§ 40. Дипольный момент

Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы.

Введем систему координат с началом где-нибудь внутри си стемы зарядов. Радиус-векторы отдельных зарядов пусть будут Потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке с радиус-вектором равен

(суммирование производится по всем зарядам); здесь — радиус-векторы от зарядов к точке, где мы ищем потенциал. Мы должны исследовать это выражение для больших Для этого разложим его в ряд по степеням воспользовавшись формулой

(в дифференцирование производится по координатам конца вектора ). С точностью до членов первого порядка

Сумма

носит название дипольного момента системы зарядов. Существенно, что если сумма всех зарядов равна нулю, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Действительно, радиус-векторы одного и того же заряда в двух разных системах координат связаны друг с другом соотношением

где а — некоторый постоянный вектор. Поэтому если то дипольный момент в обеих системах одинаков:

Если обозначить посредством положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то можно написать дипольный момент в виде

где

(406)

— радиус-векторы «центров зарядов» положительных и отрицательных. Если , то

где есть радиус-вектор от центра отрицательных к центру положительных зарядов. В частности, если имеются всего два заряда, то есть радиус-вектор между ними.

Если полный заряд системы равен нулю, то потенциал ее поля на больших расстояниях

Напряженность поля

или окончательно

где n — единичный вектор в направлении

Полезно также указать, что ее можно представить, до выполнения дифференцирований, в виде

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой с равным нулю полным зарядом, на больших расстояниях обратно пропорционален квадрату, а напряженность поля — кубу расстояния. Это поле обладает аксиальной симметрией вокруг направления d. В плоскости, проходящей через это направление (которое выберем в качестве оси ), компоненты вектора Е:

Радиальная же и тангенциальная составляющие в этой плоскости

(40,11)