§ 8.11. Замкнутое множество

Множество  называется ограниченным, если существует число  такое, что

,

иначе говоря,  если существует шар в  с центром в нулевой точке, содержащей в себе .

Множество  называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек  , принадлежащих к , сходится к точке   следует, что  принадлежит к  .

В этом определении не утверждается, что  содержит в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится только, что если в  существует сходящаяся последовательность, то точка, к которой она сходится, принадлежит к .

Это показывает, что надо считать, что пустое множество замкнуто. Все пространство  тоже, очевидно, замкнуто, но не ограничено.

Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмерном пространстве

,                     (1)

т. е. множество точек , удовлетворяющих уравнению (1). Обозначим это множество через . Это ограниченное множество, потому что для любой его точки  выполняется неравенство

,

где . Оно также замкнуто, потому что если задать произвольную последовательность  точек , стремящуюся к точке , то эта последняя тоже принадлежит к . Ведь из равенства

после перехода к пределу при  следует равенство

,

показывающее, что .

Рассмотрим теперь более обширное множество , состоящее из точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

.                                (2)

Множество , очевидно, тоже ограничено. Оно и замкнуто, потому что если

,

т. е.

и , то очевидно,

,

т. е. .

В связи с этим интересно рассмотреть еще третий пример множества  точек  с координатами, удовлетворяющими строгому неравенству

.                              (3)

Множество  открытое (см. § 8.3), оно не замкнуто. Возьмем, например, последовательность точек ,  где    стремится к числу ,  строго возрастая. Тогда  и . Однако, предельная точка  не принадлежит к .

Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем пространстве  задана непрерывная функция . Тогда множество  всех точек , для которых выполняется равенство

,                                  (4)

где  - произвольное число, замкнуто.

В самом деле, может случиться, что нет вовсе точек , удовлетворяющих равенству (4), т. е.  - пустое множество, но пустое множество замкнуто. Пусть теперь  не пустое множество и некоторая последовательность точек  , принадлежащих к , сходится к точке  (если  состоит даже из одной точки , то можно уже построить сходящуюся последовательность точек, принадлежащих к , а именно, ) . Тогда ,  и в силу непрерывности  в точке .

.

Но тогда , т. е. множество  замкнуто.

Подобным образом множество всех точек , удовлетворяющих неравенству    где  - произвольное число, а - функция, непрерывная на , замкнуто, потому что из соотношений

вследствие непрерывности  на  следует: .

В силу сказанного -мерный эллипсоид

                          (5)

есть замкнутое множество в .

Замкнутым множеством в  является также -мерный объемный эллипсоид

.                                         (6)

Однако множество

,                                        (7)

которое естественно назвать -мерным открытым объемным эллипсоидом, не замкнуто. В этом можно убедиться, рассуждая, как в случае формулы (3). Это множество открытое (см. § 8.3).

Пусть  есть произвольное множество, принадлежащее к , и  - произвольная точка . Может быть только три взаимно исключающих друг друга случая:

1. Существует шар  (открытый) с центром в точке , полностью принадлежащий к  . В этом случае  по определению есть внутренняя точка множества  (см. § 8.3).

2. Существует шар  с центром в , все точки которого не принадлежат к . В этом случае  по определению есть внешняя точка множества .

3. В любом шаре  с центром в  имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к . В этом случае по определению есть граничная точка множества .

Множество  всех внутренних точек множества   называется открытым ядром . Это – открытое множество (см. § 8.3).  Если  не пусто, то каждую точку  можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим к . Если  - пустое множество, то оно формально считается открытым.

Множество  всех граничных точек  называется границей множества .  Это – замкнутое множество, потому что, если  и , то всякий открытый шар  с центром в  содержит в себе некоторую точку . Последнюю можно покрыть шаром  с центром в ней, полностью принадлежащим к  . Но в  имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к , но тогда и  в  имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к . Следовательно, .

Множество  всех внешних точек множества , очевидно, открытое.

Граничные точки  могут принадлежать и не принадлежать к множеству .

На рис. 97 множество  состоит из точек :

.

Открытое его ядро из точек

.

Внешность  множества :

.

Граница  множества :

.

Рис. 97

 открытые,   и   замкнутые.

Итак, если задано произвольное множество , то по отношению к нему пространство  можно представить в виде суммы множеств, определенных выше, попарно не пересекающихся:

.

Если в качестве множества  рассмотреть -мерный замкнутый объемный эллипсоид (6), то  есть открытый объемный эллипсоид (7), а  есть эллипсоид (5).

Если  - открытое множество, то  замкнутое, и обратно. В самом деле, пусть   - открытое, и пусть , . Если бы точка  принадлежала к , то в силу того, что  - открытое множество, нашелся бы шар  (с центром в ), полностью принадлежащий к . Но это невозможно, потому что в  имеются точки , которые принадлежат к . Таким образом,  и  замкнуто.

Пусть теперь  замкнуто и точка . Если бы точка  была граничной точкой , то в любом шаре  с центром в  были бы точки . Тогда можно было бы построить последовательность точек , сходящуюся к . Но тогда вследствие замкнутости  точка  принадлежала бы  к , что противоречит предположению, что . Мы доказали, что произвольная точка  есть внутренняя точка , т. е. что  - открытое множество.

Множество  называется замыканием  и обозначается так:

.

Очевидно,

,

потому что, с одной стороны, , и, следовательно, , а с другой, если , то либо , и тогда , либо  и ,  но тогда .

Далее,  - замкнутое множество, потому что внешность  - открытое множество.

Таким образом, чтобы получить  , надо добавить к  все не принадлежащие к множеству  его граничные точки.

Если  замкнуто, то

,

т. е. все граничные точки  принадлежат к . Ведь  открыто и каждая точка  может быть покрыта шаром , не содержащем в себе ни одной точки . Но и обратно, если

,

то  замкнуто, потому что если ,  и если предположить, что , то получится противоречие, потому что тогда .

Таким образом, для того чтобы множество  было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало его замыкание . В частности,  всегда замкнуто, и потому .

Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство  являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если множество  открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто.