§ 14. Упругие силы

Под действием приложенных к нему сил всякое реальное тело деформируется, т. е. изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного тела предел (предел упругости).

Рис. 14.1.

Рис. 14.2.

Возьмем пружину, имеющую в недеформированном состоянии длину и приложим к ее концам равные по величине, противоположно направленные силы (рис. 14.1). Под действием этих сил пружина растянется на некоторую величину после чего наступит равновесие. В состоянии равновесия внешние силы будут уравновешены упругими силам», возникшими в пружине в результате деформации. Опыт дает, что при небольших деформациях удлинение пружины оказывается пропорциональным растягивающей силе: Соответственно упругая сила оказывается пропорциональной удлинению пружины:

Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом жесткости пружины.

Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука.

Упругие натяжения возникают во всей пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой, определяемой формулой (14.1). Поэтому, если разрезать пружину пополам, та же по величине упругая сила будет возникать в каждой из половин при в два раза меньшем удлинении.

Отсюда заключаем, что при заданных материале пружины и размерах витка величина упругой силы определяется не абсолютным удлинением пружины а относительным удлинением

При сжатии пружины также возникают упругие натяжения, но другого знака. Обобщим формулу (14.1) следующим образом. Закрепим один конец пружины неподвижно (рис. 14.2), а удлинение пружины будем рассматривать как координату другого конца, отсчитываемую от его положения, отвечающего недеформированной пружине. Кроме того, обозначим проекцию упругой силы на ось через Тогда, можно написать, что

(из рис. 14.2 видно, что проекция упругой силы на ось и координата всегда имеют разные знаки).

Однородные стержни ведут себя при растяжении или одностороннем сжатии подобно пружине. Если к концам стержня приложить направленные вдоль его оси силы F и действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня получит положительное (при растяжении) лнбо отрицательное (при сжатии) приращение (рис. 14.3). В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:

Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

( — коэффициент пропорциональности).

Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую действует сила, называется напряжением. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела — весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным.

Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным. Нормальное напряжение принято обозначать буквой , тангенциальное — буквой .

Отношение в формуле (14.4) представляет собой нормальное напряжение . Следовательно, этой формуле можно придать вид:

Для Характеристики упругих свойств материала пользуются величиной которая называется модулем Юнга. Измеряется эта величина в паскалях ).

Заменив в (14.5) а на Е, получим соотношение:

из которого следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т. е. приращение длины было бы равно первоначальной длине если бы столь большие упругие деформации были возможны (в действительности при значительно меньших напряжениях происходит разрушение стержня, еще раньше достигается предел упругости).

Рис. 14.3.

Рис. 14.4.

Решив уравнение (14.4) относительно F и заменив через а через получим формулу

где k — постоянный для данного стержня коэффициент. Соотношение (14.7) выражает закон Гука для стержня Напомним, что этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.

В заключение рассмотрим кратко деформацию сдвига. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы направленные параллельно этим граням (рис. 14.4).

Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение

— площадь грани). Под действием напряжений тело деформируется так, что одна грань сместится относительно другой на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев. По этой причине деформация такого вида получила название сдвига.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к слоям, повернется на некоторый угол . В качестве характеристики деформации сдвига берется величина

называемая относительным сдвигом (смысл величин а и b ясен из рис. 14.4). При упругих деформациях угол бывает очень мал. Поэтому можно положить Следовательно, относительный сдвиг у оказывается равным углу сдвига

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:

(14.10)

Коэффициент G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 45° , если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости. Измеряется G, как и Е, в паскалях (Па).