2-3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Теория подобия — это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован. Как известно, геометрически подобные фигуры, например треугольники на рис. 2-7, обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны, т. е.

где — линейные размеры одной фигуры;

— сходственные линейные размеры другой фигуры, подобной первой; — коэффициент пропорциональности или постоянная геометрического подобия.

Условие (2-11) является математической формулировкой геометрического подобия. Оно справедливо для любых сходственных отрезков подобных фигур, например высот, медиан и др. Если к тому же подобные фигуры ориентированы одинаково, то вследствие равенства соответственных углов их сходственные стороны параллельны. Зная условия подобия, можно решить целый ряд практических задач. На основании свойств подобия треугольников, например, можно определить высоту дерева или ширину реки, не производя самих измерений высоты и ширины.

Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Можно говорить, например, о подобии картины движения двух потоков жидкости — кинематическом подобии; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения — динамическом подобии; о подобии картины распределения температур и тепловых потоков — тепловом подобии и т. д.

В общем случае понятие подобия физических явлений сводится к следующим положениям:

а) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и аналитически описываются уравнениями, одинаковыми как по форме, так и по содержанию.

Рис. 2-7. Геометрически подобные треугольники.

Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, например, между процессами теплопроводности, электропроводности и диффузии.

б) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах.

в) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Сходственными точками геометрически подобных систем называются такие, координаты которых удовлетворяют условию (2-11):

Два промежутка времени и называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия, т. е. .

г) Наконец, подобие двух физических явлений означает подобие всех величину характеризующих рассматриваемые явления. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина первого явления пропорциональна однородной с ней величине второго явления, т. е.

Коэффициент пропорциональности называется константой (постоянной) подобия; ни от координат, ни от времени не зависит. При этом каждая физическая величина <р имеет свою постоянную подобия , численно отличную от других. Чтобы знать, к какой величине относится постоянная подобия, при каждой из них ставится соответствующий индекс.

Таким образом, сущность подобия двух явлений означает подобие полей одноименных физических величин, определяющих эти явления. Так, в процессе конвективного теплообмена температура, скорость, давление, а также часто и физические параметры среды (коэффициенты вязкости, теплопроводность, плотность и др.) в различных точках могут иметь различные значения. Подобие двух таких процессов означает подобие всех этих величин во всем объеме рассматриваемых систем, т. е. подобие полей этих величин. Для каждой из этих величин: скорости температурного напора и т. д. существует своя постоянная подобия и т. д. Полный перечень всех величин, характеризующих рассматриваемые явления, может быть установлен только при наличии математического описания явлений.

Постоянные подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или выбирать произвольно. Между ними всегда имеются строго определенные соотношени , которые выводятся из анализа математического описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых числами подобия (инвариантами) , которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Числа подобия являются безразмерными комплексами, составленными из величин, характеризующих явление. Нулевая размерность является их характерным свойством. Числа подобия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей области наук, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий, например: Re (Reynolds), Eu (Euler), Nu (Nusselt) или просто буквами: К, N и др.

Числа подобия можно получить для любого физического процесса. Для этого необходимо иметь его математическое описание. Последнее является необходимой предпосылкой теории подобия.

Без этого все учение о подобии свелось бы лишь к простому определению подобия.

Основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трех теорем. Первая теорема подобия устанавливает связь между постоянными подобия и позволяет выявить числа подобия. В общей форме эта теорема формулируется так: подобные между собой процессы имеют одинаковые числа подобия.

На основании второй теоремы подобия зависимость между переменными, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия :

Зависимость вида (2-13) называется уравнением подобия. Так как для всех подобных между собой процессов числа подобия сохраняют одно и то же значение, то уравнения подобия для них также одинаковы. Следовательно, представляя результаты какого-либо опыта в числах подобия, мы получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой процессов.

До сих пор рассматривались свойства подобных между собой явлений, когда подобие уже существует. Однако возможна и обратная постановка вопроса: какие условия необходимы и достаточны, чтобы процессы были подобны. На такой вопрос дает ответ третья теорема подобия, которая формулируется так: подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, должны иметь одинаковое численное значение.

На основании этой теоремы оказывается необходимым особо выделить числа подобия, составленные только из величин, входящих в условия однозначности. Они называются определяющими или критериями подобия. Инвариантность (одинаковость) определяющих чисел подобия является условием, которое должно быть выполнено для получения подобия. Одинаковость же чисел подобия, содержащих и другие величины, не входящие в условия однозначности, получается сама собой как следствие установившегося подобия; эти числа подобия называются определяемыми.

Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них числа подобия и, используя опытные данные, установить уравнения подобия, которые справедливы для всех подобных между собой процессов.

Такие обобщенные зависимости, однако, ограничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих ограничений. Всегда нужно помнить, что общего решения теория подобия не дает: она позволяет лишь обобщить опытные данные в области, ограниченной условиями подобия.

Поэтому результаты отдельного опыта закономерно распространять только на подобные между собой явления и процессы.

Поясним общие положения теории подобия на частном примере из гидромеханики. Для этого рассмотрим один из простых случаев стационарного изотермического вынужденного движения жидкости или газа внутри плоского канала. Схема такого движения показана на рис. 2-8. На входе в канал скорость движения постоянна. По мере продвижения среды вдоль канала, вследствие сил вязкого трения частицы жидкости вблизи поверхностей замедляются. В потоке возникает переменное поле скоростей.

Приведем анализ подобия таких течений. Для этого рассмотрим два геометрически подобных канала с размерами соответственно и .

Геометрическое подобие систем характеризуется постоянной геометрического подобия:

Сходственные точки в этих системах определяются координатами , которые связаны между собой с помощью постоянной геометрического подобия:

Для стационарных течений система дифференциальных уравнений может быть записана в следующем виде:

Уравнение (2-16) получено из общего уравнения движения Навье—Стокса (приведенного в § 2-2). При этом отметим следующее. В полном уравнении Навье—Стокса стоит величина — сила тяжести единичного объема среды. Однако сила тяжести может влиять на картину и характер течения среды только в двух случаях.

Рис. 2-8. К анализу подобия вынужденного изотермического движения жидкости в плоских каналах.

Во-первых, при наличии пространственной неравномерности распределения плотности среды. Тогда в системе возникают токи свободной конвекции.

Во-вторых (если плотность постоянна), сила тяжести может влиять на картину течения жидкости при наличии в системе свободных поверхностей, т. е. по существу в двухфазных системах.

Оба эти случая будут рассмотрены ниже.

В вынужденном потоке постоянной плотности без свободных поверхностей масса каждого элемента среды уравновешивается гидростатическим приростом давления , т. е. переменной в пространстве частью давления, которая существовала бы в системе в состоянии покоя жидкости:

Поэтому во всех таких случаях сила тяжести полностью выпадает из уравнения движения, если под давлением р понимать разность между полным давлением Р и гидростатическим приростом давления , т. е. . Именно эта величина и содержится в уравнении (2-16).

Система уравнений (2-16) и (2-17) позволяет установить список существенных для процессов величин. Поскольку давление р входит в уравнение только под знаком производной, то это обозначает, что для процесса имеет значение только перепад давлений, а не абсолютное его значение. В качестве перепада для рассматриваемых потоков удобно ввести разность между давлениями на входе и его текущим значением р:

Такой прием оказывается удобным также для многих других гидромеханических задач.

Список существенных величин включает скорость , перепад давления , плотность р и коэффициент вязкости среды . Подобие двух течений означает, согласно общему определению, пропорциональность величин

во всех сходственных точках каналов. Постоянные подобия и т. д. есть постоянные числа. Между ними существуют определенные соотношения, которые устанавливаются из анализа уравнений процесса.

Запишем уравнения (2-16) и (2-17) для каждого из двух процессов:

Подставим теперь в систему уравнений (а), (б) вместо всех величин с индексом их значения, выраженные через постоянные подобия и величины с индексом , используя уравнения (2-15) и (2-18), т. е. и т. д. Тогда эта система уравнений примет вид:

В ней содержатся лишь величины с индексом Следовательно, она описывает теперь первый процесс, для которого имеется также система уравнений (в) и (г). Так как для одного процесса не может существовать двух разных математических описаний, полученная система уравнений (2-19) и (2-20) должна быть тождественна системе уравнений (в) и (г). Отсюда вытекают условия связи между постоянными подобия.

В уравнении неразрывности (2-20) множитель сокращается, поэтому это уравнение не накладывает никаких ограничений на выбор постоянных подобия.

Уравнение движения (2-19) станет тождественным уравнению (в), если все три множителя и будут равны друг другу и также сократятся. Отметим, что каждый из перечисленных множителей представляет собой постоянную подобия сил, действующих в потоке: инерции, давления и вязкости соответственно. Поэтому соотношение

    (2-21)

является условием динамического подобия. Оно означает, что у подобных гидромеханических течений множители подобного преобразования сил инерции, давления и вязкости численно одинаковы. Приравнивая их попарно друг другу, получим из соотношения (2-21) два условия:

Эти соотношения динамического подобия и представляют собой искомые уравнения связи для постоянных подобия полей скорости, давления, плотности и вязкости.

Их можно представить также в другом, более удобном виде, если вместо постоянных подобия подставить их значения из уравнений (2-14) и (2-18) и сгруппировать затем все величины с индексами и соответственно в левой и правой частях равенств. При этом постоянную удобно выразить через отношение скоростей на входе в каналы:

Тогда вместо условий (2-22) и (2-23) получим эквивалентные им соотношения:

Полученные числа Рейнольдса Re и Эйлера Ей для всех подобных гидромеханических течений сохраняют одно и то же численное значение.

Таким образом, для рассматриваемого примера доказана первая теорема подобия: подобные процессы имеют одинаковые числа подобия.

Теперь рассмотрим случай, когда в канале, помеченном индексом (рис. 2-8), на входе задана иная скорость , отличная от прежнего значения . В потоке установится иное распределение скоростей. Вследствие изменения условий и полный перепад давлений , окажется отличным от прежнего . Это новое движение уже не подобно прежнему. Ему будет соответствовать своя группа подобных течений. Для них весь ход предыдущих рассуждений может быть полностью повторен.

В итоге окажется, что для новой группы течений условия инвариантности чисел подобия (2-24) и (2-25) примут вид:

Отличие состоит в том, что теперь оба числа подобия имеют иные численные значения. Вновь изменяя скорость , получаем новый перепад и новые значения для этой новой группы подобных течений.

Отсюда следует, что частная зависимость между переменными

может быть представлена в виде связи

Такое уравнение называется уравнением подобия. Возможность представления зависимости между переменными в виде зависимости между числами подобия устанавливается второй теоремой подобия.

В рассмотренных выше случаях задавалась скорость течения жидкости на входе, тогда как перепад давлений определялся самим протеканием явления, или, иначе говоря, оказывался функцией процесса. При задании скорости для реализации однозначного протекания процесса движений число Рейнольдса оказывается составленным целиком из величин, входящих в условия однозначности. Поэтому оно является определяющим числом подобия (критерием подобия). Напротив, число Эйлера Ей, включающее в себя перепад давлений, оказывается определяемым.

Согласно третьей теореме подобия условия, необходимые и достаточные для того, чтобы два процесса были подобными, заключаются в равенстве определяющих чисел подобия. Итак, условие

определяет подобие гидромеханических течений в системах, помеченных индексами Одинаковость определяемых чисел подобия

получается как следствие установившегося подобия.

Уравнение подобия (2-26) целесообразно записывать в виде зависимости определяемого числа подобия от определяющего