстрация метода дефуззификации по среднему центру.

2. Метод дефуззификации по сумме центров (center of sums defuzzification). Значение  рассчитывается следующим образом:

.                       (3.271)

Если выходное значение блока выработки решения представляет собой единственное нечеткое множество , то значение  можно определить с применением следующих двух методов.

3. Метод центра тяжести (center of gravity method, center of area method). Значение  рассчитывается как центр тяжести функции принадлежности , т.е.

                  (3.272)

при условии, что оба интеграла в приведенном выражении существуют. На рис. 3.34 иллюстрируется способ определения значения  по методу центра тяжести.

Рис. 3.34. Иллюстрация метода центра тяжести.

4. Метод максимума функции принадлежности. Значение  рассчитывается в соответствии с формулой

                        (3.273)

при условии, что  - это унимодальная функция. Этот метод не учитывает форму функции принадлежности, что иллюстрируется на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Иллюстрация метода максимума функции принадлежности.