§ 6. Спектр большого числа когерентных точечных источников, образующих идентичные, одинаково ориентированные и хаотически расположенные пары

Пусть в экране (рис. 14) имеются совершенно одинаковые малые отверстия, объединенные в пары, которые мы обозначим через Расстояние между двумя отверстиями одной пары одинаково для всех пар и равно

Рис. 14. Спектр экрана, содержащего большое число хаотически расположенных пар отверстий.

Прямые, соединяющие отверстия одной пары параллельны одному и тому же выделенному направлению и, следовательно, параллельны друг другу. Пары отверстий расположены в плоскости хаотически. Такой экран с парами отверстий можно получить простым смещением экрана с одиночными отверстиями на расстояние в его плоскости. Не рассматривая центральной области вокруг точки и учитывая полученные ранее результаты, можно сказать, что спектр полного набора отверстий имеет такой же вид, как и спектр одной пары малых отверстий, но интенсивность его в раз больше, чем число пар. Как известно, спектр двух малых отверстий состоит из полос Юнга, вытянутых в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей эти отверстия. Угловое расстояние между двумя соседними светлыми или темными полосами равно

Представим точечные источники функцией двух переменных Экран , содержащий полный набор отверстий, можно представить сверткой

дельта-функция для точки с координатами поскольку смещение экрана эквивалентнг свертке с дельта-функцией кроме того,

Спектр, соответствующий набору отверстий в экране вычисляется как фурье-образ выражения (1.8), в ротором функция дает амплитуду в точке с координатами Функция описывает диффузор, а ее фурье-образ -структуру, возникающую в фокальной плоскости

Рис. 15. Спектр экрана, содержащего большое число хаотически расположенных малых щелей.

Известно, что фурье-образ суммы двух дельта-функций равен Тогда, поскольку мы не рассматриваем центральной области вокруг точки фурье-образ распределения (1.8) амплитуд в плоскости экрана будет равен

С точностью до постоянного множителя для интенсивности будем иметь выражение

откуда видно, что диффузный фон модулирован полосами Юнга, расстояние между которыми дается формулой (1.7). Заметим, что для описания экрана содержащего рассматриваемый набор отверстий, мы могли воспользоваться функцией автокорреляции с тремя амплитудными значениями 1, 2, 1. Ее фурье-образ есть функция вида и сразу дает распределение интенсивности в фокальной плоскости

Рассмотрим теперь малые отверстия в виде узких параллельных светящихся щелей, вытянутых в одном и том же направлении и хаотически расположенных в экране (рис. 15). Длина всех щелей одинакова и равна Будем рассматривать щели как когерентные источники. Пусть число щелей; тогда спектр в плоскости имеет тот же вид, что и спектр для одной щели, но интенсивность его в раз больше.

Здесь мы снова не рассматриваем дифракционную картину, расположенную непосредственно вблизи точки хотя она и имеет значительную интенсивность. Тогда в плоскости будет наблюдаться классический спектр одной щели, интенсивность в котором меняется в направлении параллельном нашим щелям. При этом, поскольку щели считаются бесконечно узкими, интенсивность света в направлении, перпендикулярном щелям, будет постоянной. Пренебрегая дифракционными полосами высоких порядков, можно сказать, что в наблюдаемом спектре дифрагированный свет сосредоточен в узкой полосе шириной

Рассмотрим теперь совокупность точечных источников, каждый из которых расположен на одном из концов всех бесконечно узких щелей. Как и ранее, эту совокупность можно описать функцией Тогда экран со всеми щелями будет описываться сверткой

поскольку каждая щель описывается сверткой одного из ее концов с прямоугольной функцией шириной Амплитуда спектра в плоскости будет описываться функцией

а интенсивность — функцией

Отсюда видно, что диффузный фон модулирован функцией описывающей дифракционную картину от одной щели шириной Заметим, что это выражение для интенсивности можно сразу получить как фурье-образ функции автокорреляции прямоугольной функции.