Поле комплексных чисел.

В упорядоченном поле квадрат любого ненулевого элемента положителен. Следовательно, в поле действительных чисел квадрат любого действительного числа отличен от —1. В силу теоремы 7.3 существует комплексное расширение поля действительных чисел По теореме 7.4, изоморфны любые два комплексных расширения поля действительных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полем комплексных чисел называется комплексное расширение поля действительных чисел.

Пусть — поле действительных чисел. Пусть — поле комплексных чисел, комплексное расширение поля Основное множество поля обозначим через С.

Элементы множества С называются комплексными числами. Обозначим через i такое комплексное число, что и любое комплексное число из С можно представить в виде , где . Это представление называется алгебраической формой числа z. Число i называется мнимой единицей поля комплексных чисел.

ТЕОРЕМА 7.5. Пусть — поле комплексных чисел, комплексное расширение поля действительных чисел, и - любые действительные числа. Тогда

Доказательство. Пусть то . Если же то R и что невозможно. Следовательно, случай, когда невозможен. Поскольку — поле, то имеют место равенства (2), (3) и (4).

Пусть . В силу или . Так как произведение любых двух ненулевых элементов поля отлично от нуля, то Следовательно,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовым полем называется любое подполе поля комплексных чисел.

Любое числовое поле содержит подполе рациональных чисел. В самом деле, пусть — любое числовое поле. Так как и множество F замкнуто относительно операций то Следовательно, F содержит все целые числа. Множество F замкнуто относительно деления и, значит, содержит все элементы вида обозначаемые символом Следовательно, F содержит множество Q всех рациональных чисел. Множество Q замкнуто относительно главных операций поля и всякий ненулевой элемент из Q обратим в Q.

Значит, алгебра является подполем поля Следовательно, числовое поле содержит подполе рациональных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовым кольцом называется любое подкольцо поля комплексных чисел.

Так, например, кольца являются числовыми. Подкольцо поля порожденное элементом i и обозначаемое есть числовое поле.

Сопряженные комплексные числа. Если , где то число обозначается через .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексные числа называются сопряженными.

Напомним, что изоморфное отображение поля на себя называется автоморфизмом поля.

ТЕОРЕМА 7.6. Если — любые комплексные числа, то

Доказательство теоремы предоставляется читателю.

СЛЕДСТВИЕ 7.7. Отображение поля комплексных чисел в себя, ставящее в соответствие любому комплексному числу z сопряженное число 1, является автоморфизмом поля оставляющим неизменными действительные числа.