Глава 1. СПЕКЛЫ В ИЗОБРАЖЕНИИ ДИФФУЗНОГО ОБЪЕКТА, ОСВЕЩАЕМОГО ЛАЗЕРОМ

§ 1. Изображение точечного источника света, преобразование Фурье

Пусть идеальный объектив О освещается точечным источником испускающим монохроматическое излучение с длиной волны К (рис. 1). Сферическая волна 2, исходящая из точки преобразуется в сходящуюся сферическую волну 27 с центром в точке геометрическом изображении точечного источника 5. Известно, что действительное изображение в точке представляет собой небольшое по размеру световое пятно, структура которого определяется явлением дифракции. Структура пятна, или вид дифракционной картины, зависит от формы отверстия, образуемого оправой объектива. Чтобы определить эту структуру, необходимо рассмотреть явление дифракции на бесконечности — явление Фраунгофера. Выражение «дифракция на бесконечности» легко понять, если представить себе, что объектив О заменен двумя другими объективами с фокусными расстояниями в 2 раза большими, чем у объектива О. Тогда источник будет находиться в фокальной точке первого из этих объективов, а изображение в задней фокальной точке второго. Таким образом, второй объектив освещается источником, расположенным на бесконечности.

Если известна форма волновой поверхности 2, то можно рассчитать структуру дифракционного изображения точечного источника исходя из принципа Гюйгенса — Френеля. Предположим, что угловая апертура 2а объектива в пространстве изображений невелика и мы можем считать величину а равной единице. Принцип Гюйгенса — Френеля позволяет математически описать явление дифракции, пользуясь преобразованием Фурье. Амплитуда в какой-либо точке плоскости находится как фурье-образ (или спектр) распределения амплитуд и фаз на волновой поверхности 2. И наоборот, можно вычислить распределение амплитуд и фаз на волновой поверхности 2, если известно распределение амплитуд и фаз в дифракционной картине в точке Распределение амплитуд и фаз на волновой поверхности 2 есть обратный фурье-образ распределения амплитуд и фаз в дифракционной

картине. На основе преобразования Фурье и его свойств явление дифракции рассчитывается просто и изящно.

Рис. 1. Точечный источник и его изображение Рассмотрим для примера объектив О с круглой оправой. Амплитуда в плоскости изображения дается фурье-образом круговой функции. Пусть диаметр объектива О равен 2а, а положение произвольной точки в которой вычисляется амплитуда, определяется углом Введем обозначения

Амплитуда в точке будет равна действительной величине

где функция Бесселя первого порядка переменной

Рис. 2. Распределение амплитуды в картине дифракции на круглом отверстии.

Рис. 3. Распределение интенсивности в картине дифракции на круглом отверстии.

Кривые на рис. 2 и 3 показывают, как изменяются амплитуда и интенсивность в зависимости от Очевидно, что рассматриваемая дифракционная картина имеет круговую симметрию (ее называют кругом Эйри). В ней имеется очень яркое центральное пятно, окруженное последовательностью светлых и темных колец. Нетрудно видеть, что амплитуда нечетных светлых колец отрицательна.

Интенсивность светлых колец значительно меньше интенсивности центрального пятна и быстро убывает от центра к периферии. Для первого темного кольца таблица функций Бесселя дает значение По формуле (1.1) можно вычислить угловой радиус этого кольца:

Угловой диаметр центрального дифракционного пятна называют также угловым диаметром дифракционной картины.

Рис. 4. а — картина дифракции на щели шириной дифракционная картина в случае кольцевого отверстия; в — дифракционная картина для круглого отверстия при поглощении, увеличивающемся от центра к краям.

Он будет тем больше, чем меньше диаметр 2а объектива О. Если ввести обозначение и учесть, что то линейный диаметр дифракционной картины в плоскости (рис. 1) будет равен

Так, в случае объектива с угловой апертурой при (желтая линия спектра) диаметр дифракционной картины составит 6 мкм.

На рис. 4 показано распределение интенсивности в дифракционной картине в трех разных случаях: рис. 4, а соответствует диафрагмированию объектива О экраном со щелью шириной рис. 4,б — диафрагмированию объектива О экраном с отверстием в виде узкого кольца и, наконец, рис. 4,8 — случаю, когда объектив с круглой оправой имеет неравномерное пропускание. Если, например, от центра к краям объектива поглощение увеличивается по закону Гаусса, то распределение интенсивности в дифракционной картине тоже следует закону Гаусса.